1、复变函数教学大纲数学与应用数学（师范类）专业用一 、说明部分（一）课程的性质、目的和教学任务复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。（二）课程的教学原则和方法1.教学原则：理论课与习题课并重的原则;单项训练与综合训练相互结合的原则;经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则;直觉想象和审慎推敲相互结合和转化的原则。2.教学方法：教师课堂讲授为主。（三）课程的教学内容与学时分配1.教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主
2、要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用等。2.学时分配本课程共 6 章，总学时为 72 学时，其中包括习题课。第一章复数及复变函数 10 学时 第二章复变函数 14 学时 第三章复变函数的积分 12 学时 第四章解析函数的幂级数表示 10 学时 第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点 10 学时 第六章留数理论及其应用 16 学时 （四）本课程大纲编写的执笔人执笔人 沈奇 黑河学院数学系函数论教研室审定。 二、正文部分第一章复数与复变函数（一）教学目的和要求通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌
3、握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。使学生掌握复数各种表示方法及其运算。（二）教学重点复变函数及其极限与连续。（三）教学难点无穷远点及无穷远点邻域。（四）课程的主要内容及学时安排1.复数 2 学时2.复平面上点集 2 学时3.复变函数 2 学时4.复球面和无穷远点 2 学时5.习题课 2 学时第二章解析函数（一）教学目的和要求1.理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。2.熟练掌握解析函数的 CR 条件，能运用 CR 条件判定函数的解析性。3.熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式。4.熟练掌握指数函数、幂函数、三
4、角函数的定义和基本性质以及简单映射性质。并会运用欧拉公式和复数的指数表示。5.掌握各初等多值函数的定义和基本性质，了解其多值性。（二）教学重点柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。（三）教学难点计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。（四）课程的主要内容及学时安排1.解析函数的概念与 CR 条件 4 学时2.初等解析函数 4 学时3.初等多值函数 4 学时4.习题课 2 学时第三章复变函数的积分（一）教学目的和要求1.掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义，基本性质和计算方法，及其与实函数积分的关系。2.熟练掌握柯西积分定理，能证明柯西积分定理。3.理解解析函数在单连通区域内的不定积分
5、概念。4.熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式。5.掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，并能应用它们做一些较简单的证明题，了解摩勒拉定理。（二）教学重点柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。（三）教学难点计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。（四）课程的主要内容及学时安排1.复积分的概念性质 2 学时2.Cauchy 积分定理 4 学时 3.Cauchy 积分公式及推论 4 学时4.解析函数与调和函数的关系 2 学时5.习题课 2 学时第四章解析函数的幂级数表示（一）教学目的和要求1.理解复数项级数的基本概念，掌握一致收敛性的判别法。2.掌握幂级数的基本性质和求收敛半径的公式，理
6、解幂级数在收敛圆内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性。3.记住 ， ， ， 和 的幂级数展开式，并ze)1ln(zsicoaz)1(能熟练的运用。4.掌握解析函数零点的孤立性定理和唯一的定理。（二）教学重点1.幂级数的收敛圆及收敛半径的求法。2.将函数在一点展成幂级数的方法、解析函数的唯一性定理。（三）教学难点利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数。（四）课程的主要内容及学时安排1.复级数的基本性质 2 学时2.幂级数 2 学时3.解析函数的 Taylor 展式 2 学时4.解析函数的零点，唯一性定理 2 学时5.习题课 2 学时第五章解析函数的罗朗展式、孤立奇点（一）教学目
7、的和要求1.理解罗郎级数的概念，会求出一些简单的罗郎级数的收敛域。2.能熟练的求出一些较简单函数的罗郎展开式。3.掌握解析函数奇点的三种类型及其特征与性质，了解解析函数在无穷远点的性质。4.了解整函数与亚纯函数的概念。（二）教学重点1.将函数展成罗朗级数的方法。2.判别孤立奇点的方法。3.解析函数在其孤立奇点去心邻域内的性质。（三）教学难点1.孤立奇点类别的识别。2.将函数在其孤立奇点去心邻域内展成罗朗级数。（四）课程的主要内容及学时安排1.解析函数的罗朗展式 2 学时2.解析函数的孤立奇点 2 学时3.解析函数的无穷远点的性质 2 学时4.整函数、亚纯函数 2 学时5.习题课 2 学时第六章
8、留数定理及应用（一）教学目的和要求1.留数的定义及计算方式，在无穷远点的留数。2.留数定理。3.利用留数定理计算实积分。4.辐角原理，儒歇定理。（二）教学重点1.计算留数的方法。2.留数基本定理。（三）教学难点函数在无穷远点留数的计算。（四）课程的主要内容及学时安排1.留数 4 学时 2.用留数计算实积分 6 学时3.辐角原理及应用 4 学时4.习题课 2 学时三、 推荐教材和参考书目教材：钟玉泉编， 复变函数论，北京：高等教育出版社，2004。主要参考书：1王玉玉，王健波主编， 复变函数论全程导学及习题全解，北京：中国时代经济出版社，2008。2尹景本，焦红伟主编， 复变函数与积分变换，北京：北京大学出版社，2007。
