1、第 1 页 共 8 页专题四 二次函数之面积、周长最值问题1、如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=2，OC=321y=xbc(1)求抛物线的解析式(2)若点 D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点 P，使得BDP 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由2、如图，已知抛物线 y=x 2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0） ，C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N其顶点为D（1）抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）设点 M 在对称轴上一点，求使 MN+MD 的值最小时的 M 的坐标；（3）若 P 是抛
2、物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值第 2 页 共 8 页3、 （2013自贡）如图，已知抛物线 y=ax2+bx2（a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且 D（2，3） ，tanDBA= （1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点 B、M、C、A，求四边形 BMCA 面积的最大值；4、 （2014德州，第 24 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是（4，0） ，并且 OA=OC=4OB，动点 P 在过 A，B，C 三点的抛物线上（1）求抛物线的解
3、析式；（2）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 y 轴的垂线垂足为 F，连接 EF，当线段EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标第 3 页 共 8 页5、如图 12，已知二次函数 的图象与 x 轴的正半轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于cbxy21(0)点 C，且 OBA2(1)求 c 的值；(2)若ABC 的面积为 3，求该二次函数的解析式； (3)设 D 是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线 AC 上
4、是否存在一点 P 使PBD 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由6、如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0） ，连结 OA，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120，得到线段 OB.（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.图12第 4 页 共 8
5、页专题五 二次函数之等腰三角形问题1、如图，抛物线 经过 的三个顶点，已知 轴，点 在 轴上，254yaxABC BCx Ax点 在 轴上，且 CABC（1）求抛物线的对称轴；（2）写出 三点的坐标并求抛物线的解析式；， ，（3）探究：若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点，是否存在 是等腰三角形若存在，PxPAB求出所有符合条件的点 坐标；不存在，请说明理由2、 （2013安顺）如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（-1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 是等腰三
6、角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 M 是抛物线上一点，以 B，C，D，M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M 的坐标AC Byx011第 5 页 共 8 页3、（2014邵阳，第 26 题 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2（m+n）x+mn（mn）与 x 轴相交于A、B 两点（点 A 位于点 B 的右侧），与 y 轴相交于点 C（1）若 m=2，n=1，求 A、B 两点的坐标；（2）若 A、B 两点分别位于 y 轴的两侧，C 点坐标是（0，1），求ACB 的大小；（3）若 m=2，ABC 是等腰三角形，求 n 的值4、(20
7、14 年四川资阳，第 24 题 12 分)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（3，0） ，与 y 轴的交点为 B（0，3） ，其顶点为 C，对称轴为 x=1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M 为 y 轴上的一个动点，当ABM 为等腰三角形时，求点 M 的坐标；（3）将AOB 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度（0m3）得到另一个三角形，将所得的三角形与ABC 重叠部分的面积记为 S，用 m 的代数式表示 S第 6 页 共 8 页5、 （2013衡阳）如图，已知抛物线经过 A（1，0） ，B（0，3）两点，对称轴是 x=1（1）求抛物线对应的函数关系式；（2
8、）动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从 M 从 O 点出发以每秒 3个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点 Q 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 P，设运动的时间为t 秒当 t 为何值时，四边形 OMPQ 为矩形；AON 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由6、 （2013湘西州）如图，已知抛物线 y= x2+bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已知 A 点的坐标为 A（2，0） （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点 C 的坐标，连接 AC、BC
9、并求线段 BC 所在直线的解析式；（3）试判断AOC 与COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由第 7 页 共 8 页7、已知 RtABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内，使其斜边 AB与 x 轴重合（其中 OAOB） ，直角顶点在 y 轴正半轴上。如图 1（1）求线段 OA，OB 的长和经过点 A，B 的抛物线的解析式；（2）如图 2,点 D 的坐标为（2，0）,点 P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中 m0，n0）,连接 DP 交 B
10、C于点 E。当BDE 是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标；连接 CD，CP，如图 3，CDP 是否有最大面积？若有，求出它的最大面积和此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由。专题六 二次函数之面积问题1、如图 9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A(3,3)（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线 OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点 B(6,m)，求 m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别交于 C、D，求过 A、B、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点 E，使四边
11、形 OECD 的面积 S1与四边形 OABD 的面积S 满足：3S 12S？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由yxO CDBA33 6第 8 页 共 8 页2、阅读材料：如图 12-1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积2ah的一半. 解答下列问题： 如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及 SCAB ；(3)是否存在一点 P，使 SPAB = ，若存在，求出 P 点的坐标；89ABC若不存在，请说明理由.图 12-2xCOyABD11
