1、2018 届陕西省宝鸡市金台区高三上学期期中教学质量检测数学理试题（解析版）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知 ，则复数在复平面对应的点位于 ( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】 ，对应的点位于第二象限，选 B.2. 设集合 则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由集合 ， ，得 ，则 ，故选 D.3. 设 实数 满足 且 实数 满足 则 是 的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不
2、必要条件【答案】A【解析】试题分析：“若 且 则 ”是真命题，其逆命题是假命题，故 是 的充分不必要条件,故选 A.考点：充分必要条件.4. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为 1，高为 2，圆锥的母线长为 ，几何体的表面积 S= 12+ 1 + 22= .故选：A.5. 若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】可行域为一个直角三角形 ABC 及其内部，其中 ,所以直线 过点 时取最大值，选 B.6. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组
3、指派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3 种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】A【解析】分派类型为 311 或 221，所以不同分派方法种数为 ,选 A.7. 甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子. 已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小. 根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A. 甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B. 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C. 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D. 甲是农民，乙是知识分子，丙是工人【答案】C【解析】由题意可知丙
4、不是知识分子，甲不是农民，乙不是农民，所以丙是农民，丙的年龄比乙小，比知识分子大，所以甲是知识分子，乙是工人，丙是农民，选 C.8. 宋元时期数学名著算数启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为 ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由程序框图可得， 时， ，继续循环； 时，继续循环； 时， ， 继续循环；结束输出 .点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果
5、之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.9. 已知双曲线 的两条渐近线均与圆 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】圆 ，所以 ，选 D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 在直角三角形 中，角 为直角，且 ，点 是斜边上的一个三等分点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】建立直角坐
6、标系，设 ,则 ，选 B.11. 在三棱锥 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：由条件知： ，取 BC,PB,AC,AB 中点分别为： F,E,H,K,FE 为 的中位线，FE= ，同理 H F= ， 中，EH= ，E K= ，EH= ， 中，三边关系满足勾股定理，角 为所求角，在直角三角形中，角的余弦值为 故选 A.点睛：发现三棱锥的线线间的垂直关系，将异面直线通过做平行线移到同一平面中，将要求的角放到了直角三角形中求解12. 已知函数 ，若对于任意的 ，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【
7、解析】由题意得 ,因为 ，所以 ,所以当 时， ；当 时， ，不满足 ，因此实数的取值范围为 ，选 B.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知函数 在区间 上任取一个实数 ，则使得 的概率为_；【答案】【解析】当 时，概率故答案为 。14. 函数 的最小值为 _；【答案】【解析】 ，当且仅当 时取等号15. 若数列 是正项数列，且
8、 ，则 _；【答案】【解析】由题意得 ，所以 点睛：给出 与 的递推关系求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 之间的关系，再求 . 应用关系式 时，一定要注意分 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.16. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为，点 ，线段 交抛物线 于点 ，若 ，则_.【答案】【解析】由题意得 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 的内角 的对边分别为 ，已知 .（1 ） 求 ；（2 ） 若 ， ，求 的周长.【答案】 （1） （2 ）【解析】试题分析：（1）由 ，利用正弦定理可得 又
9、，代入化简即可得出（2） ，可得到 .则 的周长可求.试题解析：（1） ， ，（2） ， ， ，18. 某校举办“中国诗词大赛”活动，某班派出甲乙两名选手同时参加比赛. 大赛设有 15 个诗词填空题，其中“唐诗” 、 “宋词”和“毛泽东诗词”各 5 个.每位选手从三类诗词中各任选 1 个进行作答，3 个全答对选手得 3 分，答对 2 个选手得 2 分，答对 1 个选手得 1 分，一个都没答对选手得 0 分. 已知“唐诗” 、 “宋词”和“毛泽东诗词”中甲能答对的题目个数依次为 5，4，3，乙能答对的题目个数依此为 4，5，4，假设每人各题答对与否互不影响，甲乙两人答对与否也互不影响求：（1）甲
10、乙两人同时得到 3 分的概率；（2 ） 甲乙两人得分之和的分布列和数学期望【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）先确定甲乙两人同时得到 3 分的事件概率，再根据独立事件同时发生概率乘法公式求概率（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望试题解析：解：（1）设事件 为甲得分为分 ，事件 为乙得分为分 则又甲、乙两人同时得 分为事件 故 （2）甲、乙两人得分之和的可能取值为 的分布列为 所以的数学期望为 19. 如图所示的几何体是由棱台 和棱锥 拼接而成的组合体，其底面四边形 是边长为 的菱形，且 ， 平面 ， （1）求证：平面 平面 ；
11、（2）求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）要证明平面 平面 ，由面面垂直的判定定理知，需在某个平面上找到某条直线垂直于另一个平面，通过观察分析，平面 内直线 平面 .要证明 平面 ，又转化为线面垂直问题，平面 ，菱形 中， ，又 平面 .（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面 平面 DFC 的法向量，再求出两个法向量的夹角的余弦值，即可得二面角 的余弦值 .试题解析：（1） 平面 在菱形 中， 又 平面 平面 平面 平面（2）连接 、 交于点 ，以 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴，如图建立空间直角坐标系. ，同理, ,设平面 的法向量，则 设平面 DFC
12、 的法向量，则 设二面角 为，20. 已知椭圆 ，抛物线 的焦点均在 轴上， 的中心和 的顶点均为原点 ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是 ， ， ， （1）求 ， 的标准方程；（2）是否存在直线满足条件：过 的焦点 ； 与 交于不同的两点 且满足 ？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ： ， （2） 或【解析】试题分析：（1）设抛物线 ，则有 ，据此验证四个点即可求解（2）首先假设存在直线满足条件，利用向量垂直时 求出直线参数 k 即得结论试题解析：（）设抛物线 ，则有 ，据此验证四个点知 ， 在抛物线上，易得，抛物线 的标准方程为 设椭圆 ，把点 ， 代入可得所
13、以椭圆 的标准方程为 （）由椭圆的对称性可设 的焦点为 F（1，0） ，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为直线 l 交椭圆 于点，不满足题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ， 并设由 ，消去 y 得， ，于是，由 得 将代入式，得 ，解得所以存在直线 l 满足条件，且 l 的方程为 或21. 已知函数 . （1）讨论 的单调性；（2）若存在 ，求的取值范围.【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）求得 ，讨论两种情况， ， ，分别令 得增区间， 得减区间；（2）由 得： ,分三种情况讨论， ， ，每种情况只需令 即可.试题解析：（1）依题意： 的定义域为 ， ， 当 时， ， 在 上单调递增，当 时，令 ，得 ， 令 ，得 ；令 ，得 ，在 上单调递增，在 上单调递减. （2）由 得： ，当 时， ，满足题意； 当 时，设 ， 在 上单调递增， ，不合题意；当 时，令 得 ，令 得
