1、金台区数学学科选修 2-1 第二单元质量检测试题参赛试卷 学校：宝鸡铁一中 命题人： 杨文兵 一、选择题(本大题共 10 个小题 ,每小题 6 分,共 60 分)1.已知向量 =1,2,3, =3,0,-1, = ,1, ,有下列结论：abc513 + + = - - ; ( + + )2= 2+ 2+ 2;( ) = ( )；( +cabcabca) = ( - ).其中正确的结论的个数有( )baA.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个2.同时垂直于 =(2,2,1), =(4,5,3)的单位向量是( )bA.( ) B.( )32,132,1C.( ) D.( )或( ),3.已知
2、三点 A(0,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2),则 = , = 的夹角为( )aABbCA. B. C. D.23644.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，下列各式中运算结果为向量 的个数有（ ）1A( + )+ ( + )+DC( + )+ ( + )+1 1B1A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个5.已知 =3 +2 - , = - +2 ,则 5 与 3 的数量积等于（ ）aijkbijkabA.-15 B.-5 C.-3 D.-16.已知向量 =(0,2,1), =(-1,1,-2),则 与 的夹角为（ ）A.0 B.45 C.90 D.1807.以下命题中
3、，正确的命题为（ ）A.| |-| | + |是 、 不共线的充要条件ababB.（ ） = （ )=( )abcabcaC.向量 在向量 方向上的射影向量的模为 | |cos ， abD.在四面体 ABCD 中，若 =0， AC =0，则 A =0BDBDBC8.若 =(2,-2,-2), =(2,0,4),则 sin , 等于（ ）ababA. B. C. D.1152085698549.已知 =（+1,0,2), =(6,2-1,2),若 ,则 与 的值分别为（ ）ababA. B.5， 2 C. D.-5，-22,5 21,510.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，
4、M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D.552530二、填空题(本大题共 5 小题 ,每小题 6 分,共 30 分)11.已知 =(1,2,-2),若| |=2| |,且 ,则 =_.abab12.已知 =（cos,1,sin), =(sin,1,cos),则向量+ 与 - 的夹角是_.b13.已知过 O 点长为 1,2,3 的三个向量为 , , ,且 = = =0,则 + + 的abcbcabc值为_.14.已知 , , 为单位正交基底，且 =- + +3 , =2 -3 -2 ，则向量 + 与向量ijkijki
5、jk-2 的坐标分别是ab_，_.15.已知 A（0，2，3） ，B（-2，1，6） ，C（1，-1，5） ，若| |= ，且 , a3ABa,则向量 的坐标为_.Ca三、解答题(本大题共 4 小题 ,共 60 分)16.已知 =(2,4,x), =(2,y,2)，求| |=6 且 ，求 x+y 的值. abab17.已知空间四边形 ABCD 中，ABCD，ACBD，证明 ADBC.（用向量方法）18.如右图，棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 为 DD1 中点，O 1、O 2、O 3 分别是面 A1C1、面 BC1、面 AC 的中心.(1)求证：B 1O3PA；(2)求异
6、面直线 PO3 与 O1O2 所成角的余弦值；19.如右图，四面体 PABC，PA、PB、PC 两两垂直，PA=PB=2，PC=4，E 是 AB 的中点，F 是 CE 的中点.(1)写出点 B、C、E、F 的坐标；(2)求 BF 与底面 ABP 所成的角的余弦值.金台区数学学科选修 2-1 第二单元质量检测试题参赛试题答案 学校：宝鸡铁一中 命题人： 杨文兵 一、选择题(本大题共 10 个小题 ,每小题 6 分,共 60 分)1.已知向量 =1,2,3, =3,0,-1, = ,1, ,有下列结论：abc513 + + = - - ; ( + + )2= 2+ 2+ 2;( ) = ( )；(
7、 +cabcabca) = ( - ).其中正确的结论的个数有( )baA.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个答案:A2.同时垂直于 =(2,2,1), =(4,5,3)的单位向量是( )bA.( ) B.( )32,132,1C.( ) D.( )或( ),答案:D3.已知三点 A(0,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2),则 = , = 的夹角为( )aABbCA. B. C. D.2364答案：B4.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，下列各式中运算结果为向量 的个数有（ ）1A( + )+ ( + )+DC( + )+ ( + )+1 1B1A.1 个 B.2 个
8、C.3 个 D.4 个答案：D5.已知 =3 +2 - , = - +2 ,则 5 与 3 的数量积等于（ ）aijkbijkabA.-15 B.-5 C.-3 D.-1思路分析：设空间向量 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3),则 =a1b1+a2b2+a3b3,把 5 =(15,10,-a a5),3 =(3,-3,6)代入上式即可.b答案：A6.已知向量 =(0,2,1), =(-1,1,-2),则 与 的夹角为（ ）ababA.0 B.45 C.90 D.180思路分析：设 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3)，则cos , = ,把 =(a1,a2,a3),
9、=(b1,b2,b3)代入上式即可ab2321321 babab求得 cos , ，从而得出 与 的夹角.答案：C7.以下命题中，正确的命题为（ ）A.| |-| | + |是 、 不共线的充要条件ababB.（ ） = （ )=( )ccaC.向量 在向量 方向上的射影向量的模为 | |cos ， abD.在四面体 ABCD 中，若 =0， AC =0，则 A =0BDBDBC答案：D8.若 =(2,-2,-2), =(2,0,4),则 sin , 等于（ ）ababA. B. C. D.115208569854答案：A9.已知 =（+1,0,2), =(6,2-1,2),若 ,则 与 的值
10、分别为（ ）ababA. B.5， 2 C. D.-5，-221,5 21,5思路分析： ，则存在 mR，使得 =m .又 =(+1,0,2), =(6,2-1,2),则有b可得.2),1(06m.21,5答案：A10.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D.52525310思路分析：建立空间直角坐标系 D1A1C1D（图略） ，则易知 =（0， ，-1 ） ，AM2=（1，0， ） ，代入向量的夹角公式，可求得 cos ， = .CN2 CN5答案：B二、填空
11、题(本大题共 5 小题 ,每小题 6 分,共 30 分)11.已知 =(1,2,-2),若| |=2| |,且 ,则 =_.abab答案：(2,4,-4) 或（ -2，-4，4）12.已知 =（cos,1,sin), =(sin,1,cos),则向量+ 与 - 的夹角是_.ab答案：9013.已知过 O 点长为 1,2,3 的三个向量为 , , ,且 = = =0,则 + + 的abcbcabc值为_.答案: 1414.已知 , , 为单位正交基底，且 =- + +3 , =2 -3 -2 ，则向量 + 与向量ijkaijkbijkab-2 的坐标分别是ab_，_.答案：（1,-2,1） ，
12、（-5,7,7）15.已知 A（0，2，3） ，B（-2，1，6） ，C（1，-1，5） ，若| |= ，且 , a3ABa,则向量 的坐标为_.Ca思路分析：设 =(x,y,z),又 =(-2,-1,3), =(1,-3,2),则由| |= , , ,AAC可解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1.答案：（1，1，1）或（-1， -1，-1）三、解答题(本大题共 4 小题 ,共 60 分)16.已知 =(2,4,x), =(2,y,2)，求| |=6 且 ，求 x+y 的值. abab思路分析：本题只需代入向量的模的公式及向量垂直的条件，解方程组即可.解：由| |=6，得 22+42+x
13、2=36， 又 =0，即 4+4y+2x=0， ab由,有 x=4,y=-3 或 x=-4,y=1.x+y=1 或-3.17.已知空间四边形 ABCD 中，ABCD，ACBD，证明 ADBC.证明：令 = , = , = ,ABCbADcABCD, =0,即 ( - )=0. - =0,即 = acbacbACBD, =0,即 ( - )=0.ACBDAB - =0,即 = cc = . ( - )=0,aba即 ( - )=0. =0.ADBC.ADCBADC18.如右图，棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 为 DD1 中点，O 1、O 2、O 3 分别是面 A1C1、面
14、 BC1、面 AC 的中心.(1)求证：B 1O3PA；(2)求异面直线 PO3 与 O1O2 所成角的余弦值；答案：(1)证明：以 D 为坐标原点， DA、DB、DD 1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如右图所示空间直角坐标系 Dxyz.则 A(1,0,0),B1(1,1,1),P(0,0, 2),O3( 1, ,0)， =(- 2,- ,-1),PA=(1,0,- ).31QB PA=- 1- 0-1(- )=0.PA .B1O3PA.31(2)解：O 1( 2, ,1),O2( ,1, ), =(0, ,- ).又 =( , 1, ),3P2设 与 夹角为 ,3P21cos= |
15、213O= .3621404)(21异面直线 PO3 与 O1O2 所成角的余弦值为 .3619.如右图，四面体 PABC，PA、PB、PC 两两垂直，PA=PB=2，PC=4，E 是 AB 的中点，F 是 CE 的中点.(1)写出点 B、C、E、F 的坐标；(2)求 BF 与底面 ABP 所成的角的余弦值.解：(1)如右图，以 PA 为 x 轴， PB 为 y 轴，PC 为 z 轴，P 为原点建立空间直角坐标系，则 B 点坐标为(0,2,0)，C 点坐标为(0,0,4),A 点坐标为(2,0,0).E 为 AB 中点，E(1,1,0).F 为 CE 中点，F( 21, 2).(2)设 G 为 PE 中点，则 G( , ,0).PA、PB、PC 两两互相垂直，PC面 ABP.F、 G 分别为 CE、PE 中点，FGPC.FG面 ABP.故FBG 为 BF 与面 ABP 所成的角.FBG= , , =( 21, ,2), =( 21,- 3,0).BF3BGcos , = = = .G|65
