1、第六课时：画树状图求概率【目标导航】学习用画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。【要点梳理】1、当一次试验涉及 的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用 。2、运用树形图法求概率的步骤如下画 ； 列出结果，确定公式 P(A)= nm中 m 和 n 的值；利用公式 计算事件概率。【问题探究】例 1、口袋中装有 2 个相同的球，它们分别写有字母 A 和 B；乙口袋中 3 个相同的球，它们分别写有字母 C、D 和 E；丙口袋中 2 个相同的球，它们分别写有字母 H 和 I。从三个口袋中各随机地取出 1 个球。（1）取出的三个球上恰好有 1 个、2 个和
2、3 个元音字母的概率分别为多少？（2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？变式：一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同） ，其中有白球 2 个，黄球 1 个。若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率是 0.5。（1）求口袋中红球的个数；（2）小明认为口袋中有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概率都是 ，你认为对吗？请你用列表或画树状图的方法说明理由。3例 2、从甲地到乙地有 A1、A 2 两条路线，从乙地到丙地有 B1、B 2、B 3 三条路线，从丙地到丁地有 C1、C 2 两条路线一个人任意先了一条从甲地到丁地的路线求他恰好选到 B
3、2 路线的概率是多少？变式：有四张完全一样的空白纸片，在每张纸片的一个面上分别写上 1、2、3、4某同学把这四张纸片写有字的一面朝下，先洗匀随机抽出一张，放回洗匀后，再随机抽出一张求抽出的两张纸片上的数字之积小于 6 的概率 （用树状图或列表法求解）例 3、 如图，一个被等分成了 3 个相同扇形的圆形转盘，3 个扇形分别标有数字1、3、6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）.（1）请用画树形图或列表的方法(只选其中一种) ，表示出分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形数字的所有结果；（2）求分别转动转
4、盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的概率.变式：2010 年上海世博会某展览馆展厅东面有两个入口 A，B，南面 j 西面、北面各有一个出口，示意图如图所示小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开(1)她从进入到离开共有多少种可能的结果?(要求画出树状图)(2)她从入口 A 进入展厅并从北出口或西出口离开的概率是多少?【课堂操练】1 361、 小明同时向上掷两枚质地均匀、同样大小的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1到 6 的点数，掷得面朝上的点数之和是 3 的倍数的概率是（ ）A B C D316518562、 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子的
5、六个面分别刻有 1 到 6 的点数，朝上的面的点数中，一个点数能被另一个点数整除的概率是A. B. C. D.71834 233、 在一个布袋中装着只有颜色不同，其它都相同的红、黄、黑三种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，两次摸球所有可能的结果如图所示，则摸出的两个球中，一个是红球，一个是黑球的概率是（ ）A B C D 921349第一次第一次第二次红红红黄黑黄黄红黄黄黑、黑红黄黑4、小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）A B C D121838125、同时掷两个质地均匀的
6、正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，则两个骰子向上的一面的点数和为 8 的概率为（ ） A 91 B 365 C 61 D 3676、中央电视台举办的第 14 届“蓝色经典天之蓝”杯青年歌手大奖赛，由部队文工团的A（海政） 、B（空政） 、C（武警）组成种子队，由部队文工团的 D（解放军）和地方文工团的 E（云南） 、F（新疆）组成非种子队.现从种子队 A、B、C 与非种子队 D、E、F 中各抽取一个队进行首场比赛.(1)请用适当方式写出首场比赛出场的两个队的所有可能情况（用代码 A、B、C、D、E、F表示） ；(2)求首场比赛出场的两个队都是部队文工团的概率 P.7、现有
7、一本故事书，姐妹俩商定通过摸球游戏定输赢（赢的一方先看） ，游戏规则是：用4 个完全相同的小球，分别表上 1、2、3、4 后放进一个布袋内，先由姐姐从布袋中任意摸出一个小球，记下小球的标号后放回并摇匀，再由妹妹任意摸出一个小球，若两人摸出的小球标号之积为偶数，则姐姐赢，两人摸出的小球标号之积为奇数，则妹妹赢.这个游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由.8、 “清明节”前夕，我县某校决定从八年级（一）班、 （二）班中选一个班去杨闇公烈士陵园扫墓，为了公平，有同学设计了一个方法，其规则如下：在一个不透明的盒子里装有形状、大小、质地等完全相同的 3 个小球，把它们分别标上数字 1、2、3
8、，由（一）班班长从中随机摸出一个小球，记下小球上的数字；在一个不透明口袋中装有形状、大小、质地等完全相同的 4 个小球，把它们分别标上数字 1、2、3、4，由（二）班班长从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，然后计算出这两个数字的和，若两个数字的和为奇数，则选（一）班去；若两个数字的和为偶数，则选（二）班去（1）用树状图或列表的方法求八年级（一）班被选去扫墓的概率；（2）你认为这个方法公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一个公平的方法【每课一测】一、选择题（共 5 小题每题 5 分）1、有 A，B 两只不透明口袋，每只品袋里装有两只相同的球，A 袋中的两只球上分别写了“细” 、
9、“致”的字样，B 袋中的两只球上分别写了“信” 、 “心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是 （ ）A B C D34132432、甲盒子中有编号为 1、2、3 的 3 个白色乒乓球，乙盒子中有编号为 4、5、6 的 3 个黄色乒乓球现分别从每个盒子中随机地取出 1 个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于 6 的概率为（ ） A 94 B 95 C 32 D 973、小明打算暑假里的某天到上海世博会一日游,上午可以先从台湾馆、香港馆、韩国馆中随机选择一个馆, 下午再从加拿大馆、法国馆、俄罗斯馆中随机选择一个馆游玩则小明恰好上午选中台湾馆,下午选中法国馆这两个场馆的概
10、率是 A B C D191323294、小明要给刚结识的朋友小林打电话，他只记住了电话号码的前 4 位的顺序，后 3 位是3，6，8 三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是A B C D12614315、将三个均匀的六面分别标有 1、2、3、4、5、6 的正方体同时掷出，出现的数字分别为，则 正好是直角三角形三边长的概率是（ ）abc、 、 c、 、A B C D67126二、填空题（共 5 小题，每题 5 分）6、张家界国际乡村音乐周活动中，来自中、日、美的三名音乐家准备在同一节目中依次演奏本国的民族音乐，若他们出场先后的机会是均等的，则按“美日中”顺序
11、演奏的概率是 7、已知 M(a，b)是平面直角坐标系 xOy 中的点，其中 a 是从 l，2，3 三个数中任取的一个数，b 是从 l，2，3，4 四个数中任取的一个数定义“点 M(a，b)在直线 x+y=n 上”为事件 (2n7，n 为整数)，则当 的概率最大时，n 的所有可能的值为_QQ8、如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止） ，两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是 .8 7 6543219、投一枚均匀的小正方体，小正方体的每个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6每次实验投两次，两次朝上的数字的
12、和为 7 的概率是_10、现有四条线段，长度依次是 2，3，4，5，从中任选三条，能组成三角形的概率是 三、解答题（共 3 个题，11 题 15 分，12 题 15 分，13 题 20 分）11、分别把带有指针的圆形转盘 A、B 分成 4 等份、3 等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示） 。欢欢、乐乐两人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘。（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公
13、平吗？试说明理由。12、小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定。游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营。（1）用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果。（2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？13、 “六一”儿童节，小明去商场买书包，商场在搞促销活动，买一只书包可以送 2 支笔和1 本书（1）若有 3 支不同笔可供选择，其中黑色 2 支
14、，红色 1 支，试用树状图（或列表法）表示小明依次抽取 2 支笔的所有可能情况，并求出抽取的 2 支笔均是黑色的概率；（2）若有 6 本不同书可供选择，要在其中抽 1 本，请你帮助小明设计一种用替代物模拟抽书的方法参考答案：要点梳理：1、3 个因素或 3 个以上的，树形图；2、树形图，P(A)= nm问题探究：例 1、 分析：要从三个袋子里摸球，即涉及到 3 个因素。此时用列表法就不太方便，可以尝试画树形图法。解：本题可分三步进行。从图形上可以看出所有可能出现的结果共有 12 个，即：这些结果出现的可能性相等。（1）只有一个元音字母的结果有 5 个，即 ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，
15、所以ACHACIADHADIAEHAEIBCHBDHBDIBEHBEIBCIAC D EH I H I H IBC D EH I H I H I甲乙丙125P（ 一 个 元 音 ） ；有两个元音的结果有 4 个，即 ACI，ADI，AEH，BEI，所以 3124P)( 两 个 元 音；全部为元音字母的结果只有 1 个，即 AEI ，所以 12)(三 个 元 音 。（2）全是辅音字母的结果共有 2 个，即 BCH，BDH，所以 61P)(三 个 辅 音。变式：分析：白球的个数是 2 个，任意摸出一个球是白球的概率是 0.5，所以口袋中的球共有 2 0.5=4（个） 。故红球有 1 个。通过画树状
16、图可知，摸到红球、白球或黄球的概率分别是 0.5、0。25、0.25，所以小明的想法是错误的。解：（1）设红球的个数有 x 个，根据题意，得 =0.5 解得 x=1x12答：口袋中有红球 1 个。（2）小明的说法不对。画树状图得： 开始白 白 黄 红12P（白）= = ，P（黄）= ，P（红）= 。42441小明的说法不对。例 2、 用树状图分析如下：所以 P（选到 的路线）= = 答：他恰好选到坐 路线的概率是2B4132B13变式：解（1）开始1 2 3 41 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16
17、或（2）P （小于 6） 8 例3、解：（1）列表如下： 树形图如下：备注：此小题4分，画对表1（或图1）得2分，结果写对得2分.表1: 图11 3 61 (1 ,1) (1 ,3) (1 ,6)3 (3 ,1) (3 ,3) (3 ,6)6 (6 ,1) (6 ,3) (6 ,6)1 3 6136 开始1361361361361 2 3 41 2 3 41 2 3 443214321始始（2）数字之和分别为：2，4，7，4，6，9，7，9，12.算术平方根分别是： ，2， ，2， ，3， ，3， 7672设两数字之和的算术平方根为无理数是事件A 5()9P变式：课堂操练：1.A;2.C;3.
18、B;4.B;5.B;6 解：(1)由题意画树状图如下：A B CD E F D E F D E F所有可能情况是：（A,D） 、(A,E) 、(A,F) 、(B,D) 、(B,E) 、(B,F) 、(C,D) 、(C,E) 、(C,F)(2)所有可能出场的等可能性结果有 9 个，其中首场比赛出场两个队都是部队文工团的结果有 3 个，所以 P(两个队都是部队文工团) 317、解：树状图如下图：或列表如下表：1 2 3 41 11=1 12=2 13=3 14=42 21=2 22=4 23=6 24=83 31=3 32=6 33=9 34=124 41=4 42=8 43=12 44=16由上
19、述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有 16 种. P（姐姐赢）= P（妹妹赢）=43162416所以此游戏对双方不公平，姐姐赢的可能性大.8、 （1）解:法一：解法二：P(和为奇数)= = 126（2）公平理由为：P(和为偶数)= = 。126P(和为奇数)= P(和为偶数)，该方法公平。每课一测：1.A;2.C;3.A;4.B;5.D;6.;7.4,5;8. ;9.;10. .6564311、解：（1） 59（2）不公平。因为欢欢获胜的概率是 ；乐乐获胜的概率是 。9912、解：（1）根据题意画树状图（3 分）姐姐妹妹（2）由树状图可知，共有 8 种等可能的结果：正正正，正正反，正反正，
20、正反反，反正正，反正反，反反正，反反反。其中三次正面正面朝上的或三次反面向上共 2 种。所以，P（小刚任意挑选球队）=2/8=1/4（3）这个游戏规则对两个球队公平。两次正面朝上一次正面向下有三种，正正反，正反正，反正正两次反面朝上一次反面面向下有三种，正反反，反正反，反反正所以，P（小刚去足球队）= P（小刚去蓝球队）=3/8 13、解：（1）用 分别表示 2 支黑色笔， 表示红色笔，列举所有等可能结果，用12A， B树状图表示如下：第一次抽取第二次抽取3 分由上图可知，共有 6 种等可能结果，其中抽取的 2 支笔均是黑色有 2 种， （2 支笔均是黑色） 5 分P312（用列表法类似上述评分标准）（2）方法不唯一，例举一个如下：记 6 本书分别为 ， 用普通的正12345PP， ， ， ， 6方体骰子掷 1 次，规定：掷得的点数为 1，2，3，4，5，6 分别代表抽得的书为， 12345PP， ， ， ， 6A1 BA2 A2 A2A1 B A1B
