1、1数列通项公式 求法分类一、定义法：所给的数列是等差（比）数列，或通过适当变形转化后，得到一个新数列符合等差（比）数列定义，利用等差（比）数列通项公式即可。转化方法包括：整体换元、取倒数、取对数等。练习 1：在数列 中，已知 .na1(1) ，则 =_： (2) ，则n3 421na=_：a(3)若 ，则 _：(4)若 ，则 an=_：nan21a121nna练习 2：已知数列 满足， ， ，求通项 an。n1041nn二、叠加（乘）法：形如 ，其中 可求，用叠加法；)(1fan )()2(ff形如 ，其中 可求，用叠乘法；n1nf练习 3：在数列 中，已知na1(1)若 ，则 =_；(2)若
2、 ， =_;11nn 121nna(3) ，则 =_;n(4) ，则 =_。12nnaan三、利用 ，)2(1nSn练习 4：(1)已知 ，则 an=_ (2) ，则 an=_.32n nS2(3)已知 ,则 an=_. （4） ，则 an=_.)1(3nS 2)1(nn2四、常系数一阶线性递归数列 其中 ：)()(1nqapn 0)(,1npa其特例为：(1) 01qpan(2) 或bkan1)( )0(1knn解题方法：特例(1)：此类形式有两种解法；方法一是利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。设 ，则 ，从而 ，)(1xapnn )1(1pxann 1pqx所以 ，亦即数列 是
3、等比数列。)(1qpqann qn方法二是将 两边同时除以 ，得到 ，再利)0(1pann 1np11nnpqa用迭加求和法，求出 an。练习 5：在数列 中，已知 ， ，则 =_。123nan练习 6：在数列 中，已知 a1=1， ，则 an=_。n 1nn特例(2)：可仿特例(1)的方法。特例(3)：一般可仿特例(1)中的方法二。例 1、在数列 中， ，求 .na134,1ann na解：令 ，则 ，与已知)()(1 yxyx xy341比较，得 所以 ，故数列 是首项为341nan 13322na，公比为 4 的等比数列，因此 即)/8(/21 14)3/8(/nn.324)3(1nan
4、练习 7：已知数列 满足 ，求通项 an。na)12(,11nan五、 （选讲内容）二阶线性递归数列：其中 （a，b 为常数）11nnqpa21,3此类问题一般有两种解法：特征根法和待定系数法解法：（特征根法）由 ，得其特征方程为11nnqapa即 ，qpx2 02x1、若方程有两相异根 A、B，则 nnBc212、若方程有两等根 A=B,则 其中 c1、c 2可由初始条件确定。Aa)(例 2、已知数列 ，且 ，求通项公式 。5,12 )(411nan na解 此数列对应特征方程为 即 ，解得 ，x02x21x设此数列的通项公式为 ，由初始条件 ，可知，nnca)(215,21，解之得 ， 所
5、以 。54)2(1c4321c 2)3(nna练习 8:(2008 广东文)设数列 满足， ，na2,1 )4,3)(312ann求数列 的通项公式。na六、 （选讲内容）非线性（分式）递推数列求通项公式的方法：方法一：对于分式递推数列： ，则bacn1 cabcannn1令其为 （转化为一阶线性）cabnn1方法二：若 ，可用不动点法：)0(1dnn由 解得两个不动点 ，)(abxc(1)若 ，则数列 是一个等比数列；n(2)若 ，则数列 是一个等差数列。1na其他非线性递推数列：恒等变形后转化为：等差（比） 、分式、线性等。练习 9：设数列 满足，已知 ， ，试求数列 。n411241nn
6、ana4提高练习：（2011 广东节选）设 b0，数列 满足 ， ，nab1 )2(1nan求数列 的通项公式。na5参考答案练习 1 【答案】(1) ： (2) ；13na34na(3) ： (4) 。na22n练习 2 【答案】 140练习 3 【答案】(1) ： (2) ；)73(na12na(3) ： (4)21na)1(2n练习 4 【答案】(1) ： (2),6an 12na(3) ： (4)na)21(12n练习 5 【答案】 3练习 6 【答案】 125nn练习 7 【答案】 a练习 8 【答案】由 得)(321nna )3()(32211 nann又 ， 数列 是首项为 1 公比为 的等比数列，0121)2(nna)23121an )()(134na2)(1)(2n 1)32(5832n练习 9 【答案】令 解得：x=2 或 x=314x32914231 nnnn aa6nnnaa1)93(231)9(2n提高练习【答案】解：(1)由 可得 ，21nabn bann1当 b=2 时， ，则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，1nn211，从而 an=22an当 时， ，b)21(1bbnn则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，2ana1)(b2， ，bn1)(nbnb2 na2)(综上 )2,0(2),bann
