1、2.1 认识无理数（第二课时）一、教学目标叙写学生通过预习教材 22-23 页,初步感知无理数的估算过程学生通过合作探究“活动 1”部分，让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出 a=1.41421356，b=2.2360679，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想，通过学生的活动 2 并探究得出无理数的概念.学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力学生通过完成“五、当堂评价” ，能正确地对给出的数进行分类，加深对有理数和无理数的理解二、教学重难点重点：了解无理数与有理数的区别并能正确判断.难点：无理数概念的建立及估算，会判断一个
2、数是无理数还是有理数三、教学过程（一） 、复习引入1. 有理数是如何分类的？整数（如 ，0，2，3，)1有理数分数(如 ， ， ，0.5， )592. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率 ，0.020020002上节课又了解到一些数，如 ， 中的 a，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究2a2竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.（二） 、自主探究1.探索无理数的小数表示请看图，判断下面 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长 a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于 2?说说你的理由.(归纳总结:a 是介于 1 和 2 之间的一
3、个数，既不是整数，也不是分数，则 a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数).生因为 3 个正方形的面积分别为 1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.师大家能不能判断一下面积为 2 的正方形的边长 a 的大致范围呢？生因为 a2 大于 1 且 a2 小于 4，所以 a 大致为 1 点几.师很好.a 肯定比 1 大而比 2 小，可以表示为 1a2.那么 a 究竟是 1 点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.2 2=1.44，1.3 2=1.69，1.4 2=1.96，1.5 2=2.25，而 a2=
4、2，故 a 应比 1.4 大且比 1.5小，可以写成 1.4a1.5，所以 a 是 1 点 4 几，即十分位上是 4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.生因为 1.412=1.9881，1.42 2=2.0164，所以 a 应比 1.41 大且比 1.42 小，所以百分位上数字为 1.生因为1.4112=1.990921，1.412 2=1.993744，1.413 2=1.996569，1.414 2=1.999396，1.415 2=2.002225，所以 a 应比 1.414 大而比 1.415 小，即千分位上的数字为 4.生因为 1.41422=1.99996164，1.4
5、143 2=2.00024449，所以 a 应比 1.4142 大且比1.4143 小，即万分位上的数字为 2.师大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.生我的探索过程如下.边长 a 面积 S1a2 1S41.4a1.5 1.96S2.251.41a1.42 1.9881S2.01641.414a1.415 1.999396S2.0022251.4142a1.4143 1.99996164S2.00024449师还可以继续下去吗？生可以.师请大家继续探索，并判断 a 是有限小数吗？生a=1.41421356，还可以再继续进行，且 a 是一个无限不循环小数.师请大
6、家用上面的方法估计面积为 5 的正方形的边长 b 的值.边长 b 会不会算到某一位时，它的平方恰好等于 5？请大家分组合作后回答.(约 4 分钟)生b=2.236067978，还可以再继续进行，b 也是一个无限不循环小数.生边长 b 不会算到某一位时，它的平方恰好等于 5，但我不知道为什么.师好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果 b 算到某一位时，它的平方恰好等于 5，即 b 是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是 5，所以 b 不可能是有限小数.2.探索有理数的小数表示，明确无理
7、数的概念思考：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.3， 12,4589，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.生3=3.0， =0.8， 9=5.0，71.0458，81.2生3， 是有限小数， 12,45是无限循环小数.师上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的 a2=2,b2=5 中的 a，b 是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数(irrational
8、 number).除上面的 a，b 外，圆周率 =3.14159265也是一个无限不循环小数，0.5858858885(相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.（三） 、合学应用例 1：填空：0.351， ，0.4583，7.3， ， 1，18.4.963.14159， 6， 5.2323332，1234567891011( 由相继的正整数组成).例 2 ：判断下列说法是否正确：(1)有限小数是有理数; （
9、 ）(2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数都是无限小数; （ ）(4)有理数是有限数. （ ）（四） 、整理反思1无理数的定义.2你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？3请把已学过的数怎样分类？易错点： .有理数集合无理数集合（五） 、当堂评价1、以下各正方形的边长是无理数的是（ ）(A)面积为 25 的正方形； (B)面积为 的正方形；254(C)面积为 8 的正方形； (D)面积为 1.44 的正方形. 2.已知：在下数中 ， ， ， ， ， ， ， ， 25413.14620242n(1)，1.424224222，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“”连接.（六） 、变练拓展1. 设面积为 5 的圆的半径为 a.(1)a 是有理数吗？说说你的理由.(2)估计 a 的值(精确到十分位，并利用计算器验证你的估计).(3)如果精确到百分位呢？解： a2=5a 2=5(1)a 不是有理数，因为 a 既不是整数，也不是分数，而是无限不循环小数 .(2)估计 a2.2.(3)a2.24.
