湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷(二)教师.doc

1、第 1 页（共 25 页）2013 年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（二）一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）1 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）当 x 时，代数式 + 的值是（ ）A3 B12 C32 D2 12 （4 分） （2001河南）如果一直角三角形的三边为 a，b，c，B90，那么关于 x 的方程 a（x 21） 2cx+b（ x2+1）0 的根的情况为（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定根的情况3 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）两年期定期储蓄的年利率为 2.25%，按照国家规定，所得利息要缴纳 20

2、%的利息税，王大爷于 2002 年 6 月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息 540 元，则王大爷 2002 年 6 月的存款额为（ ）A20000 元 B18000 元 C15000 元 D12800 元4 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）如图，MN 是O 的直径，A20，PMQ50，以 PM 为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（ ）A正七边形 B正八边形 C正六边形 D正十边形5 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）如图，ABAC，EAED，BAD20，EDC10，则B 的度数为（ ）A45 B50 C55 D不能确定第 2 页（共 25 页）6 （4 分） （

3、2013雨花区校级自主招生）已知非零实数 a，b 满足 a2+ab+b2+ab+10，则+ 的值等于（ ）A1 B0 C1 D27 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）若函数 y （x 2100x+196+| x2100x+196| ） ，则自变量 x 取 1， 2，3，4，99，100 这 100 个自然数时，函数和的值是（ ）A540 B390 C194 D978 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）设 x1，x 2 是方程 x22003x+20050 的两个实根，实数 a，b 满足：ax 12003+bx220032003，ax 12004+bx220042004，则 ax1

4、2005+bx22005 的值为（ ）A2005 B2003 C2005 D2003二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）9 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）已知实数 a 满足|2002a|+ a，则a2002 2 的值为 10 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）如图，直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知AE 1cm，EB5cm ，DEB60，则 CD 的长为 11 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）AD 是ABC 的中线，ADC45，把ADC沿直线 AD 翻折，点 C 落在点 C的位置，BC 4，则 BC的长为 12 （4 分） （2013雨花区校级自主招

5、生）如图，平行四边形 ABCD 中，AB24，P、Q 三等分 AC，DP 交 AB 于 M，MQ 交 CD 于 N，则 CN 13 （4 分） （2014雨花区校级自主招生）抛物线 yax 2 与直线 x1，x2，y 1，y2组成的正方形有公共点，则 a 的取值范围是 14 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）如图，ABCD 和 EBFG 都是正方形，第 3 页（共 25 页）AB30cm，则阴影部分的面积为 15 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）如图，在梯形 ABCD 中，ABDC，A90，AB 4，CD 3，BC7，O 为 AD 边的中点，则点 O 到 BC 的距离为 16

6、 （4 分） （2013雨花区校级自主招生）如图，在ABC 中，ABC100，ACB 20，CE 是ACB 的平分线，D 是 AC 上的一点且 BDED，若CBD20，则CED 的度数为 三、解答题（每小题 12 分，共 36 分）17 （12 分） （2013雨花区校级自主招生）某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，也不高于 800 元/件，经试销调查，发现销售量 y（件）与销售单价 x（元/ 件）可近似于一次函数 ykx +b 的关系，如图所示（1）根据图象，求一次函数 ykx+b 的表达式；（2）设公司获得的毛利润为 S 元，试问销售单价定

7、为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时销售量是多少？第 4 页（共 25 页）18 （12 分） （2004重庆）如图，在O 的内接ABC 中，ABAC，D 是O 上一点，AD 的延长线交 BC 的延长线于点 P（1）求证：AB 2AD AP；（2）若O 的直径为 25，AB20，AD15，求 PC 和 DC 的长19 （12 分） （2013雨花区校级自主招生）已知抛物线 yx 2+（2m）x 2m（m2）与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B、C（B 点在 C 点的左边） （1）写出 A、B、C 三点的坐标；（2）设 ma 22a+4，试问是否存在实数 a，使ABC 为

8、直角三角形；（3）设 ma 22a+4，当BAC 最大时，求实数 a 的值第 5 页（共 25 页）2013 年湖南省长沙市雅礼中学理实班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 32 分）1 【考点】2C：实数的运算 菁优网版权所有【专题】11：计算题；511：实数【分析】原式利用算术平方根、立方根的性质化简，将 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：x ，x20，则原式|x2|+1x2x+1x32x32 ，故选：C【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2 【考点】AA：根的判别式；KQ：勾股定理菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析

9、】根据勾股定理，确立 a2+c2b 2，化简根的判别式，判断根的情况就是判断与 0 的大小关系【解答】解：B90a 2+c2b 2化简原方程为：（a+b）x 22cx+ba04c 24（b 2a 2）4c 24c 20方程有两个相等实数根故选：A【点评】总结：1、勾股定理：在直角三角形中，C90，有 a2+b2c 22、一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3） 0方程没有实数根3 【考点】8A：一元一次方程的应用 菁优网版权所有【专题】12：应用题【分析】如果设王大爷 2002 年 6 月的存款额为 x 元，根据本金利率时间（

10、1税率）税后利息，列出方程求解即可第 6 页（共 25 页）【解答】解：设王大爷 2002 年 6 月的存款额为 x 元，由题意，得 x2.25%2（120% ）540，解得 x15000故选：C【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据利息的求法得到相应的等量关系4 【考点】MM：正多边形和圆菁优网版权所有【分析】首先根据圆周角定理得出POQ100，进而利用等腰三角形的性质得出OPQ OQP，再由外角的性质得出 A+APOPOM20+4060，即可得出POM 是等边三角形，再由正六边形的性质得出答案【解答】解：连接 QO，PO，如图所示；QOPO ，OPQ OQP，PMQ50，POQ 1

11、00 ，OPQ +OQP18010080，OPQ OQP40，A+APOPOM20+4060，POOM ，POM 是等边三角形，PMOP OM，以 PM 为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形故选：C【点评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识，根据已知得出POM 是等边三角形是解题关键5 【考点】KH：等腰三角形的性质菁优网版权所有【分析】设Cx ，根据等腰三角形的性质得到BCx，得到AEDx+10，第 7 页（共 25 页）根据三角形的内角和列方程即可得到结论【解答】解：设Cx ，ABAC，BCx ，AEDx+10 ，EAED ，DAEEDA85 x，x+

12、x+ （20+85 x）180，x50，B50，故选：B【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，题目比较好，难度适中6 【考点】1F：非负数的性质：偶次方；AE ：配方法的应用菁优网版权所有【分析】由 a2+ab+b2+ab+10，两边乘 2，进一步利用完全平方公式分组分解，进一步利用非负数的性质得出 a、b 的数值，代入求得答案即可【解答】解：a 2+ab+b2+a b+10，2a 2+2ab+2b2+2a2b+2 0，（a 2+2ab+b2）+（a 2+2a+1）+（b 22b+1）0，（a+b） 2+（a+1） 2+（b1） 20，a+b0，a+10，b10，解得

13、a1，b1， + 0故选：B【点评】此题考查配方法的运用，以及非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键7 【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征 菁优网版权所有【分析】将 x2100x +196 分解为：（x 2） （x98） ，然后可得当 2x 98 时函数值为0，再分别求出 x1，99，100 时的函数值即可第 8 页（共 25 页）【解答】解：x 2100x +196（x 2） （x98）当 2x98 时，|x 2100x+196|（x 2100x +196） ，当自变量 x 取 2 到 98 时函数值为 0，而当 x 取 1，99，100 时，|x 2100x+196|x 21

14、00x +196，所以，所求和为（12） （198）+（992） （9998）+（1002） （10098）97+97+196390故选：B【点评】本题考查函数值的知识，有一定难度，关键是将 x2100x+196 分解为：（x2） （x98）进行解答8 【考点】AB：根与系数的关系菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由根与系数关系，x 1，x 2 是方程 x22003x+20050 的两个实根可得：x1+x22003， x1x22005；化简式子 ax12005+bx22005 的值为：（x 1+x2） （ax 12004+bx22004）x 1x2（ax 12003+bx22003）

15、；将 x1+x22003 ，x 1x22005，ax 12003+bx220032003，ax 12004+bx220042004 代入即可得出结果【解答】解：x 1，x 2 是方程 x22003x+20050 的两个实根可得：x1+x22003， x1x22005，故 ax12005+bx22005（x 1+x2） （ax 12004+bx22004）x 1x2（ax 12003+bx22003） ，2003200420052003，2003故选：D【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及利用已知条件对所求式子的化简，难度中等，关键要掌握 x1，x 2 是方程 x2+px+q0 的两根时，x

16、 1+x2p，x 1x2q二、填空题（每小题 4 分，共 32 分）9 【考点】72：二次根式有意义的条件菁优网版权所有【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出 a 的范围，把原式变形，计算即可【解答】解：由题意得，a20030，则 a2003，第 9 页（共 25 页）原式变形为：a2002+ a，则 2002，a2002 2+2003，则 a2002 22003故答案为：2003【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键10 【考点】KO：含 30 度角的直角三角形；KQ：勾股定理；M2：垂径定理菁优网版权所有【专题】2B：探究型【分析

17、】过点 O 作 OFCD，连接 OD，由 AE1cm，EB5cm 可求出圆的半径，进而可得出 OE 的长，在 RtOEF 中根据DEB60及 OE 的长可求出 OF 的长，在 RtODF 中利用勾股定理可求出 DF 的长，进而可得出 CD 的长【解答】解：过点 O 作 OFCD，连接 OD，AE1cm，EB5cm，ABAE+EB1+56cm，OAOD 3 cm，OEOA AE312cm，在 Rt OEF 中DEB60，OE 2cm，OFOE sinDEB2 cm，在 Rt ODF 中，DF cm，OFCD，CD2DF2 2 cm故答案为：2 cm【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角

18、形的性质，根据题意作出辅助线，第 10 页（共 25 页）构造出直角三角形是解答此题的关键11 【考点】PB：翻折变换（折叠问题） 菁优网版权所有【分析】由折叠得BDC90，CD2，得BDC是等腰直角三角形，根据勾股定理求出 BC的长【解答】解：如图，由折叠得：ACDAC D，ADCADC45，DCDC，BDC90，AD 是ABC 的中线，BDCD BC 42，BDDCDC2，BDC是等腰直角三角形，BC 2 【点评】本题是折叠问题，考查了折叠的性质和三角形中线的定义，明确折叠前后的两三角形全等，及三角形中线平分边长，在直角三角形中常利用勾股定理求线段的长度12 【考点】L5：平行四边形的性质

19、菁优网版权所有【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对边平行，所以 ，故进一步可推出 CN【解答】解：因 P、Q 三等分 AC，故 ，ABCD ， ，又ABCDAM CD12，CN AM6故答案为：6第 11 页（共 25 页）【点评】运用平行四边形的性质解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等13 【考点】HF：二次函数综合题；LE：正方形的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】建立平面直角坐标系，画出四条直线围成的正方形，进一步判定其开口方向，再代入点的坐标即可解答【解答】解：如图，四条直线 x1，x 2，y 1， y2 围成正方形 ABC

20、D，因为抛物线与正方形有公共点，所以可得 a0，而且 a 值越大，抛物线开口越小，因此当抛物线分别过 A（1，2） ，C（2，1）时，a 分别取得最大值与最小值，代入计算得出：a2，a ；由此得出 a 的取值范围是 故填 【点评】此题利用数形结合的思想，考查了二次函数最值问题以及抛物线开口方向与 a值的关系14 【考点】LE：正方形的性质菁优网版权所有【专题】15：综合题【分析】根据正方形的性质可证OEGOBF，由此可知 S 阴影 S 正方形 ABCD【解答】解：设小正方形 EBFG 的对角线相交于点 O第 12 页（共 25 页）在正方形 EBFG 中，对角线 EF 与 BG 互相垂直平分，

21、在OEG 与 OBF 中，OEG OBFS 阴影 S 正方形 ABCD 3030450（cm 2）即阴影部分的面积为 450cm2故答案为：450cm 2【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是证明 S 阴影 S 正方形 ABCD15 【考点】KQ：勾股定理；LH：梯形菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】作 CEAB 于 E，OHBC 于 H，连接 OC、OB，如图，先证明四边形 ADCE为矩形得到 AECD3，ADCE，则 BE1，再利用勾股定理计算出 CE4 ，所以 ODOA 2 ，接着利用勾股定理的逆定理证明BOC 为直角三角形，BOC90，然后

22、利用面积法计算出 OH 的长即可【解答】解：作 CEAB 于 E，OHBC 于 H，连接 OC、OB ，如图，ABDC，D180A90，而 CEAB，四边形 ADCE 为矩形，AECD3，ADCE，BEABAE431，在 Rt BCE 中，CE 4 ，AB4 ，第 13 页（共 25 页）O 为 AD 边的中点，ODOA 2 ，在 Rt ODC 中，OC 2OD 2+CD2（2 ） 2+3221，在 Rt OAB 中，OB 2OA 2+AB2（2 ） 2+4228，OC 2+OB249 BC 2，BOC 为直角三角形，BOC90， OHBC OCOB，OH 2 ，即点 O 到 BC 的距离为

23、2 故答案为 2 【点评】本题考查了梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形会利用三角形全等的知识证明角和线段相等；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键16 【考点】KH：等腰三角形的性质菁优网版权所有【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义解答即可【解答】解：ACB20，CBD20，BDCD，BDED ，EDCD，CEDDCE，CE 平分ACB，CEDDCE ACB10，故答案为：10第 14 页（共 25 页）【点评】此题考查等腰三角形的问题，关键是根据等腰三角形的判定和性质解答三、解答题（每小题 12 分，共 36 分）17 【考点】HE：二次函数的应用 菁

24、优网版权所有【分析】 （1）根据函数图象上的点可以求得一次函数 ykx +b 的表达式；（2）根据（1）中的函数解析式和 S（x500）y，可以解答本题【解答】解：（1）点（600，400） ， （700，300）在 ykx +b 上， ，解得，即一次函数的表达式是 yx+1000（500x 800） ；（2）S（x+1000） （x 500）x 2+1500x500000（x750） 2+62500，x750 时，S 取得最大值，此时 S62500，y750+1000250，即销售单价定为 750 元时，该公司获得最大毛利润，最大毛利润是 62500 元，此时销售量是 250 件【点评】本题

25、考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的函数解析式，会求函数的最值18 【考点】KQ：勾股定理；M6：圆内接四边形的性质；MH ：切割线定理；S9：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】152：几何综合题【分析】 （1）欲证 AB2AD AP，需证 AC2ADAP，因此只需证 ADCACP 即可；（2）由（1）的结论可求出 AP 的长，过点 A 作直径 AE 交 BC 于点 F，用相交弦定理的推论可求出 AF 的长，进而可求出 BF、CF 的长在 Rt APF 中，已知 AP、AF 的长，可用勾股定理求出 PF 的长，进而可求出 PC 的长，根据割线定

26、理，可求出 PD 的长【解答】 （1）证明：ADC+B180，BACBACP+ ACBACP+B180ADCACPADCACP第 15 页（共 25 页） ，即所以 AB2ADAP；（2）解：过点 A 作直径 AE 交 BC 于点 FABC 是等腰三角形，AE 垂直平分 BC设 AFa，则 EF25a，由 BF2AFEF，得 400a 2a（25a）所以 AFa16，BF FC12方法 1：由（1）AB 2AD AP 得：在 Rt AFP 中，PCPFFC 又由PCDPAB 得： ；方法 2：（前面部分给分相同）连接 BE、EC、BD AE 是直径，ABE 90，且 BEECBE15 ，又已知

27、 AD15，ADECDCAE ，即 DCBC，则 BD 是直径DC在 Rt PCD 中， PDPAAD PC 第 16 页（共 25 页）【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识的综合应用综合性强，难度较大19 【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【分析】 （1）先令 x0，求出点 A 坐标，再令 y0 求出方程的根，分两种情况得出点B，C 坐标；（2）先判断得出点 B，C 坐标，再求出 AB2，BC 2，AC 2，用 m 的范围得出AB，BC，AC 的大小，从而得出结论；（3）根据三角形的边角的不等关系得出结论【解答】解：（1）令 x0，由

28、yx 2+（2m ）x2m（m2） ，y2m，A 的坐标为（0，2m）令 y0，由 yx 2+（2m）x2m（m2） ，x 2+（2m）x2m0，（x+2） （x m）0x 1 2，x 2mB 点在 C 点左边当 m2 时，B ，C 的坐标分别为（m，0）和（2，0） 当 m2，但 m2 时， B，C 的坐标分别为（2，0）和（m，0） （2）不存在，理由：ma 22a+4（a1） 2+33由（1）的结论知，A 的坐标为（0，2m ） ，B，C 的坐标分别为（2，0）和（m，0） AB 24m 2+4第 17 页（共 25 页）BC2（m+2） 2m 2+4m+4AC2m 2+4m2 5m 2

29、m3，3m 2m3m9m4m，AB 2 4m 2+4m 2 +4m+4BC 2，ABBCm3，m 294，AC 2 5m 2 4m 2 +4AB 2，ACABACABBCAB 2 +BC25m 2+4m+85m 2 AC 2不存在实数 a，使ABC 为 Rt（3）不存在，理由：ma 22a+4（a1） 2+33由（2）的结论知，ACABBC BAC 最小不存在实数 a，能使得BAC 最大【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，二次函数的极值，直角三角形的判断，三角形边的大小的判断方法，解本题的关键是得出 ACABBC第 18 页（共 25 页）考点卡片1非负数的性质：偶次方偶

30、次方具有非负性任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为 0 时，则其中的每一项都必须等于 02实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用【规律方法】实数运算的“三个关键”1运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0 指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对

31、值的化简等2运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算3运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度3二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念形如 （a0）的式子叫做二次根式（2）二次根式中被开方数的取值范围二次根式中的被开方数是非负数（3）二次根式具有非负性 （a0）是一个非负数学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题【规律方法】二次根式有无意义的条件1如果一个式子中含有多个二次根式，那么

32、它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数第 19 页（共 25 页）2如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零4一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润售价进价，利润率 100%） ；（4）工程问题（工作量人均效率人数时间；如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和工作总量） ；（5）行程问题（路程速度时间） ；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度静水速度+水流速度；逆水速度静水速度水流速

33、度）（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为 x，然后用含 x 的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答列一元一次方程解应用题的五个步骤1审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系2设：设未知数（x） ，根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么） ，也可设间接未知数3列：根据等量关系列出方程4解：解方程，求得未知数的值5答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句5根的判别式利用一元二次方程根的判别式（b 24ac）判断方程的根的情况一元二次方程 a

34、x2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；第 20 页（共 25 页）当 0 时，方程有两个相等的两个实数根；当 0 时，方程无实数根上面的结论反过来也成立6根与系数的关系（1）若二次项系数为 1，常用以下关系：x 1，x 2 是方程 x2+px+q0 的两根时，x1+x2p，x 1x2q，反过来可得 p（x 1+x2） ，qx 1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数（2）若二次项系数不为 1，则常用以下关系：x 1，x 2 是一元二次方程ax2+bx+c0（ a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2

35、，反过来也成立，即 （x 1+x2） ，x 1x2（3）常用根与系数的关系解决以下问题：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数不解方程求关于根的式子的值，如求，x 12+x22 等等判断两根的符号 求作新方程 由给出的两根满足的条件，确定字母的取值这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑 a0，0 这两个前提条件7配方法的应用1、用配方法解一元二次方程配方法的理论依据是公式 a22ab+b2（ab） 2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为 1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方2、利用配方法求二次三项式是

36、一个完全平方式时所含字母系数的值关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方3、配方法的综合应用8二次函数图象上点的坐标特征二次函数 yax 2+bx+c（a0 ）的图象是抛物线，顶点坐标是（ ， ） 抛物线是关于对称轴 x 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式顶点是抛物线的最高点或最低点抛物线与 y 轴交点的纵坐标是函数解析中的 c 值第 21 页（共 25 页）抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x 1，0） ， （x 2，0） ，则其对称轴为 x 9二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇

37、到求最大利润，最大销量等问题解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题10二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

38、解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起这类试题一般难度较大解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要

39、使实际问题有意义11等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念第 22 页（共 25 页）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等 【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 【三线合一】（3）在 等腰； 底边上的高； 底边上的中线；顶角平分线以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论12含 30 度角的直角三角形（1）含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三

40、角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数（3）注意：该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；应用时，要注意找准 30的角所对的直角边，点明斜边13勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2c 2（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式 a2+b2c 2 的变形有：a ，b 及 c （4）由于 a2+b2c 2a 2，所以 ca，同理 cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边14平行

41、四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（2）平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等角：平行四边形的对角相等对角线：平行四边形的对角线互相平分第 23 页（共 25 页）（3）平行线间的距离处处相等（4）平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等15正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱

42、形的一切性质两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴16梯形（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形17垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）垂径定理的推论推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论 3：平分弦所对一条弧的直

43、径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧18圆内接四边形的性质第 24 页（共 25 页）（1）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角） （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来在应用时要注意是对角，而不是邻角互补19切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言：PT 切O 于点 T，PBA 是O 的割线 PT 的平方PAPB （切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点

44、的两条线段长的积相等 几何语言：PBA， PDC 是 O 的割线 PDPCPA PB（切割线定理推论） （割线定理） 由上可知：PT 2PAPB PC PD20正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆（2）正多边形的有关概念中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距21翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实

45、质上就是轴对称变换2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等第 25 页（共 25 页）3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件解题时，我们常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数22相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造