1、椭圆的基本知识1椭圆的定义：把平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于 ）的点的21,F21F轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为 2c) . 2.椭圆的标准方程：（ 0） （ 0）12byaxab12bxayab焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m0，n0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 ., .2,1的 轨 迹中 点求 线 段段 轴 作 垂 线向从 这 个 圆 上 任 意 一 点半 径 为标 原 点已 知 一 个 圆 的 圆 心 为 坐如 图例 MP x
2、P解: (相关点法)设点 M(x, y), 点 P(x0, y0), 则 x x0, y 得 x0 x， y0 2y.2 x02 y024, 得 x2(2 y)24, 即 所以点 M 的轨迹是一个椭圆. .144.范围. x2 a2， y2 b2，| x| a，| y| b椭圆位于直线 x a 和 y b 围成的矩形里5.椭圆的对称性椭圆是关于 y 轴、 x 轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的对称轴原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心6.顶点 只须令 x0，得 y b，点 B1(0, b)、 B2(0, b)是椭圆和 y 轴的两个交点；令y0，得 x a，点 A1( a,0)、 A2
3、(a,0)是椭圆和 x 轴的两个交点椭圆有四个顶点：A1( a, 0)、 A2(a, 0)、 B1(0, b)、 B2(0, b)椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点线段 A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于 2a. 短轴的长等于 2b.a 叫做椭圆的长半轴长 b 叫做椭圆的短半轴长|B1F1| B1F2| B2F1| B2F2| a在 Rt OB2F2中，| OF2|2| B2F2|2| OB2|2，即 c2 a2 b2aA1yOF2xB2B1AcbyOF12xMc xF21OyMcyxOPM）的 离 心 率 为 （轴 分 成 三 等 份 ， 则 椭 圆若 椭 圆
4、的 连 个 焦 点 把 长 .1无 法 确 定 D. 32C. B.6A .7),0(),()0,()0(1 .21 12 ebABF bBaAcFabyx， 则 椭 圆 的 离 心 率的 距 离 为到 直 线如 果 是 两 个 顶 点 ，、，的 左 焦 点 为椭 圆 .162)2,( .3 的 标 准 方 程有 相 同 的 离 心 率 的 椭 圆， 且 与 椭 圆求 经 过 点 yxM越 小 ， 因 此 椭 圆 越 扁 ； ， 从 而越 接 近时 ，越 接 近当 21)( cabace 因 此 椭 圆 越 接 近 于 圆 ； ，越 接 近， 从 而越 接 近时 ，越 接 近当 00)2( .
5、 )3(22ayxcba 为 圆 ， 方 程 成 为， 两 焦 点 重 合 ， 图 形 变时 ，当 且 仅 当. . )2(;112045 .2 21211点 坐 标求求 ，为 左 右 焦 点 ，上 的 点 ，为 椭 圆已 知 PS PFFyxF yOx椭圆典型例题例 1 已知椭圆 的一个焦点为（0，2）求 的值632myx m分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 ，根据关系 可求出 的值c22cbam解：方程变形为 因为焦点在 轴上，所以 ，解得 126yxy63又 ，所以 ， 适合故 2cm55m例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点 ， ，求椭圆的标准方程03，Pba分析：因椭圆的中心在原
6、点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数 和 （或 和 ）的值，即可求得椭圆的标准方程ab2解：当焦点在 轴上时，设其方程为 x012bayx由椭圆过点 ，知 又 ，代入得 ， ，故椭圆的03，P92ba31292a方程为 192yx当焦点在 轴上时，设其方程为 012baxy由椭圆过点 ，知 又 ，联立解得 ， ，故椭圆03，P92ba3812a92b的方程为 182xy例 3 的底边 ， 和 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 的ABC6ACBG轨迹和顶点 的轨迹分析：（1）由已知可得 ，再利用椭圆定义求解20G（2）由 的轨迹方程 、 坐标的关系，利用代入法
7、求 的轨迹方程A解： （1）以 所在的直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系设 点坐标为BCxBCG，由 ，知 点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，且除去轴上两yx， 20G点因 ， ，有 ，10a8c6b故其方程为 032yx（2）设 ， ，则 A， G， 01362yx由题意有 代入，得 的轨迹方程为 ，其轨迹是椭圆3yx， A0132490yx（除去 轴上两点） x例 4 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，PP3542过 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为 、 ，且 ， 从椭圆定义知1F23541P352F即 5221Pa
8、a从 知 垂直焦点所在的对称轴，所以在 中，2 12FPRt，sin121PF可求出 ， ，从而 6213526cos1PF31022cab所求椭圆方程为 或 0352yx152yx例 5 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是12ba1A21F2P椭圆上一点， ， 求： 的面积（用 、 、 表示）1PA21F21PFab分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面CSsin21积解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，不妨设yxP， yxP，在第一象限由余弦定理知： 21F221P1F224cosF由椭圆定义知： ，则 得 aPF21 2 c
9、os121b故 sin2211SPF sinco12bta2b例 6 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动03，A6432yxB：圆圆心 的轨迹方程分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 动点 到两定点，MP即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，03，03，即 点 的轨迹是以 ， 为两焦点，8BMPBA AB半长轴为 4，半短轴长为 的椭圆的方程： 7342b 1762yx说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法例 7 已知椭圆 12yx（1）求过点
10、且被 平分的弦所在直线的方程；，P（2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；，A（4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，PQOOPQ21OQPk求线段 中点 的轨迹方程 M分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则1yxM， 2yxN， MNyxR， ， ， ，yxy2121得 02212111 x由题意知 ，则上式两端同除以 ，有2，21211xyy将代入得 0x（1）将 ， 代入，得 ，故所求直线方程为： 2x1y211xy 034将代入椭圆方程 得 ，
11、 符合题意，22yx046y04163为所求2yx（2）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）21 0yx（3）将 代入得所求轨迹方程为： （椭圆21xy 22yxx内部分）（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得22211y， ， ， 12214xx 212214yy将代入得： ， 421212x再将 代入式得： ， 即 2121xy 2121xy2x此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决例 8 已知椭圆 及直线 142yxmxy（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？m（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程50解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得
12、，mxy142yx1422mx即 ，解得01252x062m（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ，x2 521mx5121x根据弦长公式得 ： 解得 方程为51024521m0mxy说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系） ，可大大简化运算过程例 9 以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，要使所132yx 09yxl： M作椭圆的长轴最短，点 应在何处？并求出此时的椭圆方程M分析：椭圆的焦
13、点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决解：如图所示，椭圆 的焦点为 ， 132yx031，F2，点 关于直线 的对称点 的坐标为（9，6） ，直线 的方程为1F09yxl： F2F032yx解方程组 得交点 的坐标为（5，4） 此时 最小932yxM21M所求椭圆的长轴： ， ，又 ，5621Fa3ac 因此，所求椭圆的方程为 365222cb 1642yx例 10 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围12kyxk解：由 得 ，且 ,350,k54满足条件的 的取值范围是 ，且 3k说明：本题易出
14、现如下错解：由 得 ，故 的取值范围是 ,055k53k出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件，当 时，并不表0baba示椭圆例 11 已知 表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范1cossin22yx)0(y围分析：依据已知条件确定 的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出 的取值范围解：方程可化为 因为焦点在 轴上，所以 1cossin122yxy0sin1co因此 且 从而 0ta)43,2(说明：(1)由椭圆的标准方程知 ， ，这是容易忽视的地方0sin10cos1(2)由焦点在 轴上，知 ， (3)求 的取值范围时，应注意题yco2ain2b目中的条件 0例 12 求中
15、心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 和 两点的椭圆方)2,3(A)1,3(B程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为 ( ， )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，12nymx0n直接可求出方程解：设所求椭圆方程为 ( ， )由 和 两2yx )2,3(A)1,3(B点在椭圆上可得即 所以 ， 故所求的椭圆方程,1)32(2nm,143nm51n为 15yx例 13 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为x1F的直线交椭圆于 ， 两点，求弦 的长3ABA分析：可以利用弦长公式 求得，4)(11212122
16、 xxkxk也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为 ， ，所21xkAB 4)(21212xxk6a3b以 因为焦点在 轴上，3c所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 1962yx)0,3(F93xy由直线方程与椭圆方程联立得： 设 ， 为方程两根，所以8672x1x2， ， ， 从而13721x1382xk1348)(1122122 xxkxkAB(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ，19362yxmAF1nB1mAF12nBF12在 中， ，即A 3cos221122 ；363)(
17、2 mm所以 同理在 中，用余弦定理得 ，所以4621FB346n138nAB(法 3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分08367213x1x2别是 ， 的横坐标AB再根据焦半径 ， ，从而求出 11exaF2eaB1BFA例 14 椭圆 上的点 到焦点 的距离为 2， 为 的中点，则1925yxM1FN1M（ 为坐标原点）的值为 A4 B2 C8 OND 23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为 ，由椭圆第一2F定义得 ，所以1021aMF，802又因为 为 的中位线，所以ON21，故答案为 A421MFON说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等
18、于常数（大于 ）的点的轨迹叫做21F椭圆(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即 ，利用这个等式可以解决aMF21椭圆上的点与焦点的有关距离例 15 已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ，椭1342yxC： mmxyl4：圆 上有不同的两点关于该直线对称分析：若设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，则已知条件等价于：(1)直线 ；(2)ABl lAB弦 的中点 在 上BMl利用上述条件建立 的不等式即可求得 的取值范围解：(法 1)设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，直线 与 交于),(1yx),(2yxll点),0yx 的斜率 ，设直线 的方程为 由方程组 消去l4lkABnxy41,
19、1342yxn得y。 于是 ，048168322nx 13821x210n，300即点 的坐标为 点 在直线 上， 解得M)1,(Mmxy4mn134 mn41将式代入式得 0869232x ， 是椭圆上的两点， 解得AB 0)48169(34)(2m132m(法 2)同解法 1 得出 ， ，n4x)413(0，即 点坐标为 mmxy 341)(41300 M)3,(m ， 为椭圆上的两点， 点在椭圆的内部， 解得ABM1)4)(22132(法 3)设 ， 是椭圆上关于 对称的两点，直线 与 的交点 的坐),(yxA),(2yxBlABlM标为 0 ， 在椭圆上， ， 两式相减得13421yx
20、1342yx，0)()(321212121 x即 4210210 y)(421021xyxy又直线 ， ， ，即 。lABlABk43003又 点在直线 上， 。由，得 点的坐标为 以Mlmxy0 M)3,(m下同解法 2.说明：涉及椭圆上两点 ， 关于直线 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用l列参数满足的不等式：(1)利用直线 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得AB到的一元二次方程的判别式 ，建立参数方程0(2)利用弦 的中点 在椭圆内部，满足 ，将 ， 利用参数表),(yxM120byax0xy示，建立参数不等式例 17 在面积为 1 的 中， ， ，
21、建立适当的坐标系，求出以PN21tan2tN、 为焦点且过 点的椭圆方程N解：以 的中点为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，MNNx设 ),(yxP则 即 .1,2cyx2345cyx且 )32,5(P得,43,252ba.3,4152ba所求椭圆方程为 13542yx例 18 已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程),(Pl1962yx l分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，yx得到关于 (或 )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出 ，xy 21x(或 ， )的值代入计算即得21211并不需要求出直线与椭圆的交点坐标
22、，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为 代入椭圆方程，整理得)4(2xky 036)4(8)14( 22kxk设直线与椭圆的交点为 ， ，则 、 是的两根，,1yA),(2yxB1x214)(221kx 为 中点， ， 所求直线方程为),PB14)(2421k208yx方法二：设直线与椭圆交点 ， 为 中点，),(1yxA),(2yxB),4(PAB， 21x421y又 ， 在椭圆上， ， 两式相减得AB36421yx3642yx，0)(4)(2121yx即 直线方0)(212122 y 21)(4121yxxy程为 08yx方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 ，另一个交点 ),(yxA),8(yxB 、 在椭圆上， 。 AB3642yx 364(22从而 ， 在方程的图形 上，而过 、 的直线只有一条，直线08方程为 082yx说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题， “设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法若已知焦点是 、 的椭圆截直线 所得弦中点的横坐标是),3()0,( 082yx4，则如何求椭圆方程？
