1、 识别分段函数,解决收费问题 刘运明 李晓一、话费中的分段函数例 1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间 （分钟）与相应x话费 （元）之间的函数图象如图 1 所示：y（）月通话为 100 分钟时，应交话费 元；（）当 x 100 时，求 与 之间的函数关系式； yx（3）月通话为 280 分钟时，应交话费多少元？图 1二、水费中的分段函数例 2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费 y(元)与用水量 x(吨)的函数关系如图 2.(1) 分别写出当 0 x 15 和 x 15 时,y 与 x 的函数关系式; (2)若某
2、户该月用水 21 吨,则应交水费多少元?图 2三、电费中分段函数例 3 (广东) 今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费 y（元）与用电量 x（度）的函数图象是一条折线（如图 3 所示） ，根据图象解下列问题：（1）分别写出当 0 x 100 和 x 100 时，y 与 x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电 62 度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费 105 元时，则该用户该月用了多少度电？图 31.1 正比例函数与一次函数构成的分段函数例 1 某家庭装修房屋，由甲
3、、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修 3 天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成工程进度满足如图 1 所示的函数关系，该家庭共支付工资 8000 元（1）完成此房屋装修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？解析：设正比例函数的解析式为：y=k 1x，图象经过点（3， ） ，所以， = k13，所以 k1= ，所以 y= x，0x34121设一次函数的解析式（合作部分）是 y=k2x+b， （ 是常数）0b， ，因为图象经过点（3， ） ， （5， ） ，得： ，解得： 4215432k 81,2bk一次函数的表达式为 ，所以，当 时， ，解得 8
4、1xyy8x9x完成此房屋装修共需 9 天。（2）由正比例函数的解析式：y= x，可知：甲的工作效率是 ，212所以，甲 9 天完成的工作量是： ， 甲得到的工资是： （元）134 38064例 2、一名考生步行前往考场， 10 分钟走了总路程的 ，估计步行不能准时到达，于是他改1乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图 2 所示（假定总路程为 1） ，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）A20 分钟 22 分钟 24 分钟 D26 分钟设正比例函数的解析式为：y=k 1x，图象经过点（10， ） ，所以， = k110，所以 k1= ，4140所以 y= x， （0x10 由正比例函
5、数解析式可知：甲的效率是 ，41 0所以，步行前往考场需要的时间是：1 =40（分钟） ，0所以，设一次函数的解析式是 y=k2x+b， （ 是常数） ，kb， ，因为图象经过点（10， ） ， （12， ） ，得： 解得： ，412142k 1,82bk一次函数的表达式为： ，所以，乘出租车赶往考场用的时间是：x= ， 8xy 43解得：x=6 分钟，所以，先步行前往考场，后乘出租车赶往考场共用时间为：10+6=16 分钟，所以，他到达考场所花的时间比一直步行提前了：40-16=24（分钟） ，1.2 一次函数与一次函数构成的分段函数例 4、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的
6、家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的若设小强每月的家务劳动时间为 x 小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为 y 元，则 y（元）和 x（小时）之间的函数图像如图 5 所示（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）若小强 5 月份希望有 250 元费用，则小强 4 月份需做家务多少时间？解：（1）从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为 150 元 ； 当 0x20 时，y（元）是 x（小时）的一次函数，不妨设 y=k1x+150，同时，图象过点（20，200） ，所以，200=k 120+150，解得：k 1=2.5，所以，y
7、=2.5x+150，当 20x 时，y（元）是 x（小时）的一次函数，不妨设 y=k2x+b，同时，图象过点（20，200） ， （30，240） ，所以， ，2403bk解得：k 2=4，b=120，所以，y=4x+120，所以，如果小强每月家务劳动时间不超过 20 小时，每小时获奖励 2.5 元；如果小强每月家务劳动时间超过 20 小时，那么 20 小时按每小时 2.5 元奖励，超过部分按每小时 4 元奖励 （2）从图象上可知道，小强工作 20 小时最多收入为 200 元，而 5 月份得到的费用为 250 元，大于 200 元，所以说明 4 月小强的工作时间一定超过 20 小时，所以应选择
8、分段函数中当20x 时的一段，所以，由题意得， ，1205x解得：x=32.5 答：当小强 4 月份家务劳动 32.5 小时，5 月份得到的费用为 250 元1.3 常数函数与一次函数构成的分段函数例 5、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图 6 所示；乙公司每月通话收费标准如表 1 所示（1）观察图 6，甲公司用户月通话时间不超过 100 分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话 100 分钟以后，每分钟的通话费为 元；（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过 100 分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过 100 分钟，又将如何选择？解析：1）从图
9、6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，当 0 t100 时，话费金额 y=20；当 t100 时，话费金额 y 是通话时间 t 的一次函数，不妨设 y=kt+b，且函数经过点（100，20）和（200，40） ，所以， ,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t, 4021bk所以,甲公司用户月通话时间不超过 100 分钟时应付话费金额是 20 元；当甲公司用户通话 100分钟以后，每分钟的通话费为 0.2 元；2)仔细观察表 1,可以知道乙公司每月通话收费 y=0.15t+2.5,当 0 t100 时，甲公司的话费金额 y=20；乙公司通话收费 y=0.15t+2.5=15
10、+2.5=17.5,所以,李女士如果月通话时间不超过 100 分钟，她选择乙通迅公司更合算；因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，所以，当通话时间 t=500 分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；因为，0.15t+2.50.2t，所以，t500，所以，当通话时间 100t500 分钟时，选择甲公司；因为，0.15t+2.50.2t，所以，t500，所以，当通话时间 t500 分钟时，选择乙公司；2、三段型分段函数例 6 如图 7，矩形 ABCD 中，AB1，AD2，M 是 CD 的中点，点 P 在矩形的边上沿 ABCM运动，则APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之
11、间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）解析： 1） 、当 0x1，y= x2=x；如图 8 所示；212） 、当 1x3，y=12- 2- （x-1）1- （3-x）21= ；如图 9 所示；x453）当 3x3.5，y= （ -x）2= -x；如图 10 所示；2172所以C、D两个选项是错误的，又因为函数 y= 中的 k=- 0，所以直线整体应该是分布在二、一、四象限，x415所以选项 B 也是错误的，所以选 A。3、四段型分段函数例 7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发 2 小时到达目的地，游玩 3 小时后按原路以原速返回，小强离家 4 小时 40 分钟后，妈妈驾车
12、沿相同路线迎接小强，如图 11，是他们离家的路程 y(千米)与时间 x(时)的函数图像。已知小强骑车的速度为 15 千米/时，妈妈驾车的速度为 60 千米/时。(1)小强家与游玩地的距离是多少？(2)妈妈出发多长时间与小强相遇？解析：1）当 0x2，路程 y(千米)是时间 x(时)的正比例函数，且 k=15，所以 y=15x；所以，当 x=2 时，y=215=30，所以，小强家与游玩地的距离是 30 千米。2）当 2x5，路程 y(千米)是时间 x(时)的常数函数，所以 y=30；当 5x，路程 y(千米)是时间 x(时)的一次函数，且 k=-15，所以，设 y=-15x+b，又图象过点（5，
13、30） ，所以 30=-75+b，所以 b=105，所以直线 BD 的解析式为：y=-15x+105； 仔细观察图象，可知道点 C 的坐标为（ ，0） ，且 k=60，所以，设 y=60x+b，314所以 0=280+b，所以 b=-280，所以直线 CD 的解析式为：y=60x-280；设妈妈出发 t 小时出与小强相遇，所以，60 t -280=-15t+105，解得，t= ，157所以，妈妈出发经过： - = 小时与小强相遇。731454、五段型分段函数例 8、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离 y（千米）与所用的时间 x（小时）之间关系的函数图象.（1）根据图象回答：小明到
14、达离家最远 的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）求小明出发多长时间距家 12 千米？解：（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需 3 小时；此时，他离家 30 千米（2）设直线 CD 的解析式为 y=k1x+b1,由C（2，15） 、D（3，30） ，代入得：y=15x-15（2x3）当 x=2.5 时，y=22.5（千米）答：出发两个半小时，小明离家 22.5 千米. （3）设过 E、F 两点的直线解析式为 y=k2x+b2，由 E（4，30） 、F（6，0） ，代入得 y=-15x+90,(4x6)，过 A、B 两点的直线解析为 y=k3x，B（1，15）y=15x.(0x1)分别令 y=12，得 x= （小时） ，x= （小时）5254答：小明出发经过 小时或 小时，离家 12 千米。46
