1、2015-2016 学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（理科） （七）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知集合 U=R，A= x|0x2，B=y|y=2 x，xR，则（ UA）B=（ ）A （，0） B （0，1） C （1，2 D （2，+）2 （5 分） “（m 1） （a 1）0”是“log am0”的一个（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）若复数 z 满足 z2+2z=10，则|z|=（ ）A B C3 D4 （5 分）执行如图所
2、示的程序框图，如果输入 n=3，则输出的 S=（ ）A B C D5 （5 分） 展开式中除常数项外的其余项的系数之和为（ ）A5377 B5377 C5375 D53756 （5 分）已知函数 f（x）=x+ ，g（x）=2 x+a，若 x1 ，1，x 22，3，使得 f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa1 Ba 1 Ca 2 Da27 （5 分）将函数 向右平移 个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到函数 y=g（x）的图象，则函数 y=g（x）与 ， ，x 轴围成的图形面积为（ ）A B C D8 （5 分）已知不等式组 表
3、示平面区域 ，过区域 中的任意一个点 P，作圆 x2+y2=1 的两条切线且切点分别为 A、B，当APB 最大时， 的值为（ ）A2 B C D39 （5 分）已知向量 满足： ，则 在 上的投影长度的取值范围是（ ）A B C D10 （5 分）已知双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同的焦点 F1、F 2，点 P 为双曲线 C 与椭圆的一个交点，且满足|PF 1|=2|PF2|，则双曲线 C 的渐近线方程是（ ）Ay= x By= x Cy=x Dy= x11 （5 分）已知函数 y=f（x）是 R 上的可导函数，当 x 0 时，有 ，则函数的零点个数是（ ）A0 B1 C2 D312 （5
4、 分）已知数列a n是等差数列，数列b n是等比数列，公比为 q，数列c n中，c n=anbn，S n 是数列cn的前 n 项和，若 Sm=7， S2m=201（m 为正偶数） ，则 S4m 的值为（ ）A1601 B1801 C 2001 D2201二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上.13 （5 分）5 个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为 14 （5 分）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 m，第二次出现的点数为 n，向量 =（m，n ） ， =（3，6） ，则向量 与 共线的概率为
5、 15 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 16 （5 分）数列a n中，已知 a1=5，a 2=19，a 3=41，当 n3 时，3（a nan1）=a n+1an2，则 a10= 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，函数 f（x）=2cosxsin（xA）+sinA（xR ）在 x= 处取得最大值（1）当 时，求函数 f（x）的值域；（2）若 a=7 且 sinB+sinC= ，求ABC 的面积18 （12 分）某军区新兵 50m 步枪射击个人
6、平均成绩 X（单位：环）服从正态分布 N（ ， 2） ，从这些个人平均成绩中随机抽取，得到如下频率分布表：X 4 5 6 7 8 9频数 1 2 26 40 29 2（1）求 和 2 的值（用样本书序期望、方差代替总数数学期望、方差） ；（2）如果这个军区有新兵 10000 名，试估计这个军区新兵步枪射击个人平均成绩在区间（7.9，8.8上的人数19 （12 分）如图，在三棱台 DEFABC 中，AB=2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点（）求证：BD平面 FGH；（）若 CF平面 ABC，ABBC，CF=DE，BAC=45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角（锐角）的大小20
7、 （12 分）已知离心率为 的椭圆 的右焦点 F 是圆（x1） 2+y2=1 的圆心，过椭圆上的动点 P 作圆两条切线分别交 y 轴于 M，N（与 P 点不重合）两点（1）求椭圆方程；（2）求线段 MN 长的最大值，并求此时点 P 的坐标21 （12 分）已知函数 f（x） =e2（lnx+a 1） （e=2.71828为自然对数的底数在定义域上单调递增（1）求实数 a 的取值范围；（2）当实数 a 取最小值时，设 ，证明： ； 请考生在第（22） 、 （23） （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上
8、【选修 4-1：几何证明选讲】22 （10 分）如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与 ABC 的底边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点（1）证明：EFBC ；（2）若 AG 等于O 的半径，且 AE=MN=2 ，求四边形 EBCF 的面积【选修 4-4：坐标系与参数方程 】23在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 =2 sin（）写出C 的直角坐标方程；（）P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P
9、 的直角坐标【选修 4-5：不等式选讲】24若 a0，b0，且 + = （）求 a3+b3 的最小值；（）是否存在 a，b，使得 2a+3b=6？并说明理由2015-2016 学年湖南省长沙一中高三（下）月考数学试卷（理科）（七）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2016 春 长沙校级月考）已知集合 U=R，A=x|0x2，B=y|y=2 x，xR，则（ UA）B=（ ）A （，0） B （0，1） C （1，2 D （2，+）【分析】化简集合 B，求出集合 A 的补集，再计
10、算（ UA）B 即可【解答】解：集合 U=R，A= x|0x2， UA=x|x0 或 x2=（ ，0） （2，+） ，又 B=y|y=2x，xR= y|y0=（0，+） ，（ UA）B=（2，+ ） 故选：D【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2 （5 分） （2016 春 长沙校级月考） “（m 1） （a1）0”是“ logam0”的一个（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据对数函数的图象和性质，解对数不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：当“（m 1） （a 1）0”时，则 或 ，此时 logam 可能无意义
11、，故“ logam0”不一定成立，而当“ logam0”时，则 或 ， “（m 1） （a1 ）0”成立，故“（ m1） （a 1）0”是“log am0”的一个必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数的性质是解决本题的关键，比较基础3 （5 分） （2016 春 长沙校级月考）若复数 z 满足 z2+2z=10，则|z|=（ ）A B C3 D【分析】设 z=x+yi（x，yR） ，代入 z2+2z=10，利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解：设 z=x+yi（x，y R） ，（x+yi） 2+2（x+yi）+10=0，x 2y2+2x+10+
12、（2xy+2y）i=0，x 2y2+2x+10=2xy+2y=0，解得 ，|z|= = 故选：D【点评】本题考查了复数运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 （5 分） （2015 湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3，则输出的 S=（ ）A B C D【分析】列出循环过程中 S 与 i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：判断前 i=1，n=3，s=0，第 1 次循环，S= ，i=2，第 2 次循环，S= ，i=3，第 3 次循环，S= ，i=4，此时，in，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S= =故选：B【点评】本题考查循环框图
13、的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力5 （5 分） （2016 春 长沙校级月考） 展开式中除常数项外的其余项的系数之和为（ ）A5377 B5377 C5375 D5375【分析】利用二项展开式中的通项公式，求出展开式的常数项，再令 x=1 可得展开式中各项系数和，由此求出展开式中除常数项外的其余项的系数和【解答】解：（ x） 9 展开式中的通项公式为：Tr+1=C9r（ ） 9r（1） rxr=（1） rC9r29rx ，令 =0，求得 r=3，所以展开式中常数项为（1） 3C9326=5376，令 x=1 可得展开式中各项系数之和为（21） 9=1，所以展开式中除常数项外的其余项
14、的系数之和为 1+5376=5377故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用问题，解题时应利用展开式的通项公式求出常数项，是基础题目6 （5 分） （2015 郑州一模）已知函数 f（x）=x+ ，g（x）=2 x+a，若x 1 ，1，x 22，3，使得f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa1 Ba 1 Ca 2 Da2【分析】由x 11，2，都x 21，2，使得 f（x 1）g（x 2） ，可得 f（x）=x 2+1 在 x11，2的最小值不小于 g（x）=ax+2 在 x21，2的最小值，构造关于 a 的不等式组，可得结论【解答】解：当 x1 ，1时，由 f（x
15、）=x+ 得，f（x）= ，令 f（x）0，解得： x2，令 f（x）0，解得：x2，f（x）在 ，1单调递减，f（1）=5 是函数的最小值，当 x22，3时，g（x）=2 x+a 为增函数，g（2）=a+4 是函数的最小值，又x 1 ，1，都x 22，3，使得 f（x 1）g（x 2） ，可得 f（x）在 x1 ，1的最小值不小于 g（x）在 x22，3的最小值，即 5a+4，解得：a 1，故选：A【点评】本题考查的知识是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键7 （5 分） （2010 聊城二模）将函数 向右平移 个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标
16、变为原来的 2 倍，得到函数 y=g（x）的图象，则函数 y=g（x）与 ，x 轴围成的图形面积为（ ）A B C D【分析】将函数 向右平移 个单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到函数 y=g（x）的图象，利用积分求函数 y=g（x）与， ，x 轴围成的图形面积【解答】解：将函数 向右平移 个单位，得到函数=sin（2x+）=sin2x ，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到函数 y=g（x）=sinx 的图象，则函数 y=sinx 与 ， ，x 轴围成的图形面积： + （ sinx）d x=cosx +c
17、osx = +1=故选 B【点评】本题是中档题，考查三角函数图象的平移伸缩变换，利用积分求面积，正确的变换是基础，合理利用积分求面积是近年高考必考内容8 （5 分） （2015 天水校级模拟）已知不等式组 表示平面区域 ，过区域 中的任意一个点 P，作圆 x2+y2=1 的两条切线且切点分别为 A、B，当 APB 最大时， 的值为（ ）A2 B C D3【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当 最小时，P 的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使APB 最大，则 P 到圆心的距离最小即可，由图象可知当 OP 垂直直线 x+y2
18、=0，此时|OP|= =2，|OA|=1，设APB=，则 sin = ， =此时 cos= ， = = 故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键9 （5 分） （2015 东阳市模拟）已知向量 满足： ，则 在 上的投影长度的取值范围是（ ）A B C D【分析】由 = 12 可求 的范围，进而可求 的范围，然后由在 上的投影| |cos 可求【解答】解：设向量 的夹角为 | |=13，| |=1 = = = 12 5 = 在 上的投影| |cos=cos故选 D【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质及投影的定义的简单应用，解题的关
19、键是弄清楚基本概念10 （5 分） （2014 秋 湖南校级期末）已知双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同的焦点 F1、F 2，点 P 为双曲线 C 与椭圆的一个交点，且满足|PF 1|=2|PF2|，则双曲线 C 的渐近线方程是（ ）Ay= x By= x Cy=x Dy= x【分析】通过椭圆、双曲线的定义直接计算即可【解答】解：由椭圆定义可知：|PF 1|+|PF2|=6，又|PF 1|=2|PF2|，3|PF 2|=6，即|PF 2|=2，由双曲线定义可知：|PF 1|PF2|=2a，又|PF 1|=2|PF2|，|PF 2|=2a，即 a=1，由已知，双曲线的焦半距 c=2，则 b=
20、，双曲线的渐近线方程为：y= x，故选：A【点评】本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题11 （5 分） （2016 永州模拟）已知函数 y=f（x）是 R 上的可导函数，当 x0 时，有 ，则函数 的零点个数是（ ）A0 B1 C2 D3【分析】将函数 =0，转化为 xf（x）= ，然后利用函数和导数之间的关系研究函数g（x）=xf（x）的单调性和取值范围，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由 =0，得 xf（x）= ，设 g（x）=xf（x） ，则 g（x）=f（x）+xf（x） ，x0 时，有 ，x0 时， ，即当 x0 时，g（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数 g（x）单调递增，此时 g（x）g（0）=0，当 x0 时，g（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数 g（x）单调递减，此时 g（x）g（0）=0，作出函数 g（x）和函数 y= 的图象， （直线只代表单调性和取值范围） ，由图象可知函数的零点个数为 1 个故选：B
