1、数学与计算机科学学院教学大纲(含实验教学大纲、考核大纲)实变函数教学大纲Functions of Real Variables一、基本信息适用专业：数学与应用数学专业课程编号：教学时数：72 学时学 分：4课程性质：专业核心课开课系部：数学与计算机科学院使用教材：实变函数论与泛函分析 （上册）第 2 版 曹广福.高等教育出版社参考书1夏道行实变函数论与泛函分析 （上、下册）第 2 版修订本.高等教育出版社；2 W. Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition；3 W. Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition；
2、4周民强实变函数论 第 2 版.北京大学出版社.二、课程介绍 实变函数以 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分理论为核心内容，为学生提供近代分析的基础知识和基本训练，提高分析论证近代数学的能力.三、考试形式考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。期末考 试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。四、课程教学内容及课时分配第一章 集合要求1、了解集合的基本运算及集合列的上、下限集、 域的概念2、了解势的定义与 Bernstein 定理、Zermelo 选择公理3、可数集与连续势以及 p进制表示4、了解聚点、内点、边界点以及 Bol
3、zanoWeirstrass 定理5、 了解开集、闭集以及 Borel 有限覆盖定理主要内容：集合以及集合列的上、下极限，集合的势， p进制表示法， n维空间中的点集，BolzanoWeirstrass 定理。重点 集合列的上、下限集、可数集、BolzanoWeirstrass 定理课时安排（15 学时）1、集合的基本运算及集合列的上、下限集、 域的概念 3 学时2、势的定义与 Bernstein 定理 Zermelo 选择公理 3 学时数学与计算机科学学院教学大纲(含实验教学大纲、考核大纲)3、可数集与连续势以及 p进制表示 3 学时4、聚点、内点、边界点以及 BolzanoWeirstra
4、ss 定理 3 学时5、开集、闭集以及 Borel 有限覆盖定理 3 学时第二章 测度论要求1、掌握外测度的定义及性质 2、掌握可测集的定义及性质 3、了解开集的可测性和 L可测集的结构 主要内容：外测度与可测集的定义及性质，开集的可测性，Lebesgue 可测集的结构重点 可测集的定义及性质，开集的可测性课时安排（12 学时）1、外测度的定义及性质 4 学时2、可测集的定义及性质 4 学时3、开集的可测性和 L可测集的结构 4 学时第三章 可测函数要求：1、了解可测函数的定义及性质 2、Egoroff 定理、Lusin 定理4、了解几乎处处收敛和依测度收敛主要内容：可测函数的定义及性质，可测
5、函数的逼近理论重点 可测函数的性质、逼近理论、Egoroff 定理、Lusin 定理、依测度收敛课时安排：（12 学时）1、可测函数及其运算 4 学时2、Egoroff 定理、Lusin 定理 4 学时3、几乎处处收敛与依测度收敛 4 学时第四章 Lebesgue 积分要求：1、了解非负可测函数的积分，Levi 引理和 Fatou 引理 2、 掌握一般可测函数的积分，积分的绝对连续性以及 Lebesgue 积分极限定理3、了解积分的连续性4、弄清 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系，以及 Riemann 可积的充要条件5、弄清重积分与累次积分之间的关系以及 Fubini 定理
6、6、了解微分与积分的关系主要内容：可测函数的积分，Lebesgue 积分的极限定理，Lebesgue 积分与 Riemann 积分之间的关系，重积分与累次积分，Fubini 定理，微分与积分的关系重点 Levi 引理、Fatou 引理、积分的绝对连续性、Lebesgue 积分极限定理、Lebesgue积分与 Riemann 积分的关系课时安排：（20 学时）数学与计算机科学学院教学大纲(含实验教学大纲、考核大纲)1、非负可测函数的积分，Levi 引理和 Fatou 引理 4 学时2、可测函数的积分，积分的绝对连续性以及 Lebesgue 控制收敛定理 4 学时3、积分的连续性 2 学时4、 L
7、ebesgue 积分与 Riemann 积分的关系，以及 Riemann 可积的充要条件 3 学时5、 重积分与累次积分之间的关系以及 Fubini 定理 3 学时6、 微分与积分的关系 4 学时第五章 pL空间简介要求：1、了解 p空间定义， Holder不等式， Minkowsi不等式2、了解 空间中的收敛与完备性、可分性3、解 空间中的内积，正交系4、了解广义 Fourier 级数， Bsl不等式与 Parsevl不等式主要内容：pL空间定义， older不等式， inkowi不等式， pL空间中的收敛与完备性、可分性， 2空间中的内积，正交系，广义 Fourier 级数， Bsl不等式
8、与 Parsevl不等式重点 p空间定义、 pL空间中的收敛与完备性、可分性课时安排（13 学时）1、 p空间定义， Holder不等式， Minkowsi不等式 3 学时2、 空间中的收敛与完备性、可分性 3 学时3、 L空间中的内积，正交系 3 学时4、广义 Fourier 级数， Besl不等式与 Parsevl不等式 4 学时五、课程说明 课堂讲授：讲授时重点突出、详略得当，注重理论推导，注重培养、提高学生分析问题、解决问题的能力。作业：每次课均布置作业，注重锻炼学生的解题能力，并及时批改：适当布置思考题，培养学生分析问题的能力和创新能力。自学安排：每一章了解的内容。本课程是数学专业的
9、基础专业课之一，对学习其基础数学和应用数具有重要理论价值。数学与计算机科学学院教学大纲(含实验教学大纲、考核大纲)实变函数考试大纲院 系：数学与计算机科学学院课程名称：实变函数（第二学期）使用专业：数学与应用数学专业学 时：72 其中，理论学时：72 实践学时：0学 分：4一、设课目的：实变函数以 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分理论为核心内容，为学生提供近代分析的基础知识和基本训练，提高分析论证近代数学的能力.二、课程教学内容和教学目标：通过本门课程的教学，使学生了解函数理论的基本体系，理解实变函数的基本概念、基本原理，使学生较好的掌握勒贝格测度和积分这个基本工具，特别是极限
10、（或积分）和积分顺序的交换，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，为从事中学数学教育提供知识储备.三、课程考核的基本形式、内容和要求：本课程考核分为两部分：形成性考核和课程期末考试（一）形成性考核形成性考核部分分为：平时考勤（占20%） 、作业（占70%） 、课堂提问情况（占10%）这三个部分。要求随时检查学生考勤，批改作业，敦促学生边学边做。学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给予说服教育，严重者应给予扣分处理。 （二）课程期末考试期末考试采用笔试闭卷
11、形式。考试命题由教研室集体讨论，任课教师可参与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用数学与计算机科学学院教学大纲(含实验教学大纲、考核大纲)教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习，其中重点内容为：集合列的上、下限集、可数集、BolzanoWeirstrass 定理；外测度与可测集的定义及性质，开集的可测性，Lebesgue 可测集的结构；可测函数的性质、逼近理论、Egoroff 定理、Lusin 定理、依测度收敛；可测函数的积分，Lebesgue积分的极限定理，Lebesgue 积分与 Riemann 积分之间的关系，重积分与累次积分，Fubini 定
12、理，微分与积分的关系； pL空间定义、 pL空间中的收敛与完备性、可分性。四、考核的组织：本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。 课程期末考试教研室统一组织，以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学习情况形成性考核成绩可占总成绩的30%，期末考试成绩可占总成绩的70%。五、教材1夏道行实变函数论与泛函分析 （上、下册）第 2 版修订本.高等教育出版社；2 W. Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition；3 W. Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition；4周民强实变函数论 第 2 版.北京大学出版社.六、其他有关说明或要求
