1、- 0 -椭圆标准方程考点分析及例题讲解考点：1.椭圆的定义平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于_常数_(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这_两个定点_叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距_思考探究定义中，将“大于| F1F2|”改为“等于| F1F2|”或“小于| F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当常数等于| F1F2|时，点的轨迹是线段 F1F2；当常数小于| F1F2|时，不表示任何图形2椭圆的标准方程思维聚焦1、椭圆定义的理解：设两定点 F1、 F2，点到 F1、 F2的距离之和为 2a(1)当 2a|F1F2|时，点的轨迹是椭圆(2)当
2、 2a| F1F2|时，点的轨迹是以 F1、 F2为端点的线段(3)当 2ab0)或 1( ab0)；x2a2 y2b2 y2a2 x2b2在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx2 ny21( m0， n0且 m n)；(3)找关系：依据已知条件，建立关于 a， b， c或 m， n的方程组；焦点在 x轴上 焦点在 y轴上标准方程_(ab0) _(ab0)焦点 _ _焦距 |F1F2|_a， b， c的关系 _- 1 -(4)得方程：解方程组，将 a， b， c或 m， n代入所设方程即为所求.考点一、椭圆的定义例 1、如图所示，已知经过椭圆 1 的右焦点 F2的直线 AB垂直于 x轴，交椭圆
3、x225 y216于 A、 B两点， F1是椭圆的左焦点(1)求 AF1B的周长；(2)如果 AB不垂直于 x轴， AF1B的周长有变化吗？为什么？分析：因为 A、 B在椭圆上，所以由椭圆的定义可知| AF1| AF2|2 a，| BF1| BF2|2 a，故| AF1| BF1| AF2| BF2| AF1| BF1| AB|4 a为常数解：(1)如上图，由题意知， A、 B在椭圆 1 上，故有x225 y216|AF2| AF1|2 a10，| BF1| BF2|2 a2510，| AF2| BF2| AB， ABF1的周长| AF1| BF1| AB| AF1| BF1| AF2| BF
4、2|(| AF1| AF2|)(| BF1| BF2|)2 a2 a4 a4520. AF1B的周长为 20.(2)如果 AB不垂直于 x轴， AF1B的周长仍为 20不变，因为|AF1| BF1| AB| AF1| BF1| AF2| BF2|(| AF1| AF2|)(| BF1| BF2|)4 a，与 AB和 x轴是否垂直无关点拨：本题充分利用了椭圆的定义来解决三角形周长的问题变式训练1. 平面内，若点 M到定点 F1(0，1)、 F2(0,1)的距离之和为 2，则点 M的轨迹为( )A椭圆 B直线 F1F2 C线段 F1F2 D直线 F1F2的垂直平分线解析：| MF1| MF2|2|
5、 F1F2|，所以点 M的轨迹为线段 F1F2.2. 下列说法中，正确的是( C )- 2 -A平面内与两个定点 F1、 F2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B与两个定点 F1、 F2的距离和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹是椭圆C方程 1( ac0)表示焦点在 x轴上的椭圆x2a2 y2a2 c2D方程 1( a0， b0)表示焦点在 y轴上的椭圆x2a2 y2b2解析：依据方程的结构特点B 中没强调平面内3. 设定点 F1(0，3)， F2(0,3)，动点 P(x， y)满足条件| PF1| PF2| a(a0)，则动点 P的轨迹是( )A椭圆 B线段 C椭圆、线段或不存在 D不存
6、在答案 C解析 当 a|F1F2|6 时，动点 P的轨迹为椭圆；当 a| F1F2|6 时，动点 P的轨迹为线段；当 a0且 a为常数)；命题乙： P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：乙甲且甲 乙，甲是乙的必要不充分条件5. 椭圆 1 的焦点为 F1、 F2， AB是椭圆过焦点 F1的弦，则 ABF2的周长是( )x29 y225A20 B12 C10 D6解析： AB过 F1，由椭圆定义知Error!| AB| AF2| BF2|4 a20.6. 已知 F1、 F2为椭圆 1 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于
7、A、 B两点若x225 y29|F2A| F2B|12，则| AB|_.解析：| AB| F1A| F1B|(2 a| F2A|)(2 a| F2B|)4 a(| F2A| F2B|)20128.7. (2010新课标全国)设 F1， F2分别是椭圆 E： x2 1(0|PA|，| PF2| PA| AF2|，当且仅当 P、 A、 F2三点共线时，|PF2| PA| AF2| .所以当 P、 A、 F2三点共线时，| PF1| PA|有最小值为 6 .2 2考点二、椭圆的标准方程例 1、求经过两点 P1( ， )， P2(0， )的椭圆的标准方程13 13 12分析：求椭圆的标准方程时，要“先
8、定型，再定量” ，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可解 解法一：当椭圆的焦点在 x轴上时，设椭圆的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2依题意知Error!解得Error! a2 b0)y2a2 x2b2由题意得Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为 1.y214x215解法二：设所求椭圆的方程为 Ax2 By21( A0， B0， A B)由题意，得Error!解得Error!所求的椭圆方程为 5x24 y21.点拨：- 4 -(1)确定曲线的方程时，若能明确方程的形式，则可设出曲线方程，建立含参数的等式，求出参数的
9、值，再代入所设方程(2)由于椭圆 Ax2 By21( A0， B0， A B)包含焦点在 x轴上( AB)两类情况，因此解法二的处理避免了分类讨论，达到了简化运算的目的变式训练 1. 椭圆 2x23 y212 的两焦点之间的距离是( )A2 B. C. D210 10 2 2答案 D解析 椭圆方程 2x23 y212 可化为： 1， a26， b24， c2642，2 c2 .x26 y24 22. 椭圆 5x2 ky25 的一个焦点是(0,2)，那么 k的值为( )A1 B1 C. D5 5答案 B解析 椭圆方程 5x2 ky25 可化为： x2 1，y25k又焦点是(0,2)， a2 ，
10、b21， c2 14， k1.5k 5k3. 已知方程 1 表示焦点在 y轴上的椭圆，则 m的取值范围是( )x225 m y2m 9A98答案 B解析 由题意得Error!，解得 8 n，x2 n y2 m椭圆的焦点在 y轴上，排除 B、D，又 nm， 无意义，排除 A，故选 C.m n5. 椭圆的两焦点为(2,0)和(2,0)且椭圆过点( ， )，则方程为( )52 32A. 1 B. 1 C. 1 D. 1y28 x24 y24 x28 y210 x26 x210 y26解析：由题意知 c24，又焦点在 x轴上，设 1，把( ， )代入得 a210.x2a2 y2a2 4 52 326.
11、 椭圆 25x216 y21 的焦点坐标为( )- 5 -A(3,0) B( ，0) C( ，0) D(0， )13 320 320解析：椭圆方程可化为 1.x2125y21167. 已知椭圆过点 P 和点 Q ，则此椭圆的标准方程是( )4,33,5A. x21 B. y21 或 x2 1 C. y21 D以上都不对y225 x225 y225 x225答案 A解析 设椭圆方程为： Ax2 By21( A0， B0)由题意得Error!，解得Error!8. 当 30且 k30.(1)若 9 kk3，即 3b0)x2a2 y2b2由已知条件得Error!，解得Error!.所以所求椭圆的标准
12、方程为 1.x28 y24若焦点在 y轴上，设椭圆的标准方程为 1( ab0)y2a2 x2b2由已知条件得Error!，解得Error!.即 a24， b28，则 a2b0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为 1.x28 y24方法二 设椭圆的一般方程为 Ax2 By21( A0， B0， A B)将两点(2， )，(1， )代入，2142得Error! ，解得Error! ，所以所求椭圆的标准方程为 1.x28 y2410. (福建高考)已知椭圆 C经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点，求椭圆 C的标准方程- 6 -解：解法一 依题意，可设椭圆 C的方程为 1( ab0)，且
13、可知左焦点为 F(2,0)x2a2 y2b2从而有Error! ，解得Error! .又 a2 b2 c2，所以 b212，故椭圆 C的标准方程为 1.x216 y212解法二 依题意，可设椭圆 C的方程为 1( ab0)，则Error!，x2a2 y2b2解得 b212 或 b23(舍去)，从而 a216.所以椭圆 C的标准方程为 1.x216 y212考点三、椭圆的焦点三角形问题例 1、如图所示，点 P是椭圆 1 上的一点， F1和 F2是焦点，且 F1PF230，y25 x24求 F1PF2的面积分析：由题目可获取以下主要信息：(1)椭圆方程为 1；(2) F1， F2是焦点， P是椭圆
14、上一点且 F1PF230.y25 x24解答本题可先利用 a， b， c三者关系求出| F1F2|，再利用定义及余弦定理求出|PF1|、| PF2|，最后求出 .12PSA解：在椭圆 1 中， a ， b2， c 1.y25 x24 5 a2 b2又 P在椭圆上，| PF1| PF2|2 a2 5由余弦定理知：| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|cos30| F1F2|2(2 c)24式两边平方，得| PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|20，得(2 )|PF1|PF2|16，| PF1|PF2|16(2 )，3 3 |PF1|PF2|sin3084 .2PFSA12
15、3- 7 -点拨：椭圆的焦点三角形问题，常常运用正弦定理与余弦定理将三角形中的边与角联系起来，所以具有相当高的综合性在焦点三角形中，常用的结论有：(1)|PF1| PF2|2 a；(2)若 F1PF2 ，则| PF1|PF2| ， S b2tan ，| yP| tan .b2cos22 1FPA2 b2c 2变式训练 1. 若 ABC的两个焦点坐标为 A(4,0)、 B(4,0)， ABC的周长为 18，则顶点 C的轨迹方程为( )A. 1 B. 1( y0) C. 1( y0) D. 1( y0)x225 y29 y225 x29 x216 y29 x225 y29答案 D解析 | AB|8
16、，| AC| BC|10| AB|，故点 C轨迹为椭圆且两焦点为 A、 B，又因为 C点的纵坐标不能为零，所以选 D.2. 点 P为椭圆 1 上一点，以点 P以及焦点 F1、 F2为顶点的三角形的面积为 1，则 P点的x25 y24坐标为( )A. B. C. D.(152， 1) ( 152， 1) ( 152， 1) (152， 1)答案 D解析 S PF1F2 |F1F2|yP| 2|yP|1，| yP|1， yP1，代入椭圆方程得，12 12xP .1523. 点 A(a,1)在椭圆 1 的内部，则 a的取值范围是( )x24 y22A C22且 k0，06，点 C的轨迹是以 A(3,
17、0)， B(3,0)为焦点的椭圆(除去与 x轴的交点)，设方程为 1( ab0)，则 2a12，即 a6，x2a2 y2b2又 c3， b2 a2 c227，顶点 C的轨迹方程为 1( y0)x236 y2274. 已知椭圆的焦点是 F1(1,0)、 F2(1,0)， P为椭圆上一点，且| F1F2|是| PF1|和| PF2|的等差中项(1)求椭圆的方程；(2)若点 P在第三象限，且 PF1F2120，求 tan F1PF2.解：(1)由题设 2|F1F2| PF1| PF2|2 a，2 a4，又 2c2， b .3椭圆的方程为 1.x24 y23(2)设 F1PF2 ，则 PF2F160 .由正弦定理得 ，|F1F2|sin |PF2|sin120 |PF1|sin 60 ， .|F1F2|sin |PF1| |PF2|sin120 sin 60 2sin 432 sin 60 整理得 5sin (1cos )3 ，故 tan ，tan F1PF2tan sin1 cos 35 2 352 351 325 5 311
