1、 一 函数极限连续 本章的主要内容 1 函数的定义 基本初等函数 2 数列极限与函数极限的定义 复合函数与初等函数的概念 极限的运算法则 3 无穷小与无穷大的概念 4 两个重要极限 区间上连续函数的性质 5 函数的点连续与区间连续的概念 函数的极限 无穷小 无穷大 有倒数关系 函数极限如下表 函数的概念 一 函数的定义 确定的值与之 唯一 则称变量是变量的函数 对应 记作 二 函数的定义域 常用原则 1 分式函数的分母不能为零 2 偶次根号下的量非负 即 要求 3 对数符号内的数量为正 即 要求 求定义域的步骤 1 要使函数有意义 须且 准则说明 2 解不等式 3 结论 解 要使函数有意义 须
2、且 解得 即函数的定义域为 解 1 要使函数有意义 须且 解得 的定义域 的定义域 3 要使函数有意义 须且 解得 三 复合函数 定义 的函数 义域的交集非空 记作 二 复合函数的分解方法 由左向右 每一步都是简单函数 即把一个初等函数分解成一串中间变量 连接的函数串 因变量对中间变量 中 间变量对自变量都是基本初等函数或其 四则运算 解 无穷小量与无穷大量 一 无穷小量的概念 定义 量 都是无穷小量 二 无穷小量的性质 2 有限个无穷小量的积是无穷小量 4 无穷小量与有界量之积是无穷 小量 注意 上述性质中 有限个 不能丢掉 三 无穷小量的阶 定义 1 若 无穷小量 常记作 如 2 若 无穷
3、小量 4 若 穷小量 记作 四 常见等价无穷小量 时 当 技 巧 公式仍成立 五 无穷大量的概念 定义 无穷大量 记作 六 两者之间的关系 常用求极限的方法 1 初等函数在定义区间内求极限 方法 解 方法 一般用洛比塔法则 1 常函数 2 幂函数 3 指数函数 求导公式 4 对数函数 5 反三角函数 6 三角函数 解 注意 1 洛比塔法则可连续使用 时 即若当 即 定理中的条件 则继续使洛比塔法则 且可以依次类推 直到求出极限 或不能应用这个定理为止 2 对式子及时化简 消去因子 三 角函数积化和差等 并利用已知极限 结果 这样可简化运算过程 法则失效 应使用其它方法求极限 例4 解 不存在 另解 解 使用范围 1 分母分子 常数 方法 求函数的倒数的极限 如 解 2 无穷小量乘以有界量的极限 方法 无穷小量乘以有界量的极限 0 说明 若时 解 由无穷小量的性质知 3 分母分子 常数 方法 分子 分母除以分母的最大量 解 练习 解 由无穷小量的性质知 方法 解 练习 解 5 分子或分母有理化 使用范围 且为型的无理式 的无理函数 方法 分子或分母有理化 解 解 6 利用等价无穷小代换 注意 利用等价代换时 只能因子的代换 而不能作加 减的代换 解 1 当时 2 当时 3 当时 4 当时 解 解法二
