1、12.2.1椭圆及其标准 方程 1. 椭圆的定义把平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆1F2 12F（ellipse）其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距即当动点设为 时，椭圆即为点集 MP12|Ma2.椭圆标准方程:焦点在 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程 y 210yxaba例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它,0,53,2的标准方程。分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 引导学生用其 他方,abc法来解。解：设椭圆的标准方程为 ，因点 在椭圆上，210xyab53,2则 。2591046aab例
2、 2 如图，在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂24xyPxPD足当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么？PDM分析：点 在圆 上运动，由点 移动引起点 的运动，则称点 是点P24xyPM的伴随点，因点 为线段 的中点， 则点 的坐标可由点 来表示，从而能求点MD的轨迹方程。2解：设 ， ； 为线段 的中点， ；,Mxy1,PMAP126xy ，2159点 的轨迹方程为 ；2231594xy例 3 如图，设 ， 的坐标分别为 ， 直线 ， 相交于点 ，AB,05,AMB且它们的斜率之积为 ，求点 的轨迹方程。49M分析：若设点 ，则直线 ， 的,MxyABM斜率就可以用含
3、 的,xy式子表示，由于直线 ，的斜率之积是 ，因此，可以求出 之间的关系式，即得到点 的轨迹方程。BM49,xy解：设点 ，则 ， ；,xy5AMk5BMykx代入点 的集合有 ，化简即可得点 的轨迹方程。459为： 。21059xyx课堂小结1.能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义；2.能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示；3.正确推导椭圆的标 准方程，理解椭圆的焦点位置和图形的对应关系。拓展提升1如果方程 表示焦点在 y 轴的椭圆，那么实数 m 的取值范围是（ ）22myxA（0，+ ） B（0，2） C（1，+ ） D（0，1）2若椭圆 过点（2， ），则
4、其焦距为 （ ）62b33A.2 B.2 C. 4 D. 4 53353设 F 是椭圆 的一个焦点，椭圆上至少有 21 个点 P1， P2， P3， P21，使得21xy数列 PiF(i=1,2,21)成公差为 d 的等差数列，则 d 的一个可取值是 （ ）A B C D12 13 14 156已知 AB 是过椭圆 左焦点 F1的弦，且| AF2| BF2|=4，其中 F2为椭圆的右29xy焦点，则弦 AB 的长是 。7已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另23xy外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是 。8.已知 F1、F 2分别为椭圆 的左、右
5、焦点，椭圆内一点 M 的坐标为x2100 + y264 =1（2，6），P 为椭圆上的一个动点，试求|PM|PF 2|的取值范围。参考答案1D【解析】距离之和恰好等于两 定点间的距离。2C【解析】运用离心率的计算公式。3C【解析】用椭圆定义4D【解析】将方程化成标准形式5C【解析】将点的坐标代入，求 b6D【解析】考虑特殊情况74 【解析】用椭圆定义 38.解：由椭圆的定义知|PF2|+|PF1|=2a=20，故 |PM|+|PF 2| = |PM|-|PF1|+201 |PM|-|PF1|MF 1| =10，4故 |PM|+|PF 2|30（当且仅当 P 为有向线段 的延长线与椭圆的交点时取
6、“=”）1MF；2 |PF1|-|PM|MF 1| =10，故 |PM|+|PF2|=20-（|PF 1|-|PM|）10（当且仅当 P 为有向线段 的反向延长线1F与椭圆的交点时取“=”）综上可知，|PM|+|PF 2|的取值范围为10，30。2.2.2椭圆的简单几何性质新授课阶段1.椭圆的简单几何性质范围：由椭圆的标准方程可得， ，进一步得： ，同2210yxbaax理可得： ，即椭圆位于直线 和 所 围成的矩形框图里；by对称性：由以 代 ，以 代 和 代 ，且以 代 这三个方面来研究xyxy椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以 轴和 轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：先给出圆锥
7、曲线的顶点的统一定义， 即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率（ ），ace10e； 1,0ecab当 时椭 圆 图 形 越 扁 椭 圆 越 接 近 于 圆时当 ，b02.椭圆性质的运用例 1 求椭圆 的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标26540xy分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出 引导学生用椭圆的长轴、短轴、,abc离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量5解：依题意， ，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：0,5m当焦点在 轴
8、上，即 时，有 ，x5,5abmc，得 ；523当焦点在 轴上，即 时，有 ，y5m,5,abc51023m例 2 过椭圆 C： 上一点 P 引圆 O： 的两条切线)0(2baxy 22byxPA、PB，切点为 A、B，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 M、N 两点.（1）设 ，且 ，求直线 AB 的方程；),(0yxP0（2）若椭圆 C 的短轴长为 8，且 ，求1625|2Oba此椭圆的方程；（3）试问椭圆 C 上是否存在满足 =0 的点 P，说明理由PA PB 解：（1）直线 AB 的方程： ;)0(20yxbyx（2）椭圆 C 的方程： ;1562（3）假设存在点 满足 =0，连
9、结 OA、OB，由|PA|=|PB|，知四边形),(0yxPPA PB PAOB 为正方形， |OP|= |OA|, . 2202byx又 P 在椭圆上, . 202bayxa由得 ， .220)(220bay , . baba当 即 时，椭圆 C 上存在点 P 满足题设条件；0226当 即 时，椭圆 C 上不存在满足题设的点 P.2baba课堂小结1.掌握椭圆的简单几何性质；2.能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；3.理解已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，充分利用图形对称性，注意图形的特殊性和一般性.作业见同步练习部分拓展提升1点 在椭 圆 的左准线上，过点 且
10、方向为 的光(3)P， 21(0)yxabP(25)a，线经直线 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）yA B C D3132122一个中心在原点的椭圆，其一条准线的方程是 x=4，对 应的焦点 F（2，0），则椭圆的方程是 .3已知 AB 是过椭圆 左焦点 F1的弦，且| AF2| BF2|=4，其中 F2为椭圆的右249xy焦点，则弦 AB 的长是 .4已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另23xy外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是 .5把椭圆 的长轴 AB 分成 8 等分，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分216xy
11、于 P1，P 2，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，求|PF 1|PF 2|PF 7|的值.6在直角坐标平面内，已知两 点 A（3，0）及 B（3，0），动点 P 到点 A 的距离为 8，线段 BP 的垂直平分线交 AP 于点 Q.（1）求点 Q 的轨迹 T 的方程；（ 2）若过点 B 且方向向量为（ 1， ）的直线 l，与（1）中的轨迹 T 相交于 M、 N 两37点，试求 AMN 的面积.7已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是 F（m,0）(m 是大于 0 的常数). 12(1)求椭圆的方程；(2)设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F、Q 的直线 与 y 轴交于点 M. 若 ，求直
12、l QFM2线 的斜率.l8.已知点 是 ： 上的任意一点，过 作 垂直 轴于 ,动点 满足PO29xyPDxQ.23DQ（1）求动点 的轨迹方程；（2）已知点 ，在动点 的轨迹上是否存在两个不重合的两点 、 ，使(1,)EQMN(O 是坐标原点)，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说OMN明理由.参考答案1A【解析】求出入射光线所在直线方程及椭圆焦点坐标准线方程.2 【解析】直接用公式.2164xy32【解析】数形结合用定义.44 【解析】用椭圆定义. 38535【解析】用焦半径公式：|PF i|= aex i.6解：（1）由于 QB=QP，故 AQ+BQ=AP AB， Q 点的轨迹是以
13、 A、 B 为焦点的椭圆 其中 2a=8,a=4,a2=16, c=3,c2=9, b2=a2 c2=7 椭圆方程为 176yx（2） l 过点 B 且方向向量为（1， ）， l 的方程为 y= （ x3）3将直线方程代入椭圆方程化简得：55 x2288 x320=0x1+x2= ,x1x2= 5830|x1 x2|= =214)(x5|MN|= |x1 x2|= 23A 到 MN 的距离 36dSAMN = 521MN7分析：（1）直接求出 a、b，用 m 表示；（2）F 是 MQ 的中点答案：（1） （2） 或 02143xy6k8.解：（1）设 ，依题意，则点 的坐标为 0(,),PQD0(,)x0,(,)Dxyy又 23 002xxyy即 在 上，故 PO09x 2194xy 点 的轨迹方程为 Q2194xy9（2）假设椭圆 上存在两个不重合的两点 满足2194xy12(,),MxyN，则 是线段 MN 的中点，且有1()OEMN(,)E1212xyy即又 在椭圆 上12(,),xy2194xy 两式相减，得 22941xy12121212094xxyy 1249MNkx 直线 MN 的方程为 130xy 椭圆上存在点 、 满足 ，此时直线 的方程为 N1()2OEMN49130xy10
