1、1第一讲 函数、极限与连续一、考试要求1 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。2了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。5 理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存 在与左、右极限之间的关系。6 掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。7 掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极 限求极限的方法。8 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。9 理解
2、函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。二、内容提要1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系. （2）复合函数: y=f(u), u= ，重点：确定复合关系并会求()()xyfx复合函数的定义域. （3）分段函数: 注意， 为分段函数. )(,min,a, xgfgff（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界
3、性、奇偶性和周期性* 注：1、可导奇(偶) 函数的导函数为偶(奇) 函数。特别：若 为偶函数且 存在，则xf)0(f 0)(f2、若 为偶函数，则 为奇函数；fdt0若 为奇函数，则 为偶函数；)(xaf)(3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设 以 为周期且 存在，则 。fT0 )()(00xfTxf4、若 f(x+T)=f(x), 且 ，则 仍为以 T 为周期的周期函数.)(0dtfxdtf)5、设 是以 为周期的连续函数， 则)(xf2，2/0)()()(TTTa dxfdxfxf TnTdxfdxf00)()(6、 若 为奇函数，则 ；a若 为偶函数，则)(f aaff0)()(
4、7、设 在 内连续且 存在，x,b,b则 在 内有界。2、 极限(1) 数列的极限： limnaA(2) 函数在一点的极限的定义： li(),lim()xxfAf0(3) 单侧极限 : 1) 左右极限 02) 极限存在的充要条件：li()li()li()xxxfff0 00(4) 极限存在的准则1) 夹逼定理： 数列情形，函数情形2) 单调有界数列必有极限(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算*1）极限不等式 )(lim)(li)(xgfxgf注： 不成立li)(x2）局部保号性 则在某 内,0)(lim0Afx )(0U)2(Af3）局部有界性 则在某 内 有界。,)(li0xfx4
5、） )()(li f(6) 两类重要极限(7) 无穷小量与无穷大量1) 无穷小量; 2) 无穷大量 ; （注意与无界变量的差异）3) 无穷小量与无穷大量的关系(8) 无穷小量阶的比较(9) 罗比达法则3、连续1) 连续的定义2) 区间上的连续函数3) 间断点及其分类4) 闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定3理三、 * 重要公式与结论1、常见极限不存在的情形：1) ,1sinlm00xx,1cosli00xlimsn,licosx方法：用无穷小量乘有界变量2） 0010li,arctnli,arctli xxxx a方法：分 或 讨论.2 、 lim(),lim()x
6、nnnfAfA0 0有特别：若 lili()xff3、 无穷小量的等价代换若 ，则有 )( )(),(1ln),(tan,sin )(xexx特别注意： （ ，kk)1(0)（ ）， （ ）xtd02si xdt21)ln(0，aeaal1ln1设 ， 且 ， )(x)(1) )(limli xfxf(2) )(3) o（0712）当 时，与 等价的无穷小量是0xx（A） （B）e11ln（C） （D） cos4 、 若 .)(lim)(li,0)(limBxgAfBxgAxf 由此有 .11 )(1(lim)(1()( xgfxgfxfx e5、极限的形式与关系（1） fff xxx )(l
7、i)(li)(li 0004（2） AxffAxfx)(lim)(li)(lim（3） ，nffx )1(li)(li06、若 ，则 g(i) 0)(lim)(li xf(ii) li,0gAxf若 ，则 li(i) )(li)(ii) ,li xf7、设 在 处连续，则x0（1） )()lim)(li),()lim0000 xfffxx（2） AAx (,00（3） 0),)1()(li 000 xffkfx（4） 不存在(,(m00k 四、 典型题型与例题题型一、 函数的概念和性质例 1、设 ，则 =1,()0xf()fx（A） 0 （B） 1 （C） （D） 1,010,x例 2、对下列
8、函数 （1） （2） （3） sinx12xearctnl(1)x在（0，1）内有界的有（ ）个（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 35例 3、（0434）函数 在下列哪个区间内有界2sin()()1xf（A）（-1，0） （B）（0，1） （C） （1，2 ） （D）（2，3）例 4、（0534）以下四个命题中正确的是（ ）（A） 若 在（0，1）内连续，则 在（0，1）内有界()fx()fx（B） 若 在（0，1）内连续，则 在（0，1）内有界（C） 若 在（0，1）内有界，则 在（0，1）内有界（D） 若 在（0，1）内有界，则 在（0，1）内有界()f ()f例 5、（051、
9、2）设 是连续函数 的一个原函数，则必有()Fx()fx（A） 是偶函数 是奇函数()f（B） 是奇函数 是偶函数（C） 是周期函数 是周期函数()（D） 是单调函数 是单调函数()xfx题型二、 极限的概念和性质例 6、 当 时， 是0x31cosx（A） 无穷小 （B）无穷大（C）有界的但不是无穷小（D）无界的但不是无穷大6例 7、设对 ，总有 ，且 ，则 nnnyxzlim()0nzylimnx（A） 存在且等于 0 （B）存在但一定不为 0 （C）一定不存在 （D）不一定存在例 8、已知 在 处连续，且 ，求()fx020sin()lm(2xfx(0),f题型三、求函数的极限基本思路：
10、1、先化简（1）约掉零因子（无穷因子）（2）提出极限不为零的因子（3）根式有理化（4）无穷小替换（5）变量替换（尤其是倒代换）2、再用洛必达法则或其它求极限的方法3、上述步骤可重复进行 1、 常规方法：1) 运算法则，2)无穷小量等价代换，3）洛必塔法则1）用运算法则应注意的问题例 9、 求极限 limsinxx4127例 10、 求极限 )1ln(si2(lim40xexx罗毕达法则 1、 或 型01、先化简2、用洛必达法则、四则运算法则、泰勒公式3、综合题（结合导数的定义等）例 11、求 lim(3sincos)1c)artl()xxdt02010例 12、 求极限 limn(1si)(i
11、nxxe030例 13、（042）求极限 3012coslim()1xx8例 14、（0734） = 321lim(sinco)xx x罗毕达法则 2、 型1型未定式有两种处理方法1lim()li()()()()lim()fxfxeg fxfgxfxg 111或 (lnlimlneeg例 15、求2sin0li(co)xx例 16、 1lim(snco)xx例 17、（101）极限2lim()xxab(A)1 . (B) . (C) . (D) . 【 】eebae9罗毕达法则 3、其他类型 00,1、 型转化为 型，用洛必达法则等02、 ln00ln,ee3、 型 (i) 通分 (ii) 变
12、量替换（重点倒代换）转化为 型。4、 不是未定式11,0,例 18、求极限 xxlnim例 19（0434）求2201coslim()snxx例 191（1112）求极限10ln()imxex102、变形方法： 1) 变量代换；2) 导数定义； 3) 泰勒公式; 特别若 f(x)二阶连续可导，则有fxffxfxx()()!()()0000020212例 20、 设 f(x)连续， f(0)=0, f(0) 0, 求 103)(limdtfx例 21、 求下列极限(泰勒公式) limxx021 , 121820xx() 2()8o例 22、求 201lim(cos)inxxe泰勒公式 )(814
13、22xo )(23cos 222 xoxex 113、抽象函数例 23、若 ，求 。0)(6sinlm30xfx 20)(6limxf题型四、 求数列的极限思路：1、转化为函数的极限。2、数列用递推公式给出，可考虑单调有界原理。3、对通项适当放大（缩小），用夹逼准则。4、和（积）的极限，可考虑用定积分的定义。1、利用函数极限求数列的极限方法：1、 )(lim)(lixfnf2、若 )(li00 xfxn例 24、求 n24tali122、 利用数列的收敛准则（1）、两个准则（2）、已知 可导)(,1xfxnn1）若 ，则 单调，且0)(f12xn2）若 ，则 不单调n（3）、若存在 使得 ，则
14、)1(,kAAkxnn1 nlim例 25、设 证明 ，并求其解。106(,)nx lix例 26、设 证明 ，并求其解。1140,3(1,2)nnxx limnx3、利用定积分定义(适合 n 项求和的情形)思路：1、求出 项和或积（积可转化为和），再求极限。2、利用夹逼准则。3、利用定积分的定义4、利用已知级数的和。公式： 1） lim()()n abkfabnfxd12） kfx0113例 27、 等于221limn()(1)n（A） （B） （C） （D）21xdlxd21l()xd21ln()xd例 28、求 2221lim(1)nn3、其他方法例 29、 （用级数收敛性）!limn解
15、：考虑级数 由于1n 1)1(lim!)1(lili1 ennunn级数 收敛，所以 =01!n !limn例 30、 （用中值定理）2lim(arctrta)1解：用拉格朗日中值定理（ 介与 之间）)1(rtnrt 2na1,na= ）)(1因而 =2lim(arctnrta)n14题型五、反问题求已知极限中的待定参数，函数值， 导数及函数等命题方式：1、已知极限存在2、已知无穷小阶的比较3、已知函数的连续性或间断点类型思路：1、将极限转化为 )(lim,)(lixgfxgf2、洛必达法则3、泰勒公式例 31、已知 求 的值33lim(12)0xxab,a例 31、已知当 时， 是 的高阶无
16、穷小，求 值0x23xcabedt4,abc15例 33、（022）已知 在 可导， ，且()fx0,)()0fxlim()1xf满足 ，求10limhxhef题型六、 无穷小量的比较1、 掌握低阶无穷小、高阶无穷小、同 阶无穷小、等价无穷小等概念2、 当 时， ，若 ，0x0)(xf )0()(kAxf则 1)(kAf例 34、设函数 则当 时， 是 的56cos20in(),xtdgx x()fxg（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D ）同阶但不等价的无穷小例 35、（0412）把 时的无穷小0x2002tan,cosxx dtdt，从高阶到低阶排列xdt03sin16例
17、36、设 f(x)连续，且当 x0 时，F(x)= 是与 x3 等价的无穷20(1cos)(dxtf小量，则 f(0)= .例 37、（103）设 f (x)=ln10 x , g (x)= x , h (x)= , 则当 x 充分大时有 10e(A) g (x) h (x) f (x) . (B) h (x) g (x) f (x) . (C) f (x) g (x) h (x) . (D) g (x) f (x) h (x) . 【 】题型七、 判断函数的连续性与间断点的类型1、 初等函数在其有定义的区间内是连续的。2、连续隐含的条件。3、 会判断函数的连续性（特别是分段函数在分界点处的连续性，要考虑左右极限）。4、 会求函数的间断点，并能判断其类型。5、闭区间上连续函数的性质。17例 38、设 在 处连续，求 的值ln(1)0()si2xfxabx ,ab例 39、设 f(x)= ，则 f(x)有( ).limn231sinx(A) 两个第一类间断点(B) 三个第一类间断点(C) 两个第一类间断点和一个第二类间断点(D) 一个第一类间断点和一个第二类间断点例 40、（103）函数 的无穷间断点数为221xf(A) 0. (B)1. (C) 2. (D) 3. 【 】
