1、2017 届湖南师大附中高三上学期月考（四）数学（理）试题一、选择题1复数 （ ）24()iA B C Di1i2i1i【答案】D【解析】试题分析： ,选 D.224()iiii【考点】复数的四则运算.2执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（ ）iA3 B4 C5 D6【答案】B【解析】试题分析：第一次循环, 时, ,第二次循环,1mi12i,第三次循环, ,结束循环,输出 ,选 B.13mi044i【考点】程序框图.3设向量 ， 均为单位向量，且 ，则 与 夹角为（ ）ab|1ababA B C D234【答案】C【解析】试题分析：设 与 夹角为 ,由 有 ,由于ab|1ab21ab,所以
2、 ,解出 ,因为 ,所以1ab21coscos0,选 C.23【考点】向量数量积.4设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列四个命题：mn若 ， ，则 ；若 ， ，则 ；若 ，/n/m/n/m/n， ，则 ；若 ， ， ， ， ，A则 /其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】试题分析：对于,假设 ，因为 ,所以 ,又 ,nlnAlm所以 ,而 ,所以 ,正确；对于,若 ， ，则 或mlnlAm/m/,故错误；对于,若 ， ，则 ,又 ,所以在平面 内/一定存在一条直线 ,使 ,而 ,所以 , ,则 ,正确；对于,lll由面面平行的判定定理,可以判断出
3、是正确的.故真命题有 个.选 C.3【考点】空间中直线、平面之间的位置关系.【易错点睛】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系,属于易错题. 易错的地方: 对于,要注意除了结论外另一种特殊情况: . m其余三个都是正确的.本题综合性强,方法灵活,考查了学生的空间想象能力,要注意直线、平面之间的判定定理和性质定理以及课本例题结论的应用.5已知函数 ， ， 的图象如图所示，则（ ）xyablogcyxA B C Dabcabcabca【答案】C【解析】试题分析：由图象有 ,所以 最小,对于1,01b,看图象有 ,所以 对于 ,看,1xyay2x2alog,1cyx图象有
4、 ,所以 ,故 ,选 C.2323c【考点】基本初等函数的图象.6一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ）A B C D434【答案】D【解析】试题分析：由三视图该几何体是球的部分,由该几何体体积为 ,所以是半径为 的球的 ,所以该几何体的表面积为 ,选 D.1423414【考点】由三视图求面积,体积.7已知数列 ， 满足 ，且 ， 是方程 的两根，则nab1an1a20nxb等于（ ）10bA24 B32 C48 D64【答案】D【解析】试题分析：由已知有 ,则 ,所以数列111
5、2,nnnaa2na奇数项,偶数项分别为等比数列,公比为 ,可以求出 ,所以数列 的项分na 2n别为: ,而 ,所以124,816,32 1nnba,选 D.0 4b【考点】数列的基本计算.8从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ）A40 种 B60 种 C100 种 D120 种【答案】B【解析】试题分析：先排星期五,从 人中选 人有 ,种,再从剩下的 人中选 人参5225C32加星期六、星期日,有 种,故共有 种,选 B.23A3106【考点】排列组合.9已知 、
6、分别是双曲线 ： 的左、右焦点，若 关于渐近线的对1F2C2xyab2F称点恰落在以 为圆心， 为半径的圆上（ 为原点） ，则双曲线的离心率为（ 1F1|OO）A B3 C D2【答案】D【解析】试题分析：由已知有, ,设双曲线的一条渐近线方程为12(,0)(Fc,即 ,则点 到 的距离为 ,设点 关于渐近线的:blyxay2l2bca2F对称点为 ,交渐近线于 ,则 , ,因为 分别为MA2l1MO,A的中点,所以 ,且 ,在 中,12F1OF2c2Rt所以 ,又 ,所以0229,OAc32Fb,离心率 ,选 D.31,bca2ea【考点】1.点到直线的距离；2.双曲线的简单几何性质.10如
7、果对于任意实数 ， 表示不超过 的最大整数，例如 ，xx3.27，那么“ ”是“ ”的（ ）0.6y|1yA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由 的定义,当 时,则 ,若 时,比如xxy|1xy|xy此时 , ,所以“ ”是“ ”3.5,2.9,xy32y|1的充分不必要条件.【考点】充分必要条件.11设直线 ： ，圆 ： ，若在圆 上存在两点 ，l40xyaC2()xyCP，在直线 上存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）QM90PQaA B 18,6652,C D4【答案】C【解析】试题分析：圆 半径为 ,从直线上的点向圆上
8、的点连线成角,当且仅当两C2条线均为切线时,所成的角最大,此时四边形 为正方形,边长为 ,所以对角线MPOQ2,故圆心 到直线 的距离 ,所以有 ,求出2OMCl2d236254a,选 C.164a【考点】直线与圆的位置关系.【思路点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,属于中档题. 本题思路: 由切线的对称性和圆的知识,从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,所成的角最大,这样就转化为圆心 到直线 的距离小于或等于 ,再由点到直线的距离Cl2公式解不等式可求出 的范围. 由已知得出圆心 到直线 的距离小于或等于 是本aCl2题解题的关键.12若函数 则当 时，函数 的零点个
9、数为1,0()lnkxfk()1yfx（ ）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】试题分析：先作出函数 的图象,如图所示.当 时,令()yfx0k有 ,则 或 ,当()10fx()1fx1a()(1)fxb,存在两个零点;当 时,存在两个零点,故函数ak()(0)fb的零点个数为 .选 D.()yfx4【考点】根的存在性及个数判断.【方法点睛】本题主要考查了分段函数的零点个数的判断,属于中档题. 本题方法: 先画出函数 的草图，求函数 的零点个数,就是求()yfx()1yfx的根的个数,利用分段函数的解析式,得到 或()1f 1()fxak,再转化为函数 与 的图象的交点个数,或者转化为函数
10、0xb()yfxa与 的图象的交点个数.做本题时注意数形结合思想.()yf二、填空题13在二项式 的展开式中， 的一次项系数为 （用数字作答）25()xx【答案】 80【解析】试题分析：二项式的通项 ，令251031 5()(2)rrrrrrTCxCx，此时 的一次项系数为 .13,rx358【考点】二项式定理.14 九章算术是我国古代内容记为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” 这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一 ”就是说：圆堡壔（圆柱体）的体积 （底面的圆
11、周长12V的平方 高） ，则该问题中圆周率 的取值为 【答案】 3【解析】试题分析：圆柱体体积公式 ,而由题意有 ,所以2Vrh2()1rh.【考点】圆柱体的体积公式.15若 ， 满足 则 的取值范围是 xy()1)0,0,xy2xy【答案】 ,3【解析】试题分析：画出可行域如上图阴影部分,令 ,当 表示的是经过2zxy0z原点的直线,将 变形为 ,在原点处, 有最小值 ,在点 处,2zxy2x(1)A有最大值 ,所以 的取值范围是 .z303【考点】简单的线性规划.【思路点睛】本题主要考查了简单的线性规划,属于中档题. 本题思路: 先作出可行域,用阴影部分表示,在 中,令 表示的是经过原点的
12、直线 ,在2zxy0z2yx中, 表示直线在 轴上的截距(即纵截距),所以当纵截距最小时, 有最2yx z小值,当纵截距最大时, 有最大值,将直线 向可行域内移动时,最先经过原点z2yx处, 有最小值 ,最后经过点 处, 有最大值 ,所以 的取值范围是 .z0(1)Az3y0,316函数 的导函数 的部分图象如图所示，其中 ，()sinfx()yfxA为图象与 轴的两个交点， 为图象的最低点，若在曲线段 与 轴所围成的CxBABCx区域内随机取一点，则该点在 内的概率为 AC【答案】 4【解析】试题分析： ,它的图象与 轴相交时,相邻的两个交点()cos()fxxx分别是 ,曲线段 与 轴所围
13、成的区域面积为232(,00ACABC,而三角形 的面积为 ,所32()sin(si)2fxd 2以在曲线段 与 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 内的概率为ABCABC.24【考点】1.定积分的计算；2.几何概型.【方法点睛】本题主要考查了 型函数的图象和性质,以及定积分()sin()fxAx的计算和几何概型,属于中档题. 先利用定积分的几何意义,求出线段 与 轴所围ABCx成的区域面积,用到了微积分的基本定理,再求三角形 的面积,最后用几何概型概率公式求出面积之比即为所求.求出线段 与 轴所围成的区域面积是关键.ABCx三、解答题17在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，函数A
14、BCabc（ ） ， 的图象关于点 对称()2sin()cosin()fxxxR()fx(,0)6（1）当 时，求 的值域；0,f（2）若 且 ，求 的面积7a13sin4BCABC【答案】(1) ；(2) .3(,20【解析】试题分析：(1)先化简 的解析式,再由 的图象关于点 对称,()fx()fx(0)6求出角 ,确定函数 的解析式,再根据 的范围,求出值域；(2)由正弦定理求出A()f的表达式,代入已知式子中,求出 的值,再由余弦定理求出 的值,最sinBCbcbc后由面积公式求出结果.试题解析：（1） ()2sin()osin()fxAxBC2(sincociA2ssxx，sicin
15、i()A由函数 的图象关于点 对称，知 ，()fx,0)6(06f即 ，又 ，故 ，所以 ，sin03A3)sin(2)3fx当 时， ，(,)2x2(,)3x所以 ，即 的值域为 sin()1fx(,12（2）由正弦定理得 ，则 ， ，4siinsi3abcABC3sin4Bb3sin14Cc所以 ，即 ，31sin()44BC1b由余弦定理 ，得 ，从而22cosab229()3cbc，40bc所以 的面积为 ABC13sin40122SA【考点】1.三角函数式的化简；2.用正弦定理,余弦定理解三角形.18某网络营销部门为了统计某市网友 2016 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况
16、，随机抽查了该市当天 60 名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：若网购金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人” ，网购金额不超过 2 千元的顾客定义为“非网购达人” ，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰为 3:2（1）试确定 ， ， ， 的值，并补全频率分布直方图（如图） ；xypq（2）该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验，从“非网购达人” 、 “网购达人”中用分层抽样的方法确定 10 人，若需从这 10 人总随机选取 3 人进行问卷调查，设 为选取的 3 人中“网购达人”的人数，求 的分布列和数学期望 【答案】(1) ,频率分布直方图见解析；(2)分布列
17、见解9,60.15,.xypq析, .()5E【解析】试题分析：(1)由频率分布表中频数之和为 以及“非网购达人”与“网购60达人”人数比为 ,列出等式求出 的值,再对应的求出 的值；(2)先分别求3:2xy,pq出“网购达人” “非网购达人”的人数,再用超几何分布求出分布列和期望.试题解析：（1）根据题意，有 解得3915860,2,3yx9,6.xy ， ，0.5p.10q补全频率分布直方图如图所示：（2）用分层抽样的方法，从中选取 10 人，则其中“网购达人”有 人；“非网购达人”有 人，2104531065故 的可能取值为 0,1,2,3， ， ，03461()CP124630()CP
18、214630()CP，30461(2)所以 的分布列为：0 1 2 3P601所以 13()026105E【考点】1.频率分布直方图；2.超几何分布.19如图，正方形 的边长为 4， ， 分别为 ， 的中点，将正方形ABCDEFBCDA沿着线段 折起，使得 ，设 为 的中点ABF6AG（1）求证： ；G（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；（3）设 ， 分别为线段 ， 上一点，且 平面 ，求线段 长PQ/PQEFPQ度的最小值【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) .2571941【解析】试题分析：(1)先证明线面垂直: 平面 ，再得到线线垂直:EFDA；(2)建立空间直角坐标系,求出 坐标和平面 的法向量,再用公式DGEFGBCF求出结果；(3)假设 两点的坐标,求出二次函数最小值即可.sin|co|mAPQ试题解析：（1）证明：因为正方形 中， ， 分别为 ， 的中点，BCEA所以 ， ，将正方形 沿着线段 折起后，仍有 ， ，BCEFFDF而 ，FD所以 平面 ，EA又因为 平面 ，G所以 （2）因为 ， ，所以 为等边三角形，60DFFA
