1、第五讲 勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两直角边 a、b 的平方和等于对斜边 c 的平方，即 a+b =c22即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形中，较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”勾股数：为更好的解决直角三角形相关问题，我们应牢记一些常用的直角三角形三边长，通常叫做够股数。例如：3,4,5（3k，4k，5k 也为勾股数，k 为正整数，如 6,8,10；9,12,15）5.，12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41 等2、勾股定理的逆定理：如果三角形三边长 a、b、c 满足 a +b =c ，那么这个22三角形是直角三角形3
2、、勾股定理揭示了三角形边角之间的互化关系：若 a +b =c ，则ABC 是以C=90的直角三角形22若ABC 是以 C=90 的直角三角形，则ABC 三边之间有如下关系：a +b =c224、直角三角形的性质：（1） 两锐角互余（2） 斜边上的中线等于斜边的一半（3） 30角所对的直角边等于斜边的一半（4） 勾股定理基础知识1、 在ABC 中，A, B，C 的对边分别为 a，b，c，且(a+b)(a-b)=c ，则2（ ）A.A 为直角 B.C 为直角 C.B 为直角 D.不是直角三角形分析：因为常见的直角三角形表示时，一半将直角标注为C，因而有同学就习惯性的认为C 就一定表示直角，加之对本
3、题所给条件的分析不缜密，导致错误。该题中的条件应转化为 a -b =c ，即 a =b +c ，应根据这一公式进行2222判断(A)2、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A.1,2,3 B.3 ,4 ,5 C. , , D. , ,212345分析：概念不明确，混淆了勾股定理及其逆定理未能彻底区分勾股定理及其逆定理，判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足 a +b =c2的形式，因为（ ） +（ ） +（ ） ，故选 C2122323、在 RtABC 中，A=90，a=15，b=12，则第三边 c 的长为（ ）A.3 B.9 C. 3 或 9 D.以上都不是
4、144分析：分析清楚哪个为斜边，哪些是直角边。实际上，A=90，它所对的边是斜边，即斜边应为 a，而不是 c，故选 B4、已知ABC 中，AB=20,AC=15,BC 边上的高为 12，求ABC 的面积分析：在一些球值问题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况讨论，避免漏解。学生习惯了在三角形内作高，往往忽视了高在三角形外的情况。解：设 AD 是 BC 边上的高由勾股定理得 BD =AB -AD =256, CD =AC -AD =812222BD=16,CD=9(1) 若C 为锐角，如图所示，则BC=BD+CD=25S = BCAD=150ABC 21易错题AB
5、 D CAB C D(2) 若C 为钝角，如图所示，则 BC=BD-CD=7S = BCAD=42AB 21即ABC 得面积为 150 或 42应用勾股定理简单计算【例 1】 如图，BAC=90 ，DBC=90 ，AB=3,AC=4,BD=12,则 CD= 分析：BAC=90，AB=3,AC=4BC =AB +AC =522DBC=90，【例 2】 （2007 泰安中考）如图，一游人有山脚 A 沿坡角为 30的山坡 AB行走 600m，到达一个景点 B,再由 B 沿山坡 BC 行走 200m 到达山顶C,若在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 45，则山高 CD 等于 （结果用根号表示）分析
6、：如左图所示，过点 B 作BEAD,BF CD. AB=600m ，A=30，DF=BE= AB=300m21评注：由题意画出图形，并作出常用辅助线（垂线）是解题关键，是中考中的必考点。例题解析BACDBCAABCDFE【例 3】 （07 芜湖中考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 10cm，正方形 A 的边长为 6cm，B 的边长为 5cm，C 的边长为 5cm，则正方形 D 的边长为（ ）A. cm B.4cm C. D.3cm1415分析：设正方形 D 的边长为 x。则与正方形 A、B相邻的正方形边长为 ；62与正方形 C、D 相邻的正
7、方形边长为25x最大的正方形的边长为 222)5()61(0xx= cm4评注：直接应用勾股定理，并运用多次试中考的易考点，此类型的题难度不大，但很有代表性【例 4】 （07 云南中考）小华将一条直角边长为 1 的一个等腰直角三角形纸片（如图 1），沿它的对称轴折叠 1 次后得到一个等腰直角三角形（如图 2），再将图 2 的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图 3），则图 3 中的等腰直角三角形的一条腰长为 ；同上操作，若小华连续将图一的等腰直角三角形折叠 n 次后所得到的的等腰直角三角形（如图 n+1）的一条腰长为 分析：图 1 的等腰三角形，腰长为 1，斜边长为 2
8、12图 2 中，第 1 次折叠后，腰长为 2图 3 中，第 2 次折叠后，腰长为 = =2)(1图 4 中，第 3 次折叠后，腰长为 =22)(3依此类推，图 n+1 中，第 n 次折叠后，腰长为 =21)(nn)2(评注：次题为规律探索性题，与例 2 类似，但好似难度要大，是中考中较典型的题目【例 5】 （07 安徽中考）如图，DE 分别是ABC 的边 BC 和 AB 上的点，ABD 与ACD 的周长相等，CAE 与CBE 的周长相等。设BC=a， AC=b，AB=c（1） 求 AE 和 BD 的长；（2） 若BAC=90， ABC 的面积为 S,求证：S=AEBD分析：（1）ABD 与AC
9、D 的周长相等，BC=a，AC=b，AB=c ，AB+BD=AC+CD= 2cbaBD= -C= ;2cba同理 AE=(2) BAC=90 bcSba21,2由（1）知 AEBD= =a2cb4)(22ca= cbca1)2(42即 S=AEBDAB CDE评注：利用两三角形周长相等，等量代换可求得 AE 和 BD 的长。再利用勾股定理进行化简易得构造直角三角形利用勾股定理解几何计算题【例 6】（07 河南中考）如图，点 P 是AOB 的角平分线上一点，过点 P 作PCOA 交 OB 于点 C.若 AOB=60 ，OC=4, 则点 P 到 OA 的距离 PD等于 分析：过点 P 作 PEOB
10、,并交 OB 于点 E.AOB=60 ，OP 是AOB 的角平分线BOP=6=30又PCOAPCB=AOB=60OPC=30=BOP= BPCPC=OC=4,BC= PC=2 21PB= 3BCP评注：过 P 点作边的垂线，是常用辅助线作法，也是中考的必考点，请同学们牢记。【例 7】如图，ABC 是边长为 2 的正三角形，E 是 AB 边的中点，延长 BC 至D,使 CD=BC,连接 ED,求 ED 的长。分析：连接 AD,AC=CDACD 是等腰三角形，ADB=DACACB=ADB+DAC,而ACB=60 ，ADB=30 又B=60 BAD=90 ，则ABD 是直角三角形 122ABD在 R
11、tEAD 中， 132DEED= 13AO BPDCBOAPDCEAB C DEAB C DE评注：根据问题中的图形特征，添加适当的辅助线，巧妙构造直角三角形，往往能速度找到解题途径。例 6 与例 7 是同种类型【例 8】某片绿地的形状如图所示，其中A=60 ，ABBC,AD CD,AB=200m，CD=100m，求 AD、 BC 的长（精确到1m， =1.732）3分析：延长 AD、BC 交于点 E,在 RtABE 中，A=60则E=30，由 AB=200m，得 AE=400m从而 BE= mABE3204022在 RtCDE 中，E=30，CD=100mCE=200m从而 DE= CDE3
12、102022 AD=AE-DE=400-100 227m3BC=BE-CE=200 -200146m利用勾股定理整体代入，设而不求【例 9】直角三角形有一个直角边为 11，另外两边也是自然数，那么它的周长为（ ）A.132 B.121 C.120 D.110分析：设另一直角边为 a，斜边为 c，由勾股定理可知 c -a =11 ，即(c+a)(c-a)=1111=121122c+ac-a，c+a=121，c-a=1从而周长为 11+c+a=11+121=132，A评注：本题在得到关于 a，c 的烦恼过程后，不必求出 a、c 的值，只要知道c+a 的值即可。AB CDAB CDE【例 10】在
13、RtABC 中，C=90，若 a+b=5，c=4，则 = ABCS分析：依题意，得 a+b=5 -，得 2ab=9，ab=2 29a +b =422或由得（a+b） -2ab=16把代入得 5 -2ab=16，ab=229 = ab=ABCS149评注：我们要求的是 ab，不一定要分别求出 a 和 b，只要通过方程组求出 ab2即可解：a+b=5b=5-a = ab= a（5-a）= （5a-a ）ABCS21212又 4 =a +（5-a） 25a-a =29 = （5a-a ）=ABCS1249这种解法也没有求出 a，根据需要求出 5a-a 即可2利用勾股定理及其逆定理证明【例 11】如图
14、，已知在四边形 ABCD 中，BCCD,ACD=ADC,求证：AB+AC2CDB分析： 连接 BD。BCCDBD= 2CDBACD=ADC AC=AD在ABD 中，由三角形两边之和大于第三边可知：AB+ADBDABDCABDCAB+AC 2CDB【例 12】（北京数学竞赛）在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB= ,AD=26AC= ,求ABC126分析：构造如上图所示的一个ABC,延长 AD,使 DE=AD,连接 EC易证得ABDECDCE=AB,AD=DE,AE +CE =(2 ) +( ) =26=AC26222AEC=90CD= )(22ABC=DCE=30评注：采用倍长中线法
15、。由观察可知，(2 ) +( ) =26，又 AD 是 BC 边上622的中线，故而可构造出一个直角三角形，然后再利用边角关系求ABC 的度数。【例 13】在ABC 中，A=90，AB=AC,D 为斜边上任一点，求证：BD +CD =2AD22分析：将ABD 绕点 A 逆时针旋转 90，得ACD AD=AD,BD=CD,BAD=CADA=90，AB=ACB=ACB=ACD=45，DAD=90DCD=90AB CDAB CEDAB CDDD =2AD2CD +CD =DD =2AD ,即 BD +CD22=2AD2评注：由等式左边可联想到勾股定理，要应用勾股定理需将这几条线段或者它们的等量线段凑
16、到同一个三角形中，作上述辅助线，应用勾股定理可轻松得证。1、已知ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，以 RtABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 RtACD,再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰RtADE,，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是 分析：由题意可得：第一个等腰直角三角形ABC 中，斜边长 AB=BC=1,AC= 212AB CDD附加题DC A GFBE第二个等腰直角三角形，ACD 中，斜边长 AD= 22)(CDA第三个等腰直角三角形，ADE 中，斜边长 AE= 32)(E依此类推，第 N 个等腰直角三角形，斜边长尾 n)2(2、已知 Rt
17、ABC 斜边 AB 的长为 cm，两直角边的差为 cm，求三角形的周长521及斜边上的高分析：由条件可设 c= ，a-b= （ab）21(a-b) +2ab=cab=3又c =(a+b) -2ab22a+b= 7从而三角形的周长为 + =6cm257由三角形的面积公式可得 ab= ABCD,解得 CD= cm1563、（97 安徽省竞赛）如图，在等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 上取两点 M,N，使MCN=45，记 AM=m，MN=x，BN=n。试判断以 x，m，n 为边长的三角形的形状。CA BM NCA BMM N分析：将AMC 绕点 C 逆时针旋转 90，则AMCBMC,1=2，A=
18、CBM,CM=CM,BM=m结合已知 条件得2+3=45MCN=NCMMCNMCNNM=x又MBN=90以 x，m，n 为边长的三角形是直角三角形1、（07 杭州中考）如图，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为 30，向高楼前进60 米到 C 点，又测得仰角为 45，则该高楼的高度大约为（ ）A.82m B.163m C.52m D.70m分析：设该高楼的高度 AB 约为 x mABC=90，ACB=45，ADB=30BC=AB=x，AD=2XBC= xx3)2(2CD=60=解得 x82m，故选 A课后练习AD BC2、（07 徐州中考）等腰三角形的顶角为 120，腰长为 2cm，则它的底边长为
19、（ ）A. B. C.2cm D.2cm3c34cm3AB CAB CD分析：过点 A 作 ADBCBAC=120，AB=ACB=30，AD=1BD= ,BC=2BD=2 .D32DB33、（07 中考）已知，如图：ABC 是等腰直角三角形，ABC=90，AB=10,D为ABC 外一点，连接 AD,BD,过 D 作 DHAB,垂足为 H,交 AC 于 E。若ABD是等边三角形，求 DE 的长。分析：ABD 是等边三角形，AB=10ADB=60，AD=AB=10DHABAH= AB=521DH= 351022AHDABC 是等腰直角三角形CAB=45AEH=45EH=AH=5DE=DH-EH=
20、53 E AD BC H4、在 RtABC 中，两直角边的和为 3cm，此三角形的面积为 1cm ，求这个三2角形的斜边长度分析：设直角边为 a，b，斜边为 ca+b=3依题意得 ab=1 21a +b =（a+b） -2ab2c =a +b =52c= 55、如图，在 RtABC 中，ACBC,D 是 AB 的中点，E、F 分别在 AC 和 BC 上。且DEDF,求证：EF =AE +BF22CA BGDFE分析：延长 FD 使 DG=FD,连接 EG,AG易证得AGDBFD,EF=EGAG=BF,DAG=DBFACBC,CAG=CAD+DAG=CAD+B=90AEG 是以EAG=90的直角
21、三角形EF =EG =AE +AG =AE +BF222勾股定理的证明【证法 1】（课本的证明）CA BDFEbabab abacbacbacbacbacbacba做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 abcaba2142142 ， 整理得 22c.【证法 2】（邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使
22、A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、 G、D 三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形. 它的面积等于 c2. RtGDH Rt HAE, HGD = EHA . HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 2ba. 2214cba. 22c.【证法 3】（赵爽
23、证明）以 a、b 为直角边（ ba）， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角D G CFAHE Babcabcab c abcbac GDACBFEHab abccA BCDE三角形的面积等于 ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH Rt ABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于 2ab. 2214cba. 2.【证法 4】（187
24、6 年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC . AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于21c.又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 21ba. 2211caba. cb.【证法 5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们
25、的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. PHGFEDCBAabcabcabcabccccb acbaABCEF PQMN D、E 、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =180 90= 90.又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD +
26、 CBE = 90. 即 CBD= 90.又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,212Sbaac, 22c.【证法 6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba ） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A 、C 三点在一条直线上.过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ ，垂足为 M；再过点F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA =
27、90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90，ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可证 RtQNF RtAEF.从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明）.【证法 7】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、 b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C 、B 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点L. A
28、F = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于21a，GAD 的面积等于矩形 ADLM的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 = 2.同理可证，矩形 MLEB 的面积 =b. 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 22bac ，即 22ca.【证法 8】（利用相似三角形性质证明）如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD AB，垂足是 D. 在 ADC 和 ACB 中， ADC = ACB = 90，CAD = BAC， ADC ACB.AD
29、AC = AC AB，即 ABDC2.同理可证，CDB ACB ，从而有 ABDC2. 22AB，即 cba.【证法 9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba ），斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成A BDCacbcbacbaA BCD EFGHMLK如图所示的多边形. 过 A 作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT于 R. 过 B 作 BPAF，垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC.又 DHA = 90
30、， BCA = 90，AD = AB = c， RtDHA Rt BCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB Rt BCA. 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA Rt BCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. GF = FH = a . TF AF，TF = GTGF = b
31、a . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高FP=a +（b a）.用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为 543212SSc abb8 = b21，95， 82431SaS= 812S . 把代入，得 981212bc= 9S = 2a. 22ca.【证法 10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba），斜边的长为 c. 98765432 1PQRTHGFEDCBAab cabccc做三个边长分别为 a、 b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. TBE
32、 = ABH = 90， TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90，BT = BE = b， RtHBT Rt ABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba .又 GHF + BHT = 90，DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC . DB = EBED = b a，HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 27S.过 Q 作 QMAG，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE= QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以 Rt
33、HBT Rt QAM . 即 58S. 由 RtABE RtQAM，又得 QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR .又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF Rt ARC. 即 64S. 543212SSc， 12a， 8732Sb，又 7， 58， 6， 873612ba= 524= 2c，即 2.【证法 11】（利用切割线定理证明）MHQRTG F ED CBAcba87654321在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b ，斜边 AB
34、= c. 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E ，则BD = BE = BC = a. 因为BCA = 90，点 C 在B 上，所以 AC 是B 的切线. 由切割线定理，得 ADEC2=B= ac= 2，即 2b， 2ca.【证法 12】（利用多列米定理证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c（如图）. 过点 A 作 ADCB，过点 B 作 BDCA，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 DCBD， AB = DC = c，AD
35、= BC = a，AC = BD = b， 22A，即 22bc， a.【证法 13】（作直角三角形的内切圆证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 作Rt ABC 的内切圆 O，切点分别为 D、E 、F （如图），设O 的半径为 r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， BACBAEBCA= = r + r = 2r,即 rcba2， . ，即 2224cr， abSABC1， ，又 AOCBAOBCS = bracr21= rcaabaa B ACE DcbacabcA CBDc bar rrOFED CBA= rc21= c2，
36、ABCSrc42， ab， 22ca， 22cba.【证法 14】（利用反证法证明）如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD AB，垂足是 D. 假设 22b，即假设 22AB，则由AB= D= 可知 DAC2，或者 2. 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB.在 ADC 和 ACB 中， A = A， 若 AD：ACAC：AB，则ADCACB.在 CDB 和 ACB 中， B = B， 若 BD：BCBC：AB，则CDB ACB.又 ACB = 90， ADC90，CDB90.这与作法 CDAB 矛盾. 所
37、以， 22ABC的假设不能成立. 22cba.【证法 15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几A BDCacbab2121ab21ab21c2b2aA AD DB BC Cbab abababaccc cbaababbaba个部分，则正方形 ABCD 的面积为 abba22；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 2214caba= 2. cab, 22.【证法 16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba），斜边的长为
38、 c. 做两个边长分别为 a、 b 的正方形（ba），把它们拼成如图所示形状，使 E、 H、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在 EH = b 上截取 ED = a，连结 DA、DC，则 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = a = b.又 CMD = 90，CM = a，AED = 90， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC ，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180，ADE + MDC = ADE + EAD = 90， ADC = 90. 作 ABDC ，
39、CB DA，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形. BAF + FAD = DAE + FAD = 90， BAF= DAE .连结 FB，在 ABF 和 ADE 中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE. AFB = AED = 90，BF = DE = a. 点 B、F、G、H 在一条直线上.在 RtABF 和 RtBCG 中， AB = BC = c，BF = CG = a， RtABF Rt BCG. 5432SSc， 6212Sb， 732Sa， 7651， 6213baABCDEFGH Mabcabcac abc12 3456 7=
40、76132SS= 54= c 22ba.第一章 勾股定理参考例题例 1如下图所示，ABC 中，AB=15 cm，AC=24 cm，A=60，求 BC的长.分析：ABC 是一般三角形，若要求出 BC 的长，只能将 BC 置于一个直角三角形中.解：过点 C 作 CDAB 于点 D在 RtACD 中，A=60ACD=9060=30AD= AC=12(cm)21CD2=AC2AD 2=24212 2=432，DB=ABAD=1512=3.在 RtBCD 中，BC2=DB2+CD2=32+432=441BC=21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解.例 2如下
41、图，A、B 两点都与平面镜相距 4 米，且 A、B 两点相距 6 米，一束光线由 A 射向平面镜反射之后恰巧经过 B 点.求 B 点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出 B 点关于 CD 的对称点 B，连结 AB，交 CD 于点 O，则 O 点就是光的入射点.因为 BD=DB.所以 BD=AC.BDO=OCA=90，B=CAO所以BDOACO(SSS)则 OC=OD= AB= 6=3 米.21连结 OB，在 RtODB 中，OD 2+BD2=OB2所以 OB2=32+42=52，即 OB=5(米).所以点 B 到入射点的距离为 5 米.
42、评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.1.探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3 和 4 个长度单位，那么它的斜边的长一定是 5 个长度单位，而且 3、4、5 这三个数有这样的关系：3 2+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形 ABC 的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边 AB 的长的平方是否等于 42+72？测验评价等级： A B C ，我对测
43、验结果（满意、一般、不满意）参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC=4，BC=3,S 正方形 ABED=S 正方形 FCGH4S RtABC=(3+4)24 34=7224=251即 AB2=25，又 AC=4，BC=3，AC2+BC2=42+32=25AB 2=AC2+BC2（2）如图（图见题干中图）S 正方形 ABED=S 正方形 KLCJ4S RtABC =(4+7)24 47=12156=65=4 2+7212.探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形 ABC，它的两条直角边的边长分别为 a、
44、b,斜边长为 c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形 ABC 全等的三角形，放在边长为 a+b 的正方形内.图乙和图丙中（1） （2） （3）是否为正方形？为什么？图中（1） （2） （3）的面积分别是多少？图中（1） （2）的面积之和是多少？图中（1） （2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？测验评价等级：A B C，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案图乙、图丙中（1） （2） （3）都是正方形.易得（1）是以 a 为边长的正方形， （2）是以 b 为边长的正方形， （3）的四条边长都是 c，且每个角都是直角，所以（3）是以
45、 c 为边长的正方形.图中（1）的面积为 a2,(2)的面积为 b2,(3)的面积为 c2.图中（1） （2）面积之和为 a2+b2.图中（1） （2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以 a+b 为边长的正方形，它们面积相等， （1） （2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b) 2减去四个 RtABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理（二）班级：_ 姓名：_1.填空题(1)某养殖厂有一个长 2 米、宽 1.5 米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以 16 海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以 12 海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图 1：隔湖有两点 A、B，为了测得 A、B 两点间的距离，从与 AB 方向成直角的 BC 方向上任取一点 C，若测得 CA=50 m,CB=40 m，那么 A、B 两点间的距离是_.图 12.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为
