1、试卷第 1 页，总 5 页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_内装订线有理数及其运算培优专题一选择题（共 4 小题）1a ，b 互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（ ）Aa 2 与 b2 Ba 3 与 b5C a2n 与 b2n （n 为正整数） Da 2n+1 与 b2n+1（n 为正整数）2十进制数 278，记作 278（10） ，其实 278（10） =2102+7101+8100，二进制数 101（2） =122+021+120有一个 k（0k 10 为整数）进制数165（k） ，把它的三个数字顺序颠倒得到的 k 进制数 561（k） 是原数的 3 倍，则 k=（ ）A10
2、 B9 C8 D73已知 a=（ ） ，b= （ ） ，c= ，判断下列叙述何者正确？（ ）Aa=c，b=c Ba=c ， bc Cac，b=c Da c ，b c4在广东省十三届人大一次会议上的政府工作报告中指出：广东全省生产总值从 2012 年的 5.8 万亿元增加到 2017 年的 8.99 万亿元，五年年均增长7.9%将数据 8.99 万亿用科学记数法可表示为（ ）A89.9 1011 B0.89910 13 C8.99 1012 D8.9910 13二填空题（共 2 小题）5在数轴上，点 A 表示的数是 3+x，点 B 表示的数是 2x，且 A，B 两点的距离为 8，则 x= 6如图
3、，数轴上，点 A 的初始位置表示的数为 1，现点 A 做如下移动：第1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，第 2 次从点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2，第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单位长度至点 A3，按照这种移动方式进行下去，点 A4 表示的数，是 ，如果点 An 与原点的距离不小于 20，那么 n 的最小值是 试卷第 2 页，总 5 页外装订线请不要在装订线内答题内装订线三解答题（共 12 小题）7在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题【提出问题】三个有理数 a，b，c 满
4、足 abc0，求 的值【解决问题】解：由题意，得 a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数a ，b ，c 都是正数，即 a0，b0，c0 时，则；当 a，b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a 0，b 0， c0，则 综上所述， 值为 3 或1【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数 a，b， c 满足 abc0，求 的值；（2）若 a，b，c 为三个不为 0 的有理数，且 ，求的值8如图，在单位长度为 1 的数轴上有，A、B 、C、 D 四个点，点 A、C 表示的有理数互为相反数（1）请在数轴上标出原点 O，并在点 A、B、C 、D 上方标出
5、它们所表示的有理数；（2）A、C 两点间的距离 AC= ，B 、D 两点间距离 BD= ；（3）通过观察可以发现，数轴上两点之间的距离可以用这两个点所表示的有理数的绝对值来表示，如果数轴上点 M 表示的有理数是 x，点 N 表示的有理数是 y，那么 M、N 两地间的距离用含有绝对值的式子可以表示为 ；（4）设点 P 在数轴表示的有理数是 x，借助数轴解答下列问题：式子|x4|表示点 P 与有理数 所对应的点之间的距离：|x+1|表示点 P 与有理数 所对应的点之间的距离；试卷第 3 页，总 5 页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_内装订线当 x 是哪个有理数或哪个有理数范围内时，式子|x
6、 4|+|x+1|的值最小？最小值是多少？ 若式子|x4|+|x+1|的值是 6，那么点 P 所表示的有理数是多少？ 9如图所示，数轴上一动点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B，再向右移动 5 个单位长度到达点 C 点（1）求动点 A 所走过的路程及 A、C 之间的距离（2）若 C 表示的数为 1，则点 A 表示的数为 10从图中最小的数开始，由小到大依次用线段连接各数，看看你画出了什么？11已知有理数 a，b，c，d，e ，且 a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，e的绝对值为 2，求式子 的值12若（a 2） 2+|b+3|=0，求（a+b） 2009 的值13计算：8+（10 ）+
7、 （2） （5）2 3 5 +（3 ）81（ 2 ） （16）1 4 3（3） 2（ + ）（36 ） ； 试卷第 4 页，总 5 页外装订线请不要在装订线内答题内装订线199 （5） （用简便方法计算）14请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题：=1 ， = ， = ，第四个等式为 ，第 n 个等式为 ；根据你发现的规律计算： 15计算题（1）5（2）17 8（ 2）+4（ 3）（3）（4）（5）（6）25 16计算求值：（1） 201517计算： 18若 a、b、 c 为整数，且|ab |19+|ca|2010=1，求|a b|+|bc|+|ca|试卷第 5 页，总 5 页外装订线学校:_
8、姓名：_班级：_考号：_内装订线本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。1有理数及其运算培优专题参考答案与试题解析一选择题（共 4 小题）1a ，b 互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（ ）Aa 2 与 b2 Ba 3 与 b5C a2n 与 b2n （n 为正整数） Da 2n+1 与 b2n+1（n 为正整数）【分析】依据相反数的定义以及有理数的乘方法则进行判断即可【解答】解：A、a，b 互为相反数，则 a2=b2，故 A 错误；B、a ，b 互为相反数，则 a3=b3，故 a3 与 b5 不是互为相反数，故 B 错误；C、a ，b 互为相反数，则 a2n=b2n，故
9、C 错误；D、a，b 互为相反数，由于 2n+1 是奇数，则 a2n+1 与 b2n+1 互为相反数，故D 正确；故选：D【点评】本题考查了相反数和乘方的意义，明确只有符号不同的两个数叫做互为相反数，还要熟练掌握互为相反数的两个数的偶数次方相等，奇次方还是互为相反数2十进制数 278，记作 278（10） ，其实 278（10） =2102+7101+8100，二进制数 101（2） =122+021+120有一个 k（0k 10 为整数）进制数165（k） ，把它的三个数字顺序颠倒得到的 k 进制数 561（k） 是原数的 3 倍，则 k=（ ）A10 B9 C8 D7【分析】依据定义列出关
10、于 k 的方程求解即可【解答】解：由题意得：3（k 2+6k+5）=5k 2+6k+1，解得：k=7 或 k=1（舍去） 故选：D【点评】本题主要考查的是科学记数法，依据定义列出关于 k 的方程是解题的关键本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。23已知 a=（ ） ，b= （ ） ，c= ，判断下列叙述何者正确？（ ）Aa=c，b=c Ba=c ， bc Cac，b=c Da c ，b c【分析】根据有理数的减法的运算方法，判断出 a、c，b 、c 的关系即可【解答】解：a=（ ） = ，b= （ ）= + ，c= ，a=c，bc故选：B【点评】此题主要考查了有理数的减法，要熟练
11、掌握，解答此题的关键是要明确：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数4在广东省十三届人大一次会议上的政府工作报告中指出：广东全省生产总值从 2012 年的 5.8 万亿元增加到 2017 年的 8.99 万亿元，五年年均增长7.9%将数据 8.99 万亿用科学记数法可表示为（ ）A89.9 1011 B0.89910 13 C8.99 1012 D8.9910 13【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a |10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的
12、绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将数据 8.99 万亿用科学记数法可表示为 8.991012故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n 的形式，其中 1| a|10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值二填空题（共 2 小题）5在数轴上，点 A 表示的数是 3+x，点 B 表示的数是 2x，且 A，B 两点的距离为 8，则 x= 3.5 或4.5 【分析】分两种情况：当点 A 在点 B 左侧时，当点 A 在点 B 右侧时，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。3分别根据距离为 8，列方程求解【解答】解：当点 A 在点 B
13、左侧时，2x（3+x）=8，解得：x=4.5；当点 A 在点 B 右侧时，3+x（2x）=8，解得：x=3.5故答案为：3.5 或4.5【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴的知识，解答本题的关键是读懂题意，注意分情况列方程求解6如图，数轴上，点 A 的初始位置表示的数为 1，现点 A 做如下移动：第1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，第 2 次从点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2，第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单位长度至点 A3，按照这种移动方式进行下去，点 A4 表示的数，是 7 ，如果点 An 与原点的距离不小于 20，那么 n 的最小值是 13 【
14、分析】序号为奇数的点在点 A 的左边，各点所表示的数依次减少 3，序号为偶数的点在点 A 的右侧，各点所表示的数依次增加 3，于是可得到 A13 表示的数为173=20，A 12 表示的数为 16+3=19，则可判断点 An 与原点的距离不小于 20 时，n 的最小值是 13【解答】解：第一次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1，则 A1 表示的数，13=22；第 2 次从点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2，则 A2 表示的数为2+6=4；第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单位长度至点 A3，则 A3 表示的数为 49=5；第 4 次从点 A3 向右移动 12 个单位长度至
15、点 A4，则 A4 表示的数为5+12=7；第 5 次从点 A4 向左移动 15 个单位长度至点 A5，则 A5 表示的数为 715=8；本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。4则 A7 表示的数为83=11，A 9 表示的数为11 3=14，A 11 表示的数为143=17，A 13 表示的数为 173=20，A6 表示的数为 7+3=10，A 8 表示的数为 10+3=13，A 10 表示的数为13+3=16，A 12 表示的数为 16+3=19，所以点 An 与原点的距离不小于 20，那么 n 的最小值是 13故答案为 7，13【点评】本题考查了规律型问题，认真观察、仔细思
16、考，找出点表示的数的变化规律是解决问题的关键三解答题（共 12 小题）7在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题【提出问题】三个有理数 a，b，c 满足 abc0，求 的值【解决问题】解：由题意，得 a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数a ，b ，c 都是正数，即 a0，b0，c0 时，则；当 a，b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a 0，b 0， c0，则 综上所述， 值为 3 或1【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数 a，b， c 满足 abc0，
17、求 的值；（2）若 a，b，c 为三个不为 0 的有理数，且 ，求的值【分析】 （1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出 a，b ，c 中负数有 2 个，正数有 1 个，判断出 abc 的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。5可【解答】解：（1）abc0，a ，b ，c 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，当 a，b，c 都是负数，即 a0，b0，c0 时，则： = + + =111=3；a ，b ，c 有一个为负数，另两个为正数时，设 a0，b0，c0，则 = + + =1+1+
18、1=1（2）a，b，c 为三个不为 0 的有理数，且 ，a ，b ，c 中负数有 2 个，正数有 1 个，abc0， = =1【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键8如图，在单位长度为 1 的数轴上有，A、B 、C、 D 四个点，点 A、C 表示的有理数互为相反数（1）请在数轴上标出原点 O，并在点 A、B、C 、D 上方标出它们所表示的有理数；（2）A、C 两点间的距离 AC= 6 ，B 、D 两点间距离 BD= 5 ；（3）通过观察可以发现，数轴上两点之间的距离可以用这两个点所表示的有理数的绝对值来表示，如果数轴上点 M 表
19、示的有理数是 x，点 N 表示的有理数是 y，那么 M、N 两地间的距离用含有绝对值的式子可以表示为 |xy| ；（4）设点 P 在数轴表示的有理数是 x，借助数轴解答下列问题：式子|x4|表示点 P 与有理数 4 所对应的点之间的距离：|x+1|表示点P 与有理数 1 所对应的点之间的距离；当 x 是哪个有理数或哪个有理数范围内时，式子|x 4|+|x+1|的值最小？本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。6最小值是多少？ 5若式子|x4|+|x+1|的值是 6，那么点 P 所表示的有理数是多少？ 1.5 或4.5 【分析】 （1）根据图示，点 A、C 之间的距离是 6，据此求出
20、点 A、C 表示的数是多少，即可求出点 B 和 D 表示的数是多少，并画数轴即可；（2）直接由两点的坐标之差可得结论；（3）在数轴上 M、N 两点之间的距离 MN=|xy|，依此即可求解；（4）根据绝对值的几何意义，进行解答；根据数轴上|x+3|+|x4| 的几何意义，进行解答分情况讨论计算即可得出结论【解答】解：（1）点 A、C 表示的两个数互为相反数，点 A、C 之间的距离是 6，点 C 表示的数是 3，A 表示的数是3，点 B 表示的数是1，点 D 表示的数是 4；如图所示：（2）由数轴得：A、C 两点间的距离 AC=6，B 、D 两点间距离 BD=4（1）=5；故答案为：6，5；（3）
21、MN= |xy|故答案为：|xy|；（4）式子|x4|表示点 P 与有理数 4 所对应的点之间的距离：|x+1|表示点 P 与有理数1 所对应的点之间的距离；在数轴上|x+3|+|x4|的几何意义是：表示有理数 x 的点到 3 及到 4 的距离之和，所以当3x4 时，它的最小值为 7；|x4|+|x+1|=6，分三种情况：本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。7如图 1，当点 P 在1 的左边时，得：1x+4x=6，x=1.5，如图 2，当点 P 在1 和 4 之间时，|x4|+|x+1|=5，不符合题意，如图 3，当点 P 在 4 的右边时，x4+x+1=6，x=4.5，x=1
22、.5 或 4.5，即点 P 表示的有理数是 1.5 或 4.5；故答案为：4，1；7； 1.5 或 4.5【点评】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法，要熟练掌握9如图所示，数轴上一动点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B，再向右移动 5 个单位长度到达点 C 点（1）求动点 A 所走过的路程及 A、C 之间的距离（2）若 C 表示的数为 1，则点 A 表示的数为 2 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。8【分析】 （1）根据题意列出算式 2+5，求出即可得出动点 A 所走过的路程，求出 52 即可得出 A、C 之间的距离；（2）设点 A
23、表示的数十 x，根据题意得出算式 x+（2）+（+5 ）=1 ，求出 x即可【解答】解：（1）动点 A 所走过的路程 2+5=7，A、C 之间的距离是 AC=52=3； （2）设点 A 表示的数十 x，则 x+（2）+（+5）=1，x=2，故答案为：2【点评】本题考查了数轴和有理数的运算，关键是能根据题意列出算式，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目10从图中最小的数开始，由小到大依次用线段连接各数，看看你画出了什么？【分析】根据负数比较大小，绝对值大的反而小，求出两负数的大小，根据正数都大于 0，负数都小于 0 比较即可【解答】解：如图所示：本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参
24、考。9画出的图形是一条鱼【点评】本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较等知识点的应用，求出|4.5|= 4.5，+（1） =1，（5）=5，|10|=10，|6|=6 ，| 3|=311已知有理数 a，b，c，d，e ，且 a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，e的绝对值为 2，求式子 的值【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的定义求出 ab，c+d 以及 e 的值，代入原式计算即可得到结果【解答】解：根据题意得：ab=1，c+d=0，e= 2，原式= 1+0+4=4 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，倒数，以及绝对值的定义是解本题的关键12若（a 2） 2+|b+3|=
25、0，求（a+b） 2009 的值【分析】根据非负数的性质分别求出 a、b，根据乘方法则计算即可【解答】解：由题意得，a2=0，b+3=0，解得，a=2，b=3，则（a +b） 2009=1【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为 0 时，则其中的每一项都必须等于 0 是解题的关键13计算：8+（10 ）+ （2） （5）本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。102 3 5 +（3 ）81（ 2 ） （16）1 4 3（3） 2（ + ）（36 ） ； 199 （5） （用简便方法计算）【分析】首先根据有理数减法法则，把算式进行化简，然后应用加法交换律和结合律，即
26、可得出结论；根据加法结合律将同分母的分数相加，即可得出结论；先确定符号，再根据有理数混合运算的运算顺序进行计算即可得出结论；原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算可得出结论；利用乘法的分配律进行计算可得出结论；先将带分数化为 200 ，利用乘法的分配律进行计算即可得出结论【解答】解：8+（10） +（ 2）（ 5） ，=8102+5，=（ 8+5）+（102） ，=1312，=1；2 3 5 +（3 ） ，=（ 2 3 ）（3 +5 ） ，=19，=10；81（ 2 ） （16） ，=81 ，=1；1 4 3（3） 2，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。11=1
27、（39） ，=1 （6） ，=0；（ + ）（36 ） ； = 36+ 36 36，=18+2021，=19； 199 （5） （用简便方法计算）=（ 200 ） （ 5） ，=200（5）+5 ，=1000+ ，=999.8【点评】本题考查了有理数的混合运算，牢记有理数混合运算的运算法则是解题的关键14请先阅读下列一段内容，然后解答后面问题：=1 ， = ， = ，第四个等式为 = ，第 n 个等式为 = ；根据你发现的规律计算： 【分析】先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四、第 n 个式子的表达式；把所给式子相加，找出规律即可进行计算【解答】解：第一个式子为：
28、=1 ，第二个式子为： = ，第三个式子为： = ，第四个等式为： = ，第 n 个等式为： = 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。12故答案为： = ， = ；第二、第三个式子相加= + = ， + + = + + = = 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，熟练掌握分数的拆分计算15计算题（1）5（2）17 8（ 2）+4（ 3）（3）（4）（5）（6）25 【分析】 （1）先化简，再计算加减法可得；（2）先计算乘除，再算加减可得；（3）运用乘法分配律计算可得；（4）首先计算乘方和
29、括号里面的运算，然后计算乘法和减法可得（5）第一组括号里利用乘法分配律计算，第二组括号里是1 的奇次方，得1，并根据绝对值和乘方进行第三组式子进行计算可得；（6）运用乘法分配律的逆运算计算可得【解答】解：（1）5 ，=（ 5 +4 ） +（5 ） ，=106，=4；本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。13（2）17 8（ 2）+4（ 3） ，=17+412，=2112，=9；（3） ，=60 +60 60 60 ，=45+504435，=16；（4） ，=9 ，=9 ，=4；（5） ，= （24）+ （24） 2.75（ 24）1 23，=323+6618，=22；（6）25
30、，=25 +25 25 ，=25（ ） ，=251，=25【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。14数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算16计算求值：（1） 2015【分析】先计算小括号里，再计算中括号，最后计算大括号，先算乘方，再算乘除，最后算加减【解答】解：（1）2015 =1 +0.5（ 9）9=1 （9）9=（6 9） =3【点评】此题考查有理数的混合运算，注意运算顺序和运算符号，按照运算顺序正确计算17计算： 【分析】解此题的关
31、键在于找出每一组数值的规律，除第一组数据，每一组数值分子均为等差数列，分子为等差数列减 1，所以可以找出规律为，整理得： ；由此可以整理解此题【解答】每一组数值均为 ，所以原式= =3= ，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。15所以最后结果为 【点评】解决此类问题主要是找出每一组数据的规律，找出一个简化式，这样解题很方便18若 a、b、 c 为整数，且|ab |19+|ca|2010=1，求|a b|+|bc|+|ca|【分析】由 a、b、c 为整数，所以其和差仍为整数，且|ab| 19+|ca|2010=1，所以|ab|和|ca|必有一个为 1，另一个为 0，分两种情况讨论得出 a、b、c的结果代入计算即可【解答】解：由|ab| 19+|ca|2010=1 可知|ab|=1，|ca|=0 或|ab|=0，|c a|=1，当 ab=1，ca=0 时，bc=1，当 ca=1， ab=0 时，bc=1，即|bc|=1 ，则原式=|a b|+|bc|+|ca|=1+1=2【点评】此题考查分类讨论思想，解题的关键是由|ab| 19+|ca|2010=1 得出两种情况，属于中档题
