1、1椭圆标准方程典型例题例 1 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，过 点作焦点所在轴PP3542P的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为 、 ，且 ， 从椭圆定义1F23541P352F知 即 52Paa从 知 垂直焦点所在的对称轴，所以在 中， ，21 12FPRt21sin21PF可求出 ， ，从而 621FP3526cos1PF30cab所求椭圆方程为 或 0352yx152yx例 2 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭圆上一点，02ba1A21F2P， 求： 的面积（用 、 、 表示） 1PA21F21PFab分析：
2、求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面CaSsin2积解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，不妨设 在第一象限由余弦yxP， yxP， P定理知： 21F221P1F224cos由椭圆定义知： ，则 得 a21 2 cos121bPF故 sin2121PFSPF sinco1b2ta例 3 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方03，A6432yxB： P程分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 动点 到两定点，MP即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，03，03，2即 点
3、 的轨迹是以 ， 为两焦点，8BMPBPAPAB半长轴为 4，半短轴长为 的椭圆的方程： 7342b1762yx说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法例 4 已知椭圆 ， （1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；2yx21，P（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1，A（4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，PQOOPQ21OQPk求线段 中点 的轨迹方程 M分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为
4、 ， ，线段 的中点 ，则1yx， 2yxN， MNyxR， ， ， ，yxy2121得 022121121 yx由题意知 ，则上式两端同除以 ，有 ，21x2x21xyx将代入得 021y（1）将 ， 代入，得 ，故所求直线方程为： 2x1y211xy 034yx将代入椭圆方程 得 ， 符合题意， 为所22046016432yx求（2）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21xy 04yx（3）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21 22（4）由得 ： ， ， 22121yx3将平方并整理得， ， 21214xx， 2yy将代入得： ， 2441212 x再将 代入式得： ，
5、即 2121xy 212421xyx 12yx此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 5 已知椭圆 及直线 42ymy（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程510解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，mxy142yx1422mx即 ，解得 01252x065222 25（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ， x2 521x121x根据弦长公式得 ： 解得 方程为 05412m0mxy说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆
6、的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系） ，可大大简化运算过程例 6 以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，132yx 09yxl： M点 应在何处？并求出此时的椭圆方程M解：如图所示，椭圆 的焦点为 ， 132yx031，F2，点 关于直线 的对称点 的坐标为（9，6） ，直线 的方程为 1F09l： 2F02yx4解方程组 得交点 的坐标为（5，4） 此时 最小0932yxM21MF所求椭圆的长轴： ， ，又 ，5621Fa3ac 因此，所求椭圆的方程为 365222 cb 1642yx
7、例 7 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 和 两点的椭圆方程)2,3(A),3(B解：设所求椭圆方程为 ( ， )由 和 两点在椭圆上可得12nymx0n)1,2(即 所以 ， 故所求的椭圆方程为 ,)32(2,4315mn152yx例 8 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 ，x1F3A两点，求弦 的长BA分析：可以利用弦长公式 求得，4)(11212122 xxkkB也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为 ， ，所以 因为焦点在 轴上，21xkAB 4)(2121
8、2xxk6a3b3cx所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 9362y)0,3(F9xy由直线方程与椭圆方程联立得： 设 ， 为方程两根，所以 ，86721x1x2 13721x， ， 从而13862xk 48)(12112xkkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ， 962yxmF1n1mAF2 nBF2在 中， ，即 ；21FA 3cos212122 AA 21363)(2所以 同理在 中，用余弦定理得 ，所以 346m21FB46n148nAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分别是 ， 的横坐
9、0836732x1x2AB5标再根据焦半径 ， ，从而求出 11exaAF2exaB1BFA例 9 椭圆 上的点 到焦点 的距离为 2， 为 的中点，则 （ 为坐标原点）的值为925yxM1FN1MONA4 B2 C8 D3解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为 ，由椭圆第一定义得2F，所以 ，1021aMF8210M又因为 为 的中位线，所以 ，故答案为 AON2142ON说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆21F(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即 ，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有aMF21关距离例 10 已知椭圆 ，试确定 的取值
10、范围，使得对于直线 ，椭圆 上有不同的两点1342yxC： mmxyl4： C关于该直线对称解：设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，直线 与 交于 点),(1yxA),(2yxBlABl),(0M 的斜率 ，设直线 的方程为 由方程组 消去 得l4lknxy41,1342yxny。 于是 ， ，08168322nx 3821 210132400nx即点 的坐标为 点 在直线 上， 解得 M)3,4(Mmxy4mn34将式代入式得 08169212mx ， 是椭圆上的两点， 解得 AB 0)48169(34)(22 132例 11 在面积为 1 的 中， ， ，建立适当的坐标系，求出以 、 为焦点
11、且过PMNtantaNMN6点的椭圆方程P解：以 的中点为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，设 MNNx),(yxP则 即 得.1,2cyx2345cyx且 )32,5(P,43,1152ba.3,452ba所求椭圆方程为 31542x例 12 已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程)2,(Pl1962yx l解：设所求直线方程为 代入椭圆方程，整理得)4(ky 0328)14(2xxk设直线与椭圆的交点为 ， ，则 、 是的两根，),(1yA),(2yB1x2 14)2(821kx 为 中点， ， 所求直线方程为 )2,4(PB4422kx0y例 13.已知 F1、F
12、2 是椭圆 1 的两个焦点，P 是椭圆上任意一点x2100 y264(1)若 F1PF2 ，求F 1PF2 的面积；3(2)求 PF1PF2 的最大值解：(1) 设 PF1m，PF 2n(m0，n0)根据椭圆的定义得 mn20.在F1PF2 中，由余弦定理得 PF PF 2PF 1PF2cosF 1PF2F 1F ，即21 2 2m2 n22mncos 12 2.m 2n 2mn144，即(m n)323mn144.20 23mn144，即 mn .又SF 1PF2 PF1PF2sinF 1PF22563 12mnsin ，SF 1PF2 .12 3 12 2563 32 6433(2) a1
13、0，根据椭圆的定义得PF1 PF220. PF1 PF22 ， PF1PF2 2 2100，当PF1PF2 (PF1 PF22 ) (202)7且仅当 PF1 PF210 时，等号成立 PF1PF2的最大值是 100.练习题题型一 求椭圆的标准方程例 1 (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为 ，则椭圆的标准方程为 _；3(2)(2011课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点F1， F2在 x 轴上，离心率为 .过 F1的直线 l 交 C 于 A， B 两点，且 ABF2的周22长为 16，那么椭圆 C 的方程为_题型二 椭圆
14、的几何性质例 2 已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点， F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证： F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关(2012安徽)如图， F1、 F2分别是椭圆C： 1( ab0)的左、右焦点， A 是椭圆 C 的顶点， B 是x2a2 y2b2直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点， F1AF260.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知 AF1B 的面积为 40 ，求 a， b 的值3题型三 直线与椭圆的位置关系例 3 (2011北京)已知椭圆 G： y21.过点( m,0)作圆 x2 y21 的切线 l 交x24椭圆 G 于 A， B 两点8(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；(2)将| AB|表示为 m 的函数，并求| AB|的最大值设 F1、 F2分别是椭圆 E： x2 1(0 b1)的左、右焦点，过 F1的直y2b2线 l 与 E 相交于 A、 B 两点，且| AF2|，| AB|，| BF2|成等差数列(1)求| AB|；(2)若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值
