1、- 1 -辽宁各市 2012 年中考数学试题分类解析汇编专题 3：方程（组）和不等式（组）锦元数学工作室 编辑1、选择题1. （2012 辽宁本溪 3 分）已知一元二次方程 x28x15=0 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，则ABC 的周长为【 】A、13 B、11 或 13 C、11 D、12【答案】B。【考点】因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】x 28x15=0 ，（x3）（x5）=0。x3=0 或 x5=0，即x1=3，x 2=5。一元二次方程 x28x15=0 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，当底边长和腰长分别为 3 和 5
2、 时，3+35，ABC 的周长为：3+3+5=11；当底边长和腰长分别为 5 和 3 时，3+55，ABC 的周长为：3+5+5=13。ABC 的周长为：11 或 13。故选 B。2. （2012 辽宁本溪 3 分）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了 15 分钟，现已知小林家距学校 8 千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 2.5 倍，若设乘公交车平均每小时走 x 千米，根据题意可列方程为【 】A、 B、 C、 D、8+15=x2.8=+152.81=42.5x81=+2.5x4【答案】D。【考点】由实际问题抽象出分式方程（行程问
3、题）。【分析】根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的 2.5 倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了 15 分钟，利用时间得出等式方程： 。故选 D。81=+x2.543. （2012 辽宁丹东 3 分）不等式组 的解集是【 】x304A.3x4 B.3x4 C.3x4 D.x4【答案】A。- 2 -【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，解 得 x3；解 得 x4。不等式组的解为3x4。故00选 A。4. （2012 辽宁营口
4、3 分）不等式 的解集在数轴上表示正确的是【 】9【答案】A。【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集。【分析】不等式的解集在数轴上表示的方法：，向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示。因此不等式在数轴上表示正确的是 A。故选 A。393x二、填空题1. （2012 辽宁鞍山 3 分） A、B 两地相距 10 千米，甲、乙二人同时从 A 地出发去 B 地，甲的速度是乙的速度的 3 倍，结果甲比乙早到 小时设乙的速度为 x 千米/时，可列方程13为 【答案】 。10+=3x【考点】由实际问题抽象出分式方程（行程问题）。【分析】因为乙的速度为
5、 x 千米/小时，甲的速度是乙的速度的 3 倍，所以甲的速度是 3x千米/小时；甲走 10 千米的时间是 小时，乙走 10 千米的时间是 小时。根据“甲比乙10310x早到 小时” 得出等式方程：13。0+=x2. （2012 辽宁朝阳 3 分）一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 a 的取2ax+40值范围为 。- 3 -【答案】a 且 a0。14【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程定义。【分析】方程 有两个不相等的实数根，0，即 416a0，解得2ax+a 。14程 是一元二次方程，a0。2ax40a 的取值范围为 a 且 a0。13. （2012 辽宁大连 3 分）如果关于 x
6、 的方程 x2+kx+9=0 有两个相等的实数根，那么 k 的值为 。【答案】6。【考点】一元二次方程根的判别式，解一元二次方程。【分析】关于 x 的方程 x2+kx+9=0 有两个相等的实数根，=k 2419=0。解得k=6。4. （2012 辽宁丹东 3 分）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资 3 年，2010 年初投资 2 亿元，2012 年初投资 3 亿元设每年投资的平均增长率为 x，则列出关于x 的方程为 【答案】2(1x) 23。【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。【分析】由 2010 年初投资 2 亿元，每年投资的平均增长率为 x，得 2011 年初投资为2
7、(1x)， 2012 年初投资为 2(1x) (1x) 2(1x) 2。据此列出方程：2(1x) 23。5. （2012 辽宁阜新 3 分）我市某公司前年缴税 40 万元，今年缴税 48.4 万元该公司缴税的年平均增长率为 【答案】10%。【考点】一元二次方程的应用（增长率问题）。【分析】设该公司缴税的年平均增长率是 x，则去年缴税 40(1x) 万元， 今年缴税 40(1x) (1x) 40(1x) 2万元。据此列出方程：40(1x) 2=48.4，解得 x=0.1 或 x=2.1（舍去）。该公司缴税的年平均增长率为 10%。- 4 -6. （2012 辽宁阜新 3 分）如图 1，在边长为
8、a 的大正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图 2这个拼成的长方形的长为 30，宽为20则图 2 中部分的面积是 【答案】100。【考点】解二元一次方程组的应用（几何问题）。【分析】由题意，得图 2 中部分长为 b，宽为 ab， ，解得 。a+b=30a=5图 2 中部分的面积是 。b25=107. （2012 辽宁锦州 3 分）不等式组 的解集是 .-13+2x【答案】 。12x12x8. （2012 辽宁锦州 3 分）某品牌自行车进价为每辆 800 元，标价为每辆 1200 元.店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于
9、5%，则最多可打 折. 【答案】七。【考点】一元一次方程的应用（利润问题）。- 5 -【分析】设最多可打 x 折，根据题意和销价进价=利润=进价利润率，得1200x800=8005%，解得 x=0.7。要保证利润率不低于 5%，最多可打七折。9. （2012 辽宁沈阳 4 分）不等式组 的解集是 .x102【答案】1x 。12【考点】解一元一次不等式组。【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此解不等式 x+10 得：x1，解不等式 12x0 得：x ，12不等式组的解集是1
10、x 。210. （2012 辽宁铁岭 3 分）某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工 20 天可完成；若甲、乙两工程队合作施工 5 天后，乙工程队在单独施工 45 天可完成.求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设乙工程队单独完成此工程需要 x 天，可列方程为 .【答案】 。54+=120x【考点】由实际问题抽象出分式方程（工程问题）。【分析】甲、乙两工程队合作施工 20 天可完成；合作的工作效率为： 。120若设乙工程队单独完成此工程需要 x 天，则可列方程 。54+=x三、解答题1. （2012 辽宁鞍山 12 分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，
11、如果购买 3 张两人学习桌，1 张三人学习桌需 220 元；如果购买 2 张两人学习桌，3 张三人学习桌需 310 元（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；- 6 -（2）学校欲投入资金不超过 6000 元，购买两种学习桌共 98 张，以至少满足 248 名学生的需求，设购买两人学习桌 x 张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为 W 元，求出 W 与x 的函数关系式；求出所有的购买方案【答案】解：（1）设每张两人学习桌单价为 a 元和每张三人学习桌单价为 b 元，根据题意得： ，解得 。3+b=201=50b7答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为 50 元，70 元。（2）设购买两人学习桌
12、 x 张，则购买 3 人学习桌（98x）张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为 W 元，则 W 与 x 的函数关系式为：W=50x+70（98x）=20x+6860；根据题意得： ，解得 43x46。50+798x602324x 为整数，x=43，44，45，46。所有购买方案为：购买两人桌 43 张，购买三人桌 58 张；购买两人桌 44 张，购买三人桌 54 张；购买两人桌 45 张，购买三人桌 53 张；购买两人桌 46 张，购买三人桌 52 张。【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用【分析】 （1）设每张两人学习桌单价为 a 元和每张三人学习桌单价为 b 元，根据如
13、果购买3 张两人学习桌，1 张三人学习桌需 220 元；如果购买 2 张两人学习桌，3 张三人学习桌需310 元分别得出等式方程，组成方程组求出即可。（2）根据购买两种学习桌共 98 张，设购买两人学习桌 x 张，则购买 3 人学习桌（98x）张，根据以至少满足 248 名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过 6000 元得出不等式，进而求出即可。2. （2012 辽宁本溪 12 分）某商店购进甲、乙两种型号的滑板车，共花费 13000 元，所购进甲型车的数量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍。现已知甲型车每辆进价 200 元，乙型车每辆进价 400 元，设商店购进乙型车 x 辆
14、。（1）商店有哪几种购车方案？（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的滑板车全部售出，并且销售甲型车每辆获得利润70 元，销售乙型车每辆获得利润 50 元，写出此商店销售这两种滑板车所获得的总利润- 7 -y（元）与购进乙型车的辆数 x（辆）之间的函数关系式？并求出商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大？【答案】解：（1）设商店购进乙型车 x 辆则甲型是： 辆。1304x2根据题意得： ，解得 13x 。1304x23654x 是正整数， 是正整数，x=13 或 14 或 15 或 16。1304x2有 4 种方案：方案一：乙 13 辆，甲 39 辆；方案二：乙 14 辆，甲 37 辆；方案三：乙
15、 15 辆，甲 35 辆；方案四：乙 16 辆，甲 33 辆。（2）y=70 +50x，即 y=90x4550。1304x2900，则 y 随 x 的增大而减小，当 x=13 时，y 最大。答：当乙型车购进 13 辆时所获得的利润最大。【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。【分析】（1）设商店购进乙型车 x 辆则甲型是： 辆。根据所购进甲型车1304x2的数量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍，即可得到关于 x 的不等式组，从而求得 x 的范围，然后根据甲、乙的辆数都是正整数，即可确定 x 的值，从而确定方案。（2）根据总获利=甲型的获利+乙型的获利，即可得到函数解析式，然后
16、利用函数的性质即可确定商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大。3. （2012 辽宁朝阳 12 分）为支持抗震救灾，我市 A、B 两地分别的赈灾物资 100 吨和 180吨。需全部运往重灾区 C、D 两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 C 县的数量比运往D 县的数量的 2 倍少 80 吨。（1）求这批赈灾物资运往 C、D 两县的数量各是多少吨？（2）设 A 地运往 C 县的赈灾物资为 x 吨（x 为整数），若要 B 地运往 C 县的赈灾物资数量大于 A 地运往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍，且要求 B 地运往 D 县的赈灾物资数量不超过 63 吨，则 A、B 两地的赈灾物资运往 C、D
17、两县的方案有几种？- 8 -【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用（调配问题）。【分析】（1）设运往 C 县的物资是 a 吨，D 县的物资是 b 吨，然后根据运往两地的物资总量列出一个方程，再根据运往 C、D 两县的数量关系列出一个方程，然后联立组成方程组求解即可。（2）根据 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 x 吨，表示出 B 地运往 C 县的物资是（160x）吨，A 地运往 D 县的物资是（100x）吨，B 地运往 D 县的物资是120（100x）=（20x）吨，然后根据“B 地运往 C 县的赈灾物资数量大于 A 地运往 D县赈灾物资数量的 2 倍”列出一个不等式，根据“B 地运
18、往 D 县的赈灾物资数量不超过 63吨”列出一个不等式，组成不等式组并求解，再根据 x 为整数即可得解。4. （2012 辽宁大连 9 分）解方程： .2x=1+3【答案】解：去分母，得 ，63移项，合并同类项，得 ，4两边同除以 4，得 。x=- 9 -经检验， 是原方程的根。3x=4原方程的的解为 。【考点】解分式方程。【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是 3（x1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。5. （2012 辽宁丹东 10 分）暴雨过后，某地遭遇山体滑坡，武警总队派出一队武警战士前往抢险. 半小时后，第二队前去支
19、援，平均速度是第一队的 1.5 倍，结果两队同时到达已知抢险队的出发地与灾区的距离为 90 千米，两队所行路线相同，问两队的平均速度分别是多少？【答案】解：设第一队的平均速度是 x 千米/时，则第二队的平均速度是 1.5x 千米/时根据题意，得： ，解这个方程，得 x=60 。901=.52经检验，x=60 是所列方程的根。1.5x=1.560=90。答：第一队的平均速度是 60 千米/时，第二队的平均速度是 90 千米/时。【考点】分式方程的应用。【分析】设第一队的平均速度是 x 千米/时，则第二队的平均速度是 1.5x 千米/时根据半小时后，第二队前去支援，结果两队同时到达，即第一队与第二
20、队所用时间的差是 小时，12即可列方程求解。6. （2012 辽宁丹东 10 分）甲 、 乙 两 工 程 队 同 时 修 筑 水 渠 ， 且两队所修水渠总长度相等右 图 是 两 队所 修 水 渠 长 度 y(米 )与 修 筑 时 间 x(时 )的函数图像的一部分请根据图中信息，解答下列问题：（1）直 接 写 出 甲 队 在 0 x 5 的 时 间 段 内 ， y 与 x 之 间 的函数关系式 ；直 接 写 出 乙 队 在 2 x 5 的 时 间 段 内 ， y 与 x 之 间 的函数关系式 ；（2）求 开 修 几 小 时 后 ， 乙 队 修 筑 的 水 渠 长 度 开 始 超 过 甲 队 ？（
21、3）如果甲队施工速度不变，乙队在修筑 5 小时后，施工 速 度 因 故 减 少 到 5 米 /时 ， 结果 两 队 同 时 完 成 任- 10 -务 ， 求 乙队从开修到完工所修水渠的长度为多少米？7. （2012 辽宁锦州 10 分）某部队要进行一次急行军训练，路程为 32km.大部队先行，出发 1 小时后，由特种兵组成的突击小队才出发，结果比大部队提前 20 分钟到达目的地.已知突击小队的- 11 -行进速度是大部队的 1.5 倍，求大部队的行进速度. （列方程解应用题）【答案】解：设大部队的行进速度是 千米/小时。 x1 小时 20 分钟= 小时，根据题意，得 ，433241.5x解得
22、。8x经检验： 是所列方程的解。答：大部队的行进速度是 8 千米/小时。【考点】分式方程的应用（行程问题）。【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：大部队行进的时间突击小队行进的时间=1 小时20 分钟 = 。32x321.5x438. （2012 辽宁沈阳 10 分）甲、乙两人加工同一种机器零件，甲比乙每小时多加工 10 个零件，甲加工 150 个零件所用时间与乙加工 120 个零件所用时间相等，求甲、乙两人每小时各加工多少个机器零件？【答案】解：设乙每小时加工机器零件 x 个， 则甲每小时加工机器零件（x10） 个，根据题意得： ，解得 x=40。1502经
23、检验， x=40 是原方程的解，x+10=40+10=50。答： 甲每小时加工 50 个零件， 乙每小时加工 40 个零件。【考点】分式方程的应用（工程问题）。【分析】根据“甲加工 150 个零件所用的时间与乙加工 120 个零件所用时间相等”可得出相等关系，从而只需表示出他们各自的时间即可。9. （2012 辽宁铁岭 12 分）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品.小亮发现，如果买 1 个笔记本和 3 支钢笔，则需要 18 元；如果买 2 个笔记本和 5 支钢笔，则需要 31 元.（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？（2）班主任给小亮的班费是
24、 100 元，需要奖励的同学是 24 名（每人奖励一件奖品），- 12 -若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？【答案】解：（1）设每个笔记本 x 元，每支钢笔 y 元，依题意得： ，解得： 。31825x35答：设每个笔记本 3 元，每支钢笔 5 元。（2）设购买笔记本 m 个，则购买钢笔（24m）个，依题意得： ，解得： 。5(24)10m12m 取正整数，m=10 或 11 或 12。有三种购买方案：购买笔记本 10 个，则购买钢笔 14 个；购买笔记本 11 个，则购买钢笔 13 个；购买笔记本 12 个，则购买钢笔 12 个。【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的
25、应用。【分析】（1）每个笔记本 x 元，每支钢笔 y 元，根据题意列出方程组求解即可。（2）设购买笔记本 m 个，则购买钢笔（24m）个利用总费用不超过 100 元和钢笔数不少于笔记本数列出不等式组求得 m 的取值范围后即可确定方案。10. （2012 辽宁营口 12 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 60 的正方形硬纸片，剪掉阴cm影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使 A、B、C、D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒(1) 若折叠后长方体底面正方形的面积为 1250 ，求长方体包装盒的高；2cm(2) 设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为
26、，长方体的侧面积为 S ，求 S)(x )(2cm与 的函数关系x式，并求 为何值时，S 的值最大- 13 -【答案】解：（1）设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为 ，xcm由题意得： 。260()150x解得， ， （不符合题意舍去）。152x答：长方体包装盒的高为 5 。2cm（2）由题意得， 。260S4410xx =40，当 时，S 有最大值。a125x【考点】一元二次方程和二次函数的应用（几何问题）。【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出 NP 的长度，再利用正方形性质表示出底面正方形面积从而得出答案即可。另法：由已知得底面正方形的边长为 =25 ， 1250AN=25 =25。PN=60252=10。PQ=10 =5 ( )。2 2cm答：长方体包装盒的高为 5 。2cm（2）表示出长方体的侧面积从而利用二次函数的最值求法得出答案。
