1、2018 届湖南省衡阳市高三第一次 联考（一模）文科数学试题（解析版）第卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ,则A=x|(x+1)(x3)0 AB=(0， 3)点晴;集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2. 若复数满足 (为虚数单位),则(1+i)z=2i
2、 z=A. B. C. D. 1+i 1i 1+i 1i【答案】A【解析】由 故选 A.(1+i)Z=2i得 ： z=2i1+i= 2i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i.3. 在等差数列 中, ，则 的值为an a2+a14A. 6 B. 12 C. 24 D. 48【答案】D【解析】由等差数列的性质可得 故选 D.a1+3a8+a15=5a8=120,所 以 a8=24， a2+a14=2a8=48.4. 若 a、 b、c 为实数,且 aabb21aab【答案】D【解析】若 c=0，A 不成立，通过1a1b=baab0,选 择 项 B错 ， 由 baab=b2a2ab=(b+a)(ba
3、)ab b; a=454,b=8,此 时 ab;当 n=3 时， 当 n=4 时，a=1358,b=16,此 时 ab; a=40516,b=32,此 时 a1 1， +)又因为 的图象关于直线 x=1 对称，对照选项，只有 A 正确，故选 A.f(x)10. 当薨( chu hong),中国古代算术中的一种几何形体,九章算术中记载“ 当薨者,下有褒有广, 而上有褒无广。刍,草也。薨 ,屋盖也。 ”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱,刍薨字面意思为茅草屋顶”。 如图为一刍薨的三视图, 其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,若用茅草搭建它,则覆盖的面积至少为.A. B. C
4、. D. 65 75 85 95【答案】C【解析】如图，茅草覆盖面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形其中，等腰梯形的上底长为 ，下底长为 ，高为 ；等腰三角形的底边2 4 22+12= 5长为 ，高为 2 22+12= 5故侧面积为 即需要茅草覆盖面积至少为 ，故选 C.85点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1
5、、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11. 已知 A、B、C、D 是函数 一个周期内的图象上的四个点如图所示,A By=sin(x+)(0,02) (6,0)为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点 ,E 为该图象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称, 在 x 轴上的投影为CD,则A. B. C. D. =2,=3 =2,=6 =12,=3 =12,=6【答案】A【解析】由题意可知 ， T， 2.T4=6+12=4 2又 sin ,0 ， ，故选 A.2(-6)+=0 2 312.
6、 若对圆 上任意一点 P(x,y)， 的取值与 x、y 无关,则实数 a 的取值范围是x2+y2=1 |3x4y+a|+|3x4y9|A. a-5 B. -5a5 C. a-5 或 a5 D. a5【答案】D【解析】方法一：由 可知 ，令 ,则 的取值与 无关，需 ，x2+y2=1 53x4y5 3x4y=t |t+a|+|t9| x,y -at9，所以-5， 5-a,9 a5.方法二：利用 =5(|3x4y+a|5 +|3x4y9|5 )等价于圆上的任意一点 P（x,y）到直线 和直线l1:3x4y+a=0 l2:3x4y9=0的距离之和的 5 倍，而距离之和与点 P（x,y）无关，则直线
7、l1:3x4y+a=0与圆相离或相切，与直线 位于圆的异侧l2:3x4y9=0所以 ,得 或 ，又直线 与直线 位于圆的异侧，所以 .故选 D.d=|a|51 a5 a5 l1:3x4y+a=0 l2:3x4y9=0 a5第 II 卷本卷包括必考题和选考题两个部分,第(13)题一第(21)题为必考题,每个考生都必须作答,第(22)题一第(23)题为选考题,考生根据要求作答,二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13. 某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3000 件,采用分层抽样抽取样本,企业统计员制作了如下的统计表格:产品类
8、别 A B C产品数量(件) 1300样本容量(件) 130由于不小心,表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10,根据以上信息,可得 C 的产品数量是_（件）【答案】800【解析】抽样比为 1301 3001 10，又 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10，故 C 产品的数量是(3 0001 300)100 800( 件) 考点：分层抽样.14. 已知向量 ,且实数 x、y 满足 ,则 的最大值为_。a=(1,2),b=(x,y)y0yxx+y30 z=ab【答案】92【解析】 a=(1,2),b=(x,y),z=
9、ab=x+2y此时 ，我们作出不等式组 所表示的平面区域如图y=12x+12z y0yxx+y30由 可得 ，结合图形可知当直线经过点 A 时纵截距最大，此时 .y=xx+y3=0 x=y=32 (32， 32) (x+2y)max=32+232=92点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15. 已知数列 前 n 项和为 Sn,若 ,则 .an sn=2an2n, Sn=_【答案】 sn=n
10、2n【解析】 整理得： ，等式两边同时除以 有： ，又sn=2an2n=2(snsn1)2n, sn2sn1=2n 2n sn2nsn12n1=1可得 ，所以数列 可看作以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 ，所以s1=2an2=a1 a1=s1=2 bn=sn2n sn2n=n.sn=n2n16. 已知关于 x 的方程 有且仅有 2 个实数根, 则实数 m 的取值范围为_。|2x38x|+mx=4【答案】 (,2)(2,+)【解析】依题意得， ，即 ，故问题转化为函数 与 的图象有两个交点.令 ，则 ，故当 时，函数 单调递减，当 和 时，函数 单调递增，作出函数 的大致图象如图（1）
11、所示，进而得到函数 的大致图象如图（2）所示，又函数 的图象恒过点 ，当函数 的图象与曲线 相切时：设过第一、二、三象限的切线的切点为 ，则易求得该切线方程为，即 ，将 代入，解得 ，故切线斜率为 1，切线方程为 ，此时切线方程正好经过 (如图（2）中虚线位置所示)；由对称性可知，过第一、二、四象限的切线的斜率为 ，所以 或 ，解得 或 。 . . . . . . .三、解答题:本大题必做题 5 个,每题 12 分,选做题两个只选做一个,10 分,满分 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤17. 如图, 在平面四边形 ABCD 中,已知 AB=BC=CD=2，AD= 22(1)求
12、 的值;2cosAcosC(2)记 ABD 与BCD 的面积分别是 S1 与 S2,求 的最大值,S12+S22【答案】 （1） ；(2) .12 232【解析】试题分析：(1)在ABD ，BCD 中,分别用余弦定理,列出等式,得出 的值;(2)利用(1)2cosA-cosC的结果,得到 是关于 的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出s21+s22 cosA的范围 ,由 的范围求出 的范围,再求出 的最大值.BD BD cosA s21+s22试题解析：（1）在ABD 中： BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=12-82cosA;在BCD 中： BD2=BC
13、2+CD2-2BCCDcosC=8-8cosC所以 ，整理得： ；12-82cosA=8-8cosC 2cosA-cosC=12由题意 s21=(12ABADsinA)2=8sin2A,s22=(12CBCDsinC)2=4sin2C;所以： s21+s22=8sin2A+4sin2C=8(1-cos2A)+4(1-cos2C) =12-8cos2A-4cos2C=12-8cos2A-4( 2cosA-12)2=-16cos2A+42cosA+11=-16(cosA-28)2+232，2BD4,2BD216，解之得： -24cosA582所以当 时， .cosA=28(- 24， 1) (s2
14、1+s22)max=232点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角” ，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦” ；（3）三看“结构特征” ，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.18. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中 ,底面 ABCD 是正方形,PA底面 ABCD，PA=AB，E、F 、G 分别是 PA、PB、BC 的中点(1)证明:平面 EFG平面 PCD;(2)若平面 EFG 截四棱锥 P-ABCD 所得截面的面积为 ,求
15、四棱锥 P-ABCD 的体积322【答案】 （1）见解析；（2）83.【解析】试题分析：（1）由题可证明 ，进而可得 。EF/AB/CD 平 面 EFG/面 PCD（2）H 为 AD 的中点，则 GH EF，则平面 EFG 截四棱锥 的截面为梯形 ，推导出梯形 为直 P-ABCD EFGH EFGH角梯形. 由 可求得结果.V四 棱 锥 P-ABCD=13s梯 形 ABCDPA试题解析：（1）因为 E，F 分别为 PA，PB 的中点，所以 ，又 ，所以 EF CD，又 F，G 分别EF/AB AB/CD 为 PB，BC 的中点，所以 FG PC。又 PCCD=C， EFFG=F。平 面 EFG
16、/面 PCD（2）设 H 为 AD 的中点，则 GH EF， ，则平面 EFG 截四棱锥 的截面为梯形 ， 面 ， P-ABCD EFGH ABCD又 ， 且 ， ，又 ， 又 ，DC平 面 ABCDPADCDCADDC平 面 PAD EH平 面 PADCDEHGHCD，所以梯形 为直角梯形. GHEH EFGH在直角梯形 中：不防 PA=AB=，EFGH所以 ，. . a=2V四 棱 锥 P-ABCD=13s梯 形 ABCDPA=13222=83.19. 空气质量主要受污染物排放量及大气扩散等因素的影响,某市环保监测站 2018 年 1 月连续 10 天( 从左到右对应 1 号至 10 号)
17、采集该市某地平均风速及空气中污染物的日均浓度数据,制成散点图如图所示,(1)同学甲从这 10 天中随机抽取连续 5 天的一组数据,计算回归直线方程试求连续 5 天天的一组数据中恰好同时包含污染物日均浓度最大与最小值的概率;(2)现有 30 名学生,每人任取 5 天数据, 并已对应计算出 30 个不同的回归直线方程,且 30 组数据中包含污染物日均浓度最值的有 15 组,现采用这 30 个回归方程对某一天平均风速下的污染物日均浓度进行预测 ,若预测值与实测值差的绝对值小于 2,则称之为“拟合效果好”,否则为“ 拟合效果不好”,学生通过检验已经获得了下列22 列联表的部分信息, 请你进一步补充完善 22 列联表,并分析是否有 95%以上的把握认为拟合效果与选取数据是否包含污染物日均浓度最值有关预效果好 拟合效果不好 合计数据有包含最值 5数据无包含最值 4合计参考数据
