1、学优中考网 山东 17 市 2011 年中考数学试题分类解析汇编专题3：方程（组）和不等式（组）1、选择题1. （山东日照 3 分）某道路一侧原有路灯 106 盏，相邻两盏灯的距离为 36 米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为 70 米，则需更换的新型节能灯有A、54 盏 B、55 盏 C、56 盏 D、57 盏【答案】 B。【考点】一元一次方程的应用（优选方案问题） 。【分析】设需更换的新型节能灯有 盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长相x等，列出方程求解：70（ 1）=36（1061） ，解得 x55，则需更换的新型节能灯有55 盏。注意根据实际问题采取进 1
2、的近似数。故选 B。2. （山东日照 3 分） 若不等式 2 4 的解都能使关于 的一次不等式（ 1）xxa 5 成立，则 的取值范围是xaaA、1 7 B、 7 C、 1 或 7 D、 =7a【答案】 A。【考点】解一元一次不等式组，不等式的性质。【分析】先求出不等式 2 4 的解，求出不等式（ 1） 5 中的 的范围，即xaxx2。x由（ 1） 5 得：当 10 时， ， ，即a 1A、0 B、1 C、2 D、1【答案】A。【考点】一元一次不等式组的整数解。【分析】首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值即可：解第一个不等式得： 3；解第二个不等式得： 1。故根据不等式组
3、的解集同大取较大，xx同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了的原则得不等式组的解集是：1 3。故最小整数解是：0。故选 A。14.（山东临沂 3 分）不等式组 的解集是13 20 xA、 8 B、3 8 C、0 2 D、无解xxx【答案】B。【考点】解一元一次不等式组。【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）：由第一个不等式得，8，由第一个不等式得 3，xx故此不等式组的解集为：3 8故选 B。15.（山东威海 3 分）关于 x 的一元二次方程 2（ 2） 1=0 有两个相等的xmx实数根，则
4、的m值是A0 B8 C42 D 0 或 82【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】由一元二次方程 2（ 2） 1=0 有两个相等的实数根知，它的根的xmx判别式等于 0，即 。故选 D。2212=41=80=8 m- ， ，16.（山东威海 3 分）如果不等式组 的解集是 ，那么 的取值范围3xm x m是 A =2 B 2 C 2 D 2m【答案】D。【考点】一元一次不等式组的解。【分析】一元一次不等式组的解集应利用口诀求出每一个不等式的解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解） 。所以原不等式组可化为 ，从而只要xmbab 加 法 法 则学优中
5、考网 B由 ，选项错误；2ababab 加 法 法 则 ， 而 ，故选 D。19.（山东淄博 4 分）已知 是方程 的一个根，则 的值为2=0x221aA 152B 51C1 D1【答案】D。【考点】方程根的定义，分式化简，代数式代换。【分析】 22 211211=aaaaaa a ，又 是方程 的一个根， ，即 。210x210a21a 。故选 D。22=1a2、填空题1. （山东滨州 4 分）若 2 是关于 的方程 2 250 的一个根，则 的值为 xxxaa 【答案】 。7【考点】一元二次方程的解和解一元二次方程。【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把 2 代入方程，即
6、可得x到一个关于 的方程，即可求得 的值：把 2 代入方程 2 250 得aaxa42 250，解得 。72.（山东德州 4 分）若 1， 2 是方程 2+ 1=0 的两个根，则 12+ 22= xxx【答案】3。【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式变换。【分析】先根据根与系数的关系求出 1+ 2 和 1 2 的值，再利用完全平方公式对所求代xx数式变形，然后把 1+ 2 和 1 2 的值整体代入计算即可： 1， 2 是方程 2+ 1=0xxxx的两个根， 1+ 2= ， 1 2= 。 12+ 22=（ 1+ 2）baca22 1 2=（1） 22（ 1）=1+2=3。x3.（山东东营
7、4 分）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块妁铁钉长度是前一次的 ，已知这个铁钉被敲击 3 次后全部进入木块(木块足够13厚)且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是 cm，若铁钉总长度为 6 cm，则a的取值范围是 。a【答案】 。549132a【答案】解：解不等式，得 1；解不等式，得 4。xx1 4x在数轴上表示为： 。【考点】解一元一次不等式组。在数轴上表示不等式的解集。【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无
8、解） 。最后在数轴上表示不等式的解集。不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个。在表示解集时“”， “”要用实心圆点表示；“” ， “”要用空心圆点表示。4.（山东德州 10 分）为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在 60 天内完成工程现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程经调查知道：乙队单独完成此项工程
9、的时间比甲队单独完成多用 25 天，甲、乙两队合作完成工程需要30 天，甲队每天的工程费用 2500 元，乙队每天的工程费用 2000 元（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用【答案】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需 天，则乙工程队单独完成该工程需x（ +25）天。x根据题意得： 。30=125x方程两边同乘以 （ +25） ，得 30（ +25）+30 = （ +25） ，xx即 2 35 750=0。解之，得 1=50， 2=15。x经检验， 1=50， 2=15 都是原方程的解。但 2=15 不符合题意，应x舍去。学优中考
10、网 当 =50 时， +25=75。x答：甲工程队单独完成该工程需 50 天，则乙工程队单独完成该工程需 75 天。（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可：方案一：由甲工程队单独完成。所需费用为：250050=125000（元） 。方案二：由甲乙两队合作完成所需费用为：（2500+2000）30=135000（元） 。【考点】分式方程的应用（工程问题） 。【分析】 （1）方程的应用关键是找出等量关系，列出方程。等量关系为：甲工程队 30 天完成该工程的工作量+乙工程队 30 天完成该工程的工作量=13030=125x x （2）首先根据（1）中的结果，排除在 60 天内不能单独完成该工程
11、的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用。5.（山东烟台 8 分）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走 60 米，下坡路每分钟走 80 米 ，上坡路每分钟走 40 米，从家里到学校需 10 分钟，从学校到家里需 15 分钟.请问小华家离学校多远？【答案】解：设平路有 米，坡路有 米，依题意得，xy，解这个方程组，得 。106854xy 304x 700.xy答：小华家离学校 700 米.【考点】二元一次方程组的应用（行程问题） 。【分析】方程（组）的应用解题关键
12、是找出等量关系，列出方程（组）求解。本题等量关系为： 从家里到学校平路时间从家里到学校下坡路时间10 分钟106080xy 从学校到家平路时间从学校到家上坡路时间10 分钟156040xy 其中基础数量关系：时间=路程速度。6.（山东东营 10 分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭成为为居民消费新的增长点据某市交通部门统计2008 年底全市汽车拥有量为 l5 万辆，而截止到 20l0 年底，全市的汽车拥有量已达 216 万辄(1) 求 2008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(2) 为保护城市环境缓解汽车拥堵状况从 2011 年
13、初起该市交通部门拟控制汽车总量，要求到 2012 年底全市汽车拥有量不超过 23.196 万辆；另据估计，该市从 2011 年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆【答案】解：(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为 ，根据题意，得x，解之得 （不合题意，舍去）215=.6x12=0.%.x，答：该市汽车拥有量的年平均增长率为 20%。（2）设该市每年新增汽车数量为 万辆，则y2011 年底该市汽车拥有量为 21.690% 万辆，y2012 年底该市汽车拥有量为（21.690% ）90% 万辆。y根据
14、题意，得（21.690% ）90% 23.196，解得 3。y答：该市每年新增汽车数量最多不能超过 3 万辆。【考点】一元二次方程和一元一次不等式的应用。【分析】(1) 一元二次方程的应用关键是找出等量关系，列出方程。由题意知，2008 年底全市汽车拥有量为 l5 万辆，年平均增长率为 ，2009 年底全市汽车拥有量为 l5（1+ ）x x万辆，2010 年底全市汽车拥有量为 l5（1+ ） （1+ ）= l5（1+ ） 2 万辆，从而列出方程：x，解之即得。215=.6x（2）一元一次不等式的应用关键是找出不等量关系，列出不等式。不等量关系是：到 2012 年底全市汽车拥有量“不超过”23.
15、196 万辆，据此列出不等式：（21.690% ）y90% 23.196，解之即得。y7.（山东菏泽 6 分）解方程： 123x【答案】解：原方程两边同乘以 6 得，3（ +1）=2 （ +1） ，整理得xx学优中考网 2 2 3=0。x解得 1=1 或 。x23经检验： 1=1 或 是原方程的解。x故原方程的解为 1=1， 。23【考点】解分式方程。【分析】观察方程可得最简公分母是：6x，两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答。8.（山东菏泽 6 分）解不等式组 20 51x【答案】解：解不等式得 2，解不等式得 1，x不等式组的解集为1 2。【考点】解一元一次不等式组。【分析】
16、 ）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解） 。9.（山东菏泽 9 分）我市一家电子计算器专卖店每只进价 13 元，售价 20 元，多买优惠；凡是一次买 10 只以上的，每多买 1 只，所买的全部计算器每只就降低 0.10 元，例如，某人买 20 只计算器，于是每只降价 0.10（2010）=1（元） ，因此，所买的全部 20 只计算器都按照每只 19 元计算，但是最低价为每只 16 元（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出该专卖店当一次销售 时，所获利润 （元）与 （只）之间的函数关系式，
17、并xyx写出自变量 的取值范围；x（3）若店主一次卖的只数在 10 至 50 只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？【答案】解：（1）设一次购买 只，才能以最低价购买，依题意，得 0.1（ 10）x x=2016，解这个方程得 =50。答：一次至少买 50 只，才能以最低价购买。220 137011.0+8 5 6 x 0 ， w 随 a 的增大而增大。 当 =37 时 w 最大值 =2003710000=17400 。a所以，当购买彩电 37 台，购买冰箱 37 台，购买洗衣机为 26 台时，商店销售完这批家电后获得的利润最大，商店获得的最大利润为 17400 元。【考点】
18、一元一次方程和不等式组的应用，一次函数的应用（优选方案问题） 。【分析】 （1）一元一次方程应用的关键是找出等量关系，列出方程。等量关系是：彩电进价购买彩电数量洗衣机进价购买洗衣机数量=总金额2000 1000 (100 ) = 160000xx学优中考网 （2）一元一次不等式组应用首先是找出不等量关系，列出不等式组，解出后根据要求进行讨论。不等量关系是：彩电进价购买彩电数量冰箱进价购买冰箱数量洗衣机进价购买洗衣机数量“不超过”总金额2000 1600 1000 （1002 ） aaa 160000购买洗衣机的台数“不超过”购买彩电的台数1002 aa一次函数应用的关键是找出等量关系，列出函数
19、关系式，然后根据要求进行讨论。等量关系是：总利润 =彩电单位利润 购买彩电数量冰箱单位利润 购买冰箱数量洗衣机单位利润 购买洗衣机数量W = (22002000) (18001600) (11001000) aa(1002 )a其中单位利润=售价进价。14.（山东泰安 8 分）某工厂承担了加工 2100 个机器零件的任务，甲车间单独加工了 900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前 12 天完成任务已知乙车间的工作效率是甲车间的 1.5 倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？【答案】解：设甲车间每天加工零件 个，则乙车间每天加工零件 1.5 个。xx根据题意，
20、得， 12。解之，得 60。21092109.5x经检验， 60 是方程的解，符合题意。x1.5 90 。答：甲乙两车间每天加工零件分别为 60 个、90 个。【考点】分式方程的应用（工程问题） 。【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：甲车间单独加工（ 2100 900）个机器零件的时间两车间同时加工（ 2100 900）个机器零件的时间 12 天 2109x 2109.5x 12其中，工作时间工作量工作效率。15.（山东莱芜 6 分）解不等式组： 。1032x不等式组的解为 。【考点】解一元一次不等式组。【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀
21、求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解） 。16.（山东莱芜 10 分）莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜 200 吨，计划采用批发和零售两种方式销售经市场调查，批发平均每天售出 6 吨。（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了 2 吨，结果提前 5 天完成销售任务那么原计划零售平均每天售出多少吨？（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得的利润为 2000 元，零售每吨获得的利润为 2200 元，计算实际获得的总利润。【答案】解：（1）设原计划零售平均每天售出 吨，很据
22、题意可得x20562x解得 12 , 216经检验 2 是原方程的根，x16 不符合题意，舍去。答：原计划零售平均每天售出 2 吨。( 2 ) （天）026实际获得的总利润是：20006 2022004 20240000176000416000（元）【考点】分式方程的应用（销售问题） 。【分析】 （1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：计划销售时间 实际销售时间5 天学优中考网 。2020566xx （2）先求出实际销售天数，即可由批发销售利润零售销售利润求得总利润。17.（山东聊城 7 分）)解方程： ( 2) 20xx【答案】解：把方程左边因式分解，得 )(1
23、从而，得 ，或20xx所以 。1，【考点】解一元二次方程。【分析】解 一 元 二 次 方 程 的 基 本 思 想 方 法 是 通 过 “降 次 ”将 它 化 为 两 个 一 元 一 次 方 程 。一 元 二 次 方 程 有 四 种 解 法 ： 直 接 开 平 方 法 ； 配 方 法 ； 公 式 法 ； 因 式 分 解 法 。 本 题即 应 用 因 式 分 解 法 求 解 。18.（山东聊城 8 分）徒骇河风景区建设是今年我市重点工程之一某工程公司承担了一段河底清淤任务，需清淤 4 万方，清淤 1 万方后，该公司为提高施工进度，又新增一批工程机械参与施工，工效提高到原来的 2 倍，共用 25 天
24、完成任务问该工程公司新增工程机械后每天清淤多少方？【答案】解：设该工程公司新增工程机械后每天清淤 万方，根据题意，得x1425x解这个方程，得 。0.检验可知， 是方程的根。2x答：该公程公司新增工程机械后每天清淤 2000 方。【考点】分式方程的应用（工程问题） 。【分析】分式方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：原来清淤 1 万方用时新增机械清淤 3 万方用时“共用”25 天完成任务41252xx 其中：工时工作量工效。19.（山东临沂 7 分）去年秋季以来，我市某镇遭受百年一遇的特大旱灾，为支援该镇抗旱，上级下达专项抗旱资金 80 万元用于打井，已知用这 80
25、万元打灌溉用井和生活用井共 58 口，每口灌溉用井和生活用井分别需要资金 4 万元和 0.2 万元，求这两种井各打多少口？【答案】解：设灌溉用井打 口，生活用井打 口，由题意得 解得xy =58 40.2xy。 =1840xy答：灌溉用井打 18 口，生活用井打 40 口。【考点】二元一次方程组的应用。【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到 2 个合适的等量关系本题中 2 个等量关系为：打灌溉用井和生活用井共 58 口；用 80 万元打灌溉用井和生活用井。20.（山东青岛 8 分）解方程组： 4352xy【答案】解：)把化为 42 ，代入得 4（42 ）3 5，解之，得yy1，y把 1
26、代入得 42（1）2，yx原方程组的解为 。 y【考点】解二元一次方程组。【分析】 解二元一次方程组的方法，采用代入或加减消元，化为一一次方程求解即可。21.（山东青岛 8 分）某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A、B 两种型号的污水处理设备共 8 台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：A 型 B 型价 格 (万元/台) 8 6月处理污水量(吨/月) 200 180经预算，企业最多支出 57 万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于 1490吨(1)企业有哪几种购买方案？(2)哪种购买方案更省钱？【答案】解：(1)设购买 A 型设备 台，则购买 B 型设备 8 台。由题意得：x
27、x学优中考网 ，解得 。8657201490xx124x 是正整数， =3，4。答；有两种购买方案：买 A 型设备 3 台，买 B 型设备 5 台；买 A 型设备 4 台，买 B 型设备 4 台。(2)当 3 时，3856 54（万元） ，x当 4 时，484656（万元） 。答；买 A 型设备 3 台，买 B 型设备 5 台更省钱。【考点】一元一次不等式组的应用。【分析】(1)一元一次不等式组的应用关键是找出不等量关系，列出不等式组。不等量关系为A 型设备价格购买 A 型设备台数B 型设备价格购买 B 型设备台数“最多”支出金额 86857x x A 设备月处理污水量 A 设备台数B 设备月
28、处理污水量B 设备台数“ 不低于”1490吨 2018081490x x (2)分别计算出两种方案支出费用，即可作出判断。22.（山东威海 7 分）解方程： 2301x【答案】解:去分母, 得 3( 1) ( 3) =0,x整理, 得 2 =0,=0，x经检验, =0 是原方程的根。所以原方程的解为 =0。x【考点】解分式方程。【分析】根据解分式方程的步骤逐步求解，注意分式方程的检验。23.（山东威海 9 分）为了参加 2011 年威海国际铁人三项（游泳，自行车，长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练。某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟 600 米，跑步的平均速
29、度为每分钟 200 米，自行车路段和长跑路段共 5千米，用时 15 分钟。求自行车路段和长跑路段的长度。【答案】解:设自行车路段的长度为 米，长跑路段的长度为 米。依题意，得xy，解之得 。50=162xy30=2y答：自行车路段的长度为 3 千米，长跑路段的长度为 2 千米。【考点】二元一次方程组的应用（行程问题） 。【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：自行车路段长跑路段“共”5 千米 50xy 骑自行车用时长跑用时“共”15 分钟=16020其中时间路程速度。24.（山东枣 庄 8 分 ）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决
30、心打造“书香校园” ，计划用不超过 1900 本科技类书籍和 1620 本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共 30 个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本，人文类书籍 50本；组建一个小型图书角需科技类书籍 30 本，人文类书籍 60 本（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是 860 元，组建一个小型图书角的费用是 570 元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？【答案】解：（1）设组建中型图书角 个，则组建小型图书角为（30- ）个。由题意，xx得 ， 解这个不等式组，得 18 20 8031905662xx x 只能
31、取整数， 的取值是 18，19，20。 当 =18 时，30- =12；当 =19 时，30- =11；当 =20 时，30- =10。xxxx故有三种组建方案：方案一，中型图书角 18 个，小型图书角 12 个；学优中考网 方案二，中型图书角 19 个，小型图书角 11 个；方案三，中型图书角 20 个，小型图书角 10 个。（2）方案一的费用是：86018+57012=22320（元） ；方案二的费用是：86019+57011=22610（元） ；方案三的费用是：86020+57010=22900（元） 。故方案一费用最低，最低费用是 22320 元。 【考点】一元一次不等式组的应用。【分
32、析】 （1）一元一次不等式组的应用的关键是找出不等量关系，列出不等式组。然后根据要求作答。不等量关系是：中型图书角科技类书籍总数+小型图书角科技类书籍总数“不超过”1900 本8030190x x 中型图书角人文类书籍总数+小型图书角人文类书籍总数“不超过”1620 本5662 （2）求出各方案的费用，即可作出比较而得出结论。25.（山东淄博 9 分）已知： ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 的方程Ax2104mx的两个实数根（1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若 AB 的长为 2，那么 ABCD 的周长是多少？A【答案】解：（1）四边形 ABC
33、D 是菱形，AB=AD。又 ，2221=4=1mm当 ，即 m=1 时，四边形 ABCD 是菱形。0把 m=1 代入 ，得 。204x2=04x 。 12=菱形 ABCD 的边长是 。12（2）把 AB=2 代入 204mx，得 ， 解得 。21=04m52把 代入 ，得 。 5=2m214=04m251=0x解得 ， 。AD= 。1x四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD 的周长是 2（2+ ）=5。1【考点】菱形的判定，方程根的性质，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，平行四边形的性质。【分析】 （1）根据菱形四边相等的性质可知 AB=AD，从而由一元二次方程有两个相等的实数根，根的判别式等于 0 即可求得。（2）由方程根满足方程的性质，可求出根是 2 时 m 的值，从而求出方程得另一根，然后根据平行四边形的性质求出周长。学优中考网 学优+中 考- ，网 学+优中考 $，网
