1、2015-2016 学年湖南省长沙一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）设 f：xlog 2x 是集合 A 到对应的集合 B 的映射，若 A=1，2，4，则 AB 等于（ ）A1 B2 C1，2 D1，42 （5 分）复数 z 满足 zi=3i，则在复平面内，其共轭复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3 （5 分）命题“设 是向量，若 ，则 ”的逆命题、逆否命题分别是（ ）A真命题、真命题 B假命题、真命题C真命题、假命题 D假
2、命题、假命题4 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 R，则“xR，f（x+1）f（x） ”是“函数 f（x）为增函数” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分） 的值是（ ）A1 B1 C2 D26 （5 分）如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C、D 是半圆弧的两个三等分点， = ， = ，则 =（ ）A B C + D +7 （5 分）已知函数 f（x）与 g（x）的图象在 R 上不间断，由下表知方程 f（x）=g（x）有实数解的区间是（ ）x 1 0 1 2 3f（x ） 0.677 3.011 5.432 5.980 7.
3、651g（x） 0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A （1， 0） B （0，1） C （1，2） D （2，3）8 （5 分）如图所示的函数 的部分图象，其中 A、B 两点之间的距离为 5，那么 f（1）=（ ）A1 B2 C 2 D29 （5 分）在锐角ABC 中，已知 BC=1，B=2A，则 AC 的取值范围是（ ）A B C D10 （5 分）已知点 P 是曲线 y=lnx 上的一个动点，则点 P 到直线 l：y=x+2 的距离的最小值为（ ）A B2 C D211 （5 分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过 1%已知在过滤过程中废气中
4、的污染物数量 P（单位：毫克/升）与过滤时间 t（单位：小时）之间的函数关系为：P=P 0ekt， （k，P 0均为正的常数） 若在前 5 个小时的过滤过程中污染物被排除了 90%那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放A 小时 B 小时 C5 小时 D10 小时12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x1）为偶函数，当 x0，1时，f（x）= ，若函数 g（x）=f（x）xb 有三个零点，则实数 b 的取值集合是（以下 kZ） （ ）A （2k ，2k+ ） B （2k + ，2k+ ） C （4k ， 4k+ ） D （4k+ ，4k+ ）二、填空题：本大题共 4
5、 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上.13 （5 分）已知平面向量 满足 ，那么 = 14 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 z 的值是 15 （5 分）设函数 y=f（x）的图象与 y=2x+a 的图象关于 y=x 对称，且 f（ 2）+f （ 4）=1，则 a= 16 （5 分）已知函数 f（x）是 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）= （|x+ tan|+|x+tan|+ tan） （为常数，且 ） ，若x R，都有 f（x3）f（x）恒成立，则实数 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤17 （12 分）在锐角ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，已知a= ，b=3， sinB+sinA=2 （） 求角 A 的大小；（） 求ABC 的面积18 （12 分）已知函数 f（x） =4sinxsin2（ + ）+cos2x（1）设 w0，且 w 为常数，若函数 y=f（wx ）在区间 ， 上是增函数，求 w 的取值范围；（2）设集合 A=x| x ，B=x|f（x）m|2，若 AB=B，求实数 m 的取值范围19 （12 分）已知函数 f（x） =（x a）sinx+cosx，x （0， ） （）当 a= 时，求函数 f（x）值域；（）当 a 时，求函数 f（
7、x）的单调区间20 （12 分）已知曲线 C1 上任意一点 M 到直线 l：x=4 的距离是它到点 F（1，0）距离的 2 倍；曲线 C2 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线（）求 C1，C 2 的方程；（）过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l 2，其中 l1 与 C1 相交于点 A，B，l 2 与 C2 相交于点 C，D，求四边形 ACBD 面积的取值范围21 （12 分）已知 aR，函数 f（x）= x3x2+axa+1（1）若 f（x）是区间0，2 上的单调函数，求实数 a 的取值范围；（2）在（1）条件下，记 M（a）是|f（x）|在区间0， 2上的最大值，求证：M（a） 选做题。请
8、考生在第（22） 、 （23） （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修 4-1 几何证明选讲22 （10 分）如图，ABC 为圆的内接三角形，AB=AC，BD 为圆的弦，且 BDAC过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E，AD 与 BC 交于点 F（1）求证：四边形 ACBE 为平行四边形；（2）若 AE=6，BD=5 ，求线段 CF 的长选修 4-4 坐标系与参数方程23已知直线 l： （t 为参数） ，曲线 C1： （ 为参数） （）设 l 与 C1 相交于 A， B 两点，求|AB|
9、；（）若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 C2，设点 P是曲线 C2 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值选修 4-5 不等式选讲24已知函数 f（x）=|x 1|，g（x）=|x+3|+a（a R）（1）若 a=6，解不等式 f（x ）g（x） ；（2）若函数 y=2f（x）的图象恒在函数 y=g（x）的图象的上方，求实数 a 的取值范围2015-2016 学年湖南省长沙一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
10、求的）1 （5 分） （2014 宿州一模）设 f：xlog 2x 是集合 A 到对应的集合 B 的映射，若 A=1，2，4，则 AB等于（ ）A1 B2 C1，2 D1，4【分析】根据 f：xlog 2x 是集合 A 到对应的集合 B 的映射，由 A 中的元素确定出 B 中的元素，确定出B，求出两集合的交集即可【解答】解：f：xlog 2x 是集合 A 到对应的集合 B 的映射，且 A=1，2，4，B=0，1，2，则 AB=1，2故选 C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2015 秋 长沙校级月考）复数 z 满足 zi=3i，则在复平面内，其共
11、轭复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：复数 z 满足 zi=3i，i zi=i（3i ） ，z= 3i1则在复平面内，其共轭复数 =1+3i 对应的点（1，3）位于第二象限故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3 （5 分） （2015 秋 长沙校级月考）命题“设 是向量，若 ，则 ”的逆命题、逆否命题分别是（ ）A真命题、真命题 B假命题、真命题C真命题、假命题 D假命题、假命题【分析】判断原命题的真假，可判断其逆否命题的
12、真假，写出逆命题，根据向量相反的定义，也可判断真假【解答】解：命题“设 是向量，若 ，则 ”是真命题，故逆否命题是真命题；命题“ 设 是向量，若 ，则 ”的逆命题为：“设 是向量，若 ，则”为假命题，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，向量相反的定义，难度中档4 （5 分） （2016 威海一模）设函数 f（x）的定义域为 R，则“ xR，f（x+1）f（x） ”是“函数 f（x）为增函数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据函数单调性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若函数 f（x）
13、为增函数，则 f（x+1）f（x）成立，必要性成立若xR ，f （x+1）f（x） ”，则函数 f（x）不一定为增函数，例如分段函数：f（x）=x，x0，1） ，f（x+1）=f （x）+ ，满足 f（x+1）f（x） ，而 f（x）不是增函数充分性不成立即“xR，f（x+1）f（x） ”是“函数 f（x）为增函数” 的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义是解决本题的关键5 （5 分） （2015 秋 长沙校级月考） 的值是（ ）A1 B1 C2 D2【分析】找出被积函数的原函数，代入积分上限和下限计算即可【解答】解： =（ cos2x）|
14、 =1；故选 A【点评】本题考查了定积分的计算；关键是正确找出原函数6 （5 分） （2013 秋 德州期中）如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C、D 是半圆弧的两个三等分点， =， = ，则 =（ ）A B C + D +【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可【解答】解：如图：连结 CD，OD，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C、D 是半圆弧的两个三等分点，AODC 是平行四边形， = 故选：D【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题7 （5 分） （2014 湖北模拟）已知函数 f（x）与 g（x）的图象在 R 上不间断，由下表知方程 f（x）=g（x）有实数解的区间是
15、（ ）x 1 0 1 2 3f（x ） 0.677 3.011 5.432 5.980 7.651g（x） 0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A （1， 0） B （0，1） C （1，2） D （2，3）【分析】构造函数 F（x）=f（x）g（x） ，则由题意，F（0）=3.0113.4510，F（1）=5.432 5.2410，即可得出结论【解答】解：构造函数 F（x）=f（x）g（x） ，则由题意，F （0）=3.0113.4510，F（1）=5.4325.2410，函数 F（x）=f （x）g（x）有零点的区间是（0，1） ，方程 f（x）=g（x）有实数解的区
16、间是（0，1） ，故选：B【点评】本题考查方程 f（x） =g（x）有实数解的区间，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于基础题8 （5 分） （2015 秋 长沙校级月考）如图所示的函数 的部分图象，其中 A、B 两点之间的距离为 5，那么 f（1）=（ ）A1 B2 C 2 D2【分析】根据题意，求出函数的半周期，计算 的值，再求出 的值，写出 f（x）的解析式，计算出f（ 1）的值【解答】解：根据题意，A， B 两点之间的距离为 5，A，B 两点的纵坐标的差为 4，所以函数的半周期为 T= =3，解得 T=6；则 = = ，函数解析式为 f（x）=2sin（ x+） ；由 f（0）=1
17、 ，得 2sin=1，sin = ；又 ， = ；则 f（x）=2sin（ x+ ） f（ 1）=2sin（ + ）=2sin =2故选：D【点评】本题考查了由函数 y=Asin（x+）的部分图象求函数解析式，解决此类问题的方法是先由图象看出振幅和周期，由周期求出 ，然后利用五点作图的某一点求 ，是基础题9 （5 分） （2015 秋 长沙校级月考）在锐角ABC 中，已知 BC=1，B=2A，则 AC 的取值范围是（ ）A B C D【分析】根据正弦定理和 B=2A 及二倍角的正弦公式化简得到 AC=2cosA，要求 AC 的范围，只需找出2cosA 的范围即可，根据锐角ABC 和 B=2A
18、求出 A 的范围，然后根据余弦函数的增减性得到 cosA 的范围即可【解答】解：ABC 是锐角三角形，C 为锐角，A+B ，由 B=2A 得到 A+2A ，且 2A=B ，解得： A ， 2cosA ，根据正弦定理 ，B=2A，得到 ，即 AC=2cosA，则 AC 的取值范围为（ . ） 故选：C【点评】此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及 B=2A 变换角得到角的范围，属于中档题10 （5 分） （2015 秋 长沙校级月考）已知点 P 是曲线 y=lnx 上的一个动点，则点 P 到直线 l：y=x+2 的距离的最小值为（ ）
19、A B2 C D2【分析】当曲线上过点 P 的切线和直线 y=x+2 平行时，点 P 到直线 y=x+2 的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于 1，可得切点的坐标，此切点到直线 y=x+2 的距离即为所求【解答】解：当过点 P 的切线和直线 y=x+2 平行时，点 P 到直线 y=x+2 的距离最小由题意可得，y= ，令 =1，x=1，曲线 y=lnx 上和直线 y=x+2 平行的切线经过的切点坐标（1，0） ，点（1，0）到直线 y=x+2 的距离 d= = ，点 P 到直线 y=x+2 的最小距离为 ，故选：C【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的
20、意义，体现了转化的数学思想，同时考查了分析问题的能力，属于中档题11 （5 分） （2014 湖北模拟）某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过 1%已知在过滤过程中废气中的污染物数量 P（单位：毫克/升）与过滤时间 t（单位：小时）之间的函数关系为：P=P0ekt， （k，P 0 均为正的常数） 若在前 5 个小时的过滤过程中污染物被排除了 90%那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放A 小时 B 小时 C5 小时 D10 小时【分析】先利用函数关系式，结合前 5 个小时消除了 90%的污染物，求出常数 k 的值，然后根据指数非常，即可求出结论【解答】解：由题意，前 5 个
21、小时消除了 90%的污染物，P=P 0ekt，（190%）P 0=P0e5k，0.1=e 5k，即5k=ln0.1k= ln0.1；则由 10%P0=P0ekt，即 0.1=ekt，kt=ln0.1，即（ ln0.1）t=ln0.1 ，t=5故选：C【点评】本题主要考查函数模式的应用，根据条件求出 k 的取值是解决本题的根据，考查指数函数的应用12 （5 分） （2015 湖北模拟）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x1）为偶函数，当 x0，1时，f（x）= ，若函数 g（x）=f（x） xb 有三个零点，则实数 b 的取值集合是（以下 kZ） （ ）A （2k ，2k+ ）
22、 B （2k + ，2k+ ） C （4k ， 4k+ ） D （4k+ ，4k+ ）【分析】由题意，画出函数 f（x）的图象，利用数形结合的方法找出 f（x）与函数 y=x+b 有三个零点时 b的求值【解答】解：因为函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x 1）为偶函数，当 x0，1时，f（x）= ，故当 x1，0时，f（x）= ，所以函数 f（x）的图象如图g（x）=f（x）x b 有三个零点，即函数 f（x）与函数 y=x+b 有三个交点，当直线 y=x+b 与函数 f（x）图象在（0，1）上相切时，即 =x+b 有 2 个相等的实数根，即 x2+bx1=0 有 2 个相等的实数根由=0 求得 b= ，数形结合可得 g（x）=f（x）x b 有三个零点时，实数 b 满足 b ，故此式要求的 b 的集合为（ ， ） 再根据函数 f（x）的周期为 4，可得要求的 b 的集合为（4k ，4k+ ） ，故选：C
