1、2018 届湖北省荆州中学高三上学期第五次半月练数学（理）试题一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数 （ 是虚数单位） ，则复数 在复平面上对应的点位于（ ）31izz第一象限 第二象限 第三象限 第四象限ABCD2.已知集合 ，集合 ，则 （ ）240x3BxAB3,13,1,3,43.如图，在一个 的二面角的棱上有两点 ，线段 分别在这两个面内，且都垂直于棱 ，60o ,A,CAB， ，则 的长为（ ） ABCa2DC25aD3a4.已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）210
2、,yxbaA0xB2yC80xyD80xy5.已知函数 ， ，若将 的图像向左平移 个sin0,2fx2fff12单位后所得函数图像关于原点对称，则 （ ）A12B6C4D36. 如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（ ）A2B233第 3 题图 第 6 题图7.若存在正常数 ，使得对任意的实数 ，都有 ，则称 为 上的“限增函数”.,abxfafxbfxR给出下列函数：（1） ；（2） ；（3） ，其中“限增函数”是21fx2sinf（ ）（1） （2） （3） （2） （3） （1） （3） （3）ABCD8.已知数列
3、 满足： ， ，若数列 是递增数列，na11,nna111,22nnbanb则实数 的取值范围是（ ） A4,5B,1C3,2D,39.已知 ，若 的最小值是 ， 的最大值是 ，且 ，则 的值203xyk13zxya27zxyb7ak是（ ）A1B1C2D10.已知 为非零向量， ，则 的最大值是（ ）,mnmnmn4237328311.设 是抛物线 上的两点， 为坐标原点，已知 ， 于 ，点,AB20ypxOOABDA的坐标为 ，则实数 的值为（ ）D123C4D512.已知 是实数， ，设 ，12,ab0a1212,3manbp，若 ， ，且 ，则 的取值范围是（ qr2npqr40aba
4、）A1,5B1,25C1,5D1,2二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.只需要填写演算结果）13.设圆 的弦 的中点为 ，则直线 的方程_.052xyAB3,1PAB14.已知 是曲线 上不同三点， 分别是线段 的中点，则过 的圆,ABC1yx,DEF,BCA,DEF一定过定点 .15.已知两个正数 ，可按规则 扩充一个新数 ，在 三个数中取两个较大的数，按上,abcabc,ab述规则扩充得到一个新数，依次下去，每扩充一次得到一个新数称为一个操作.若 ，经过 次操0pq6作后扩充得到的数是 ，则 的值是 .1,mnqpNmn16.已知函数 恰有两个极值点，则实数
5、的取值范围是 .l2xfeaexa三、解答题：（本大题共有 6 个小题，共 70 分，要求写出详细的演算步骤及解题过程 ）17.（12 分）在 中， 分别是角 的对边，且ABC,bc,ABC22bcb（1）求角 的大小；（2）设 ， ，若当 时，函数 取最大值，求 的面积.23sinosxxfaxfxABC18.（12 分）已知数列 的前 项和为 ，常数 ，且对于任意的正整数 ，都有 .nanS0n1nnaS（1）求数列 的通项公式； n（2）设 ，当 为何值时，数列 的前 项和 最大？10,a1lgnanT19.（12 分）如图，在三棱锥 中， ，底面 为边长为 的正三角形，点 在平面PAB
6、C2ABC2P上的射影为 ，且 .ABCD,1D（1）求证： 平面 ；A（2）求二面角 的余弦值；PBC（3）线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存EPABE在，求出 的值；若不存在，请说明理由. E20.（12 分）已知椭圆 的离心率为 ，左焦点 ，过点 且斜率2:10xyCab21,0F,2D为 的直线 交椭圆 于 两点.kl,AB（1）求椭圆 的方程；（2）求实数 的取值范围；（3）在 轴上是否存在定点 ，使得 恒为定值？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理yEABE由.21.（12 分）已知 是实数，设函数 ， ，m1xFeln10Gxx.ln1xfex（1）求函数 的最小值；F
7、（2）求函数 的最大值；Gx（3）若存在实数 ，使得 ，求实数 的取值范围.01,0fxm选做题，从 22 或 23 题选一题作答，共 10 分22.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的方程为 ， 的Ox l2sin3CA方程为 .4cos2in（1）求直线 与 的普通方程；lCA（2）若直线 与 相交于 两点，求线段 的长度.,BAB23.若关于 的不等式 对任意实数 都成立，求实数 的取值范围.x21xaxa荆州中学 2018 届高三第四次双周考试卷数学（理）参考答案一.选择题答案：BCAAB；DBAAB；DB二.填空题答案：13. ； 14. ； 15. ； 16.4
8、0xy1,210,e17.（1）在 中，由 可知，由 可知ABC22bcabcosA3A（2） s3sinoin62xxf 由 知 ，从而A20B56B当 时， 取得最大值 ，xfx13sin62f此时， ，即 ，于是 为正三角形623AC而 ，所以， 的面积为aABC23418.解：（1）18.解（1）由 可知 .当 时， ； 当 时，1n21a10na1012a由 可知 ， 两式相减可得naSnS12所以， 成等比数列，从而其通项公式为2nn综上所述，当 时，数列 的通项公式为 ；当 时， 的通项公式为10na0na1na12nna（3）当 时， ，令 故数列 是递减的等差数列，公差是1a
9、2nlg2lnb， n lg所以， 当 时，123456610ll04b， 7710lgl028b所以，数列 的前 项和最大，即数列 的前 项和最大n lgna19. 解（1）由 ，且 可知 ，ADB1,2A3D60oBA由 为正三角形知 ，且 共面，所以， .C60o,BCC而 面 ， 面 ， 所以， 面PP（2） 由点 在平面 上的射影为 可知 面 ，从而ABDA,DAPB又 ，故可以以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系D,xyz于是，且 是平面 的一个法向量1,0,30,12,30BAPC,01nABC设 是平面 的一个法向量，所以mxyzB,mBAP由 及 知1,3
10、0,1,00,30xyz令 得 ， 所以， 是平面 的一个法向量yxz3,于是， 21cos, 7mn又二面角 钝二面角，所以， 二面角 的余弦值为PABCPABC217（3）由（2）知，而1,30,2,31,30,1230所以， 与 不垂直，从而线段 上不存在点 ，使得 平面EABE20.解 （1）依题意有 ，解得 ， 所以，椭圆的方程为21ca2,1ab21xy（2）设直线 的方程为 由 可知 lykx2ykx2860kx由直线 交椭圆 于 两点可知 ， 解得 或lC,AB2264102k所以， 的取值范围是k,（3）设 ，则 ，12,AxyB1228kx126xk故 1212121224
11、kk1212122yxxk设存在点 ，则 ， 所以，0,Em,AyBExmy 21212121ABxy 22410mk要使得，对任意的实数 ， 都为定值kAEBt即对任意实数 ，都有k22410mtkmt所以， 且 ， 解得20t410t5,6所以，存在点 ，使得 为定值1,E56AEB21.解（1）由 可知 在 上的递增，所以，当 时， 取最小值10xFeFx1,1xFx10（2） ，当 时， ；当 时，Gx 0G0G所以， 在 内递增，在 内递减，因此，当 时， 取最大值0,1, xx（3）由（1）知 ，且xe1xefm若 ，则2m1 20xf e 所以， 在 上递增，于是，当 时， 取最
12、小值fx,fx1fm由于存在 ，使得 ，所以010fx0em所以， 2em若 ， 是 上的增函数2xef1,当 时， ，因此， 在 上递增1x0f fx1,而 20,lnlefem 所以， 在 内有唯一的零点 ，即fx1,l0x0xefm整理得 0xme当 时， ，当 时，01,x0ff0,x0fxf即 在 上递减，在 上递增f,x所以， 在 上的最小值是x,00lnxfemx由知 000ln11xfe由（2）知 ，因此， 0l1x002xfeex设 ，则 ，于是 是 上的减函数2gexggx1,而 ，故 ，由知01x010gxe00fxg所以，当 时，存在 ，使得2me0,综上所述， ，即实
13、数 的取值范围为 ,e22.解：解（1）直线 的方程为 ，即l2sin313sincos32其普通方程为 ，整理得32yx0xy的极坐标方程为 ，即 ， 其普通方程为 CA4cos2in24cos2in24xy所以，直线 的普通方程为 ， 的普通方程为 l30xyCA240xy（2） 的圆心 ，半径 ， 圆心 到直线 旳距离为A2,15r2,1l312d所以， 因此，线段 的长度为9Brd， AB923.解：（1） ，在三段上的值域分别为 ，42143612xyxx 6,3,故函数的值域是（2） 1fxxa若 ，则 ，且a2231xaxf所以， 的值域为fx,1,2,aaa由关于 的不等式 对任意实数 都成立可知 ，即fx12若 ，则 ，且1a2a32xfax所以， 的值域为fx1,1,1,a由关于 的不等式 对任意实数 都成立可知 ，即fx0综上所述， ，即实数 的取值范围是02aa0,2,
