1、第 1 页 共 5 页高中数学：第十章 排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理排列排列数公式组合组合数公式组合数的两个性质二项式定理二项展开式的性质考试要求：（1 ）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题（2 ）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题（3 ）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题（4 ）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题10. 排列组合二项定理排列组合二项定理 知识要点知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有
2、重复元素的排列.从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二第 n 位上选取元素的方法都是 m 个，所以从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素可重复排列数 mm m = mn 例如：n 件物品放入 m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解： 种）二、排列.1. 对排列定义的理解.定义：从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.排列数.从 n 个不同元素中取出
3、 m(mn)个元素排成一列，称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数，用符号 mA表示.排列数公式： ),()!)1()( NnnAm 注意： !n 规定 0! = 1 1mnACmn 规定 10nC2. 含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有 k 个不同元素 a1，a 2,.an 其中限重复数为n1、 n2nk，且 n = n1+n2+nk , 则 S 的排列个数等于 !.21k. 例如：已知数字 3、2、2 ，求其排列个数 3!)(n又例如：数字 5、5、5 、求其排列个数？其排列个数 1!n.
4、 三、组合.1. 组合：从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合.组合数公式： )!(!1)( mCnACnmn 两个公式： ; mnC1从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素，因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个第 2 页 共 5 页元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从 n+1 个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取 m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有 1mn1nC一类是不含红球的选法有 nC）根据组合定义与
5、加法原理得；在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素，所以有 C1mn，如果不取这一元素，则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素，所以共有 C mn种，依分类原理有mnC1. 排列与组合的联系与区别.联系：都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素.区别：前者是“排成一排” ，后者是“ 并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.几个常用组合数公式 nnn 2210 1112 153142 knkn mnmmn nC 常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如： )!1()!(!
6、432n （利用 !1)(!1nn）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用 mnmnC1递推）如： 4133543 nCC .vi. 构造二项式. 如： nn2220 )()()( 证明：这里构造二项式 xx2其中 的系数，左边为 2210210 )()(nnnnnnnC ，而右边 n2四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：直接法. 排除法.捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“ 局部” 的排列 .它主要用于解决“元素相邻问题” ，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其
7、中某 )(nm个元素必相邻的排列有 mnA1个.其中 1mn是一个“ 整体排列”，而 mA则是“局部排列”.又例如有 n 个不同座位，A、B 两个不能相邻，则有排列法种数为 2n21. 有 n 件不同商品，若其中 A、B 排在一起有 21n.有 n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有 .注：区别在于是确定的座位，有 2种；而的商品地位相同，是从 n 件不同商品任取的2 个，有不确定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“ 元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？ mnA1（插空法） ，当 n
8、m+1m, 即 m 1n时有意义.第 3 页 共 5 页占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般” 的解题原则.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有 nA种，)(nm个元素的全排列有 mA种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若 n 个元素排成一列，其中 m 个元素次序一定，共有 mn种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法
9、？解法一：（逐步插空法） （m+1） （m+2 ）n = n！/ m！；解法二：（比例分配法） nA/.平均法：若把 kn 个不同元素平均分成 k 组，每组 n 个，共有 knnAC)1(.例如：从 1，2，3 ，4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法？有 3!24（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将 200 名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（ !2/108CP）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有 mmnA/1，当 n m+1 m, 即 m 21n时有意义.隔板法：常
10、用于解正整数解组数的问题.例如： 24321x的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列，在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板，把球分成 4 个组.每一种方法所得球的数目依次为 4,x显然 1431，故（ 4321,x）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解 ),(321y，对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数 C.注意：若为非负数解的 x 个数，即用 na,.21中 i等于 1ix，有AaAxx nn .1. 2321，进而转化为求 a 的正整数解的个数为 1n
11、AC .定位问题：从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内，并且都排在某 r 个指定位置则有 rknr.例如：从 n 个不同元素中，每次取出 m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上： 1mnA；不在某一位置上： 1mnA或 1mnA（一类是不取出特殊元素 a，有 n1，一类是取特殊元素 a，有从 m-1 个位置取一个位置，然后再从 n-1 个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列（或组合） ，规定某 r 个元素都
12、包含在内 。先 C 后 A 策略，排列 rknAC；组合 rknC.ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合） ，规定某 r 个元素都不包含在内。先 C 后 A 策略，排列 kr；组合 rn.iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合） ，规定每个排列（或组合）都只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略，排列 ksrnsrA；组合skrnsrC. II. 排列组合常见解题策略：4第 4 页 共 5 页特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）
13、；正难则反，等价转化策略；相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略；“小集团” 排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略 .2. 组合问题中分组问题和分配问题.均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，假定其中 r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为 rA/（其中 A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有 K 组均匀分组应再除以 kA.例：10 人分成三组，各组元素个数为 2、4 、4，其分法种数为 157/248210AC.若分成六组，各组人数分别为 1、1、2 、2 、2、2，其分法种数为 6910非均匀编号分组
14、: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为 m例：10 人分成三组，各组人数分别为 2、3 、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：358210AC种.若从 10 人中选 9 人分成三组，人数分别为 2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有345种均匀编号分组：n 个不同元素分成 m 组，其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为 mr/.例：10 人分成三组，人数分别为 2、4 、4，参加三种不同劳动，分法种数为 324810AC非均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其
15、分法种数为 1nCA21- k)m.(-n1-k21例：10 人分成三组，每组人数分别为 2、3 、5，其分法种数为 50380若从 10 人中选出6 人分成三组，各组人数分别为 1、2、3 ，其分法种数为 6372910.五、二项式定理.1. 二项式定理： nrnnn baCbabaCba 010)( .展开式具有以下特点： 项数：共有 1n项； 系数：依次为组合数 ;,210nrnC 每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.二项展开式的通项. nba)（展开式中的第 r项为： ),0(1 ZrTrnr .二项式系数的性质.在二项展开式中与首未两项“
16、等距离”的两项的二项式系数相等；二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当 n 是偶数时，中间项是第 12n项，它的二项式系数 2nC最大；II. 当 n 是奇数时，中间项为两项，即第 1项和第 1项，它们的二项式系数21nC最大 .系数和： 13142012nnnC第 5 页 共 5 页附：一般来说 bayxn,()(为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当 1ba或 时，一般采用解不等式组 111(, kkkTAA为或 的系数或系数的绝对值）的办法来求解.如何来求 nca)(展开式中含 rqpcba的系数呢？其中 ,Nrqp且 nrqp把nbcba)(视为二项式，先找出含有 C的项 nrCba)(，另一方面在 rba)(中含有 q的项为 qprnqrnC，故在 n)(中含 c的项为 rnc.其系数为rqprnC !)!(!)(!.2. 近似计算的处理方法.当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时，常用近似公式 na1)(，因为这时展开式的后面部分 nnaC32很小，可以忽略不计。类似地，有 但使用这两个公式时应注意 a 的条件，以及对计算精确度的要求.
