1、2016-2017 学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷一、填空题1已知全集 U=R，A=x|x 22x0，B=x|x1，则 AUB= 2函数 f（x）= 的反函数 f1（x）= 3 = 4已知 sin2+sin=0，（ ，） ，则 tan2= 5方程 log2（9 x+7）=2+log 2（3 x+1）的解为 6在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c ，若其面积 S= （b 2+c2a2） ，则A= 7已知等比数列a n的各项均为正数，且满足：a 1a7=4，则数列 log2an的前 7 项之和为 8如果函数 f（x）=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= 对
2、称，那么实数 a= 9若数列a n的通项公式是 an= ，前 n 项和为 Sn，则 Sn 的值为 10已知 f（x）=2sin x（0）在0， 单调递增，则实数 的最大值为 11函数 y=arcsin（x 2x）的值域为 12设函数 y=f （x）的定义域为 D，如果存在非零常数 T，对于任意 xD，都有 f（x+T）=T f （x） ，则称函数 y=f（x）是“似周期函数”，非零常数 T 为函数 y=f（ x）的“似周期” 现有下面四个关于“似周期函数” 的命题：如果“似周期函数 ”y=f（x）的“似周期”为1，那么它是周期为 2 的周期函数；函数 f（x）=x 是“ 似周期函数”；函数 f
3、（x）=2 x 是“ 似周期函数”；如果函数 f（x）=cosx 是 “似周期函数”，那么“=k，kZ” 其中是真命题的序号是 （写出所有满足条件的命题序号）13已知数列a n满足 a1=81，a n= （k N*） ，则数列a n的前 n 项和 Sn 的最大值为 14已知函数 f（x）是定义在 1，+）上的函数，且 f（x）= ，则函数y=2xf（x）3 在区间（ 1，2016 ）上的零点个数为 二、选择题15 “|x1|2 成立”是“x（x 3）0 成立”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不不充分也不必要条件16函数 y=2cos2（x ）1 是（ ）A最小正周期为
4、 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数17设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（ ）A4 B6 C10 D1718已知点列 An（a n，b n） （nN *）均为函数 y=ax（a0，a1）的图象上，点列 Bn（n，0）满足|AnBn|=|AnBn+1|，若数列b n中任意连续三项能构成三角形的三边，则 a 的取值范围为（ ）A （0， ）（ ，+） B （ ，1）（1， ）C （0， ）（ ，+） D （ ，1） （1， ）三、解答题19已知函数 f（x）=2sin（x+ ）cosx （1）若 0x ，求函数
5、 f（x）的值域；（2）设ABC 的三个内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A 为锐角且 f（A ）= ，b=2，c=3，求 cos（A B）的值20某公司生产的某批产品的销售量 P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x 万元满足 P= （其中 0xa，a 为正常数） 已知生产该产品还需投入成本 6（P+ ）万元（不含促销费用） ，产品的销售价格定为（4+ ）元/ 件（1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？21已知函数 ，其中 aR（1）根据 a 的不同取值，讨论 f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知
6、 a0，函数 f（x）的反函数为 f1（x） ，若函数 y=f（x）+f 1（x）在区间1，2上的最小值为1+log23，求函数 f（x）在区间1，2上的最大值22设数列a n的前 n 项和为 Sn，且（S n1） 2=anSn（nN *） （1）求 S1，S 2，S 3 的值；（2）求出 Sn 及数列a n的通项公式；（3）设 bn=（ 1） n1（n+1） 2anan+1（nN *） ，求数列b n的前 n 项和为 Tn23已知集合 M 是满足下列性制的函数 f（x）的全体，存在实数 a、k（k0） ，对于定义域内的任意 x 均有 f（a+ x）=kf （ax）成立，称数对（a ，k）为函
7、数 f（x ）的“伴随数对”（1）判断 f（x）=x 2 是否属于集合 M，并说明理由；（2）若函数 f（x）=sinxM，求满足条件的函数 f（x）的所有“伴随数对” ；（3）若（1，1） ， （2，1）都是函数 f（x）的“伴随数对”，当 1x2 时，f（x）=cos（ x） ；当 x=2 时，f（x）=0，求当 2014x2016 时，函数 y=f（x）的解析式和零点2016-2017 学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1已知全集 U=R，A=x|x 22x0，B=x|x1，则 AUB= （0，1） 【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合 A 以及
8、 B 的补集 UB，再计算 A（ UB）即可【解答】解：全集 U=R，A= x|x22x0=x|0x2=（0，2） ，B=x|x1=1，+） ， UB=（， 1） ，A UB=（0 ，1） 故答案为：（0，1） 2函数 f（x）= 的反函数 f1（x）= x 3+1 【考点】反函数【分析】条件中函数式 f（x） = 中反解出 x，再将 x，y 互换即得其反函数的解析式即可【解答】解：y= ，x=y 3+1，函数 f（x）= 的反函数为 f1（x）=x 3+1故答案为：x 3+13 = 【考点】极限及其运算【分析】原式= = ，即可得出结论【解答】解：原式= = = ，故答案为： 4已知 sin
9、2+sin=0，（ ，） ，则 tan2= 【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由已知等式化简可得 sin（2cos +1）=0，结合范围 （ ， ） ，解得 cos= ，利用同角三角函数基本关系式可求 tan，利用二倍角的正切函数公式可求 tan2 的值【解答】解：sin2+sin=0，2sincos+sin=0，sin（ 2cos+1）=0 ，（ ，） ，sin 0，2cos+1=0 ，解得：cos= ，tan= = ，tan2= = 故答案为： 5方程 log2（9 x+7）=2+log 2（3 x+1）的解为 x=0 和 x=1 【考点】对数的运算性质【分析】由对数的运算性质化对
10、数方程为关于 3x 的一元二次方程，求得 3x 的值，进一步求得 x 值得答案【解答】解：由 log2（9 x+7） =2+log2（3 x+1） ，得log2（9 x+7）=log 24（3 x+1） ，即 9x+7=4（3 x+1） ，化为（3 x） 243x+3=0，解得：3 x=1 和 3x=3，x=0 和 x=1故答案为：x=0 和 x=16在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c ，若其面积 S= （b 2+c2a2） ，则A= 【考点】余弦定理【分析】根据三角形的面积公式 S= bcsinA，而已知 S= （b 2+c2a2） ，两者相等得到一个关系式，利用此关
11、系式表示出 sinA，根据余弦定理表示出 cosA，发现两关系式相等，得到 sinA 等于 cosA，即 tanA 等于1，根据 A 的范围利用特殊角的三角函数值即可得到 A 的度数【解答】解：由已知得：S= bcsinA= （b 2+c2a2）变形为： =sinA，由余弦定理可得：cosA= ，所以 cosA=sinA 即 tanA=1，又 A（0，） ，则 A= 故答案为：7已知等比数列a n的各项均为正数，且满足：a 1a7=4，则数列 log2an的前 7 项之和为 7 【考点】等比数列的性质【分析】由等比数列的性质可得：a 1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即
12、可得出【解答】解：由等比数列的性质可得：a 1a7=a2a6=a3a5=4=4，数列log 2an的前 7 项和=log 2a1+log2a2+log2a7=log2（a 1a2a7）=log 227=7，故答案为：78如果函数 f（x）=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= 对称，那么实数 a= 1 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可得到答案【解答】解：f（x）=sin2x+acos2x=由正弦函数的对称轴方程，图象关于直线 x= 对称，即可得： ，当 k=0 时，tan=aa=1故答案为 19若数列a n的通项公式
13、是 an= ，前 n 项和为 Sn，则 Sn 的值为 12 【考点】极限及其运算【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论【解答】解：数列a n的通项公式是 an= ，前 n 项和为 Sn， Sn=4+8+ =12 故答案为：12 10已知 f（x）=2sin x（0）在0， 单调递增，则实数 的最大值为 【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得 ，由此求得实数 的最大值【解答】解：f（x）=2sinx（0）在0， 单调递增， ，求得 ，则实数 的最大值为 ，故答案为： 11函数 y=arcsin（x 2x）的值域为 arcsin ， 【考点】反三角函数的运用【分析】
14、利用 x2x=（x ） 2 ，结合反三角函数的定义，即可得出结论【解答】解：x 2x=（x ） 2 ，函数 y=arcsin（x 2x）的值域为arcsin ， 故答案为：arcsin ， 12设函数 y=f （x）的定义域为 D，如果存在非零常数 T，对于任意 xD，都有 f（x+T）=T f （x） ，则称函数 y=f（x）是“似周期函数”，非零常数 T 为函数 y=f（ x）的“似周期” 现有下面四个关于“似周期函数” 的命题：如果“似周期函数 ”y=f（x）的“似周期”为1，那么它是周期为 2 的周期函数；函数 f（x）=x 是“ 似周期函数”；函数 f（x）=2 x 是“ 似周期函数
15、”；如果函数 f（x）=cosx 是 “似周期函数”，那么“=k，kZ” 其中是真命题的序号是 （写出所有满足条件的命题序号）【考点】抽象函数及其应用【分析】由题意知 f（x1）= f（x） ，从而可得 f（x2）=f（x1）=f（x） ；由 f（x+T ）=Tf （x）得 x+T=Tx 恒成立；从而可判断；由 f（x+T ）=Tf （x）得 2x+T=T2x 恒成立；从而可判断；由 f（x+T ）=Tf （x）得 cos（x+T） ）=Tcos x 恒成立；即 cosxcosTsinxsinT=Tcosx 恒成立，从而可得 ，从而解得【解答】解：似周期函数”y=f（x）的“似周期”为1，f（
16、x 1）=f （ x） ，f（x 2）=f （ x1）=f（x） ，故它是周期为 2 的周期函数，故正确；若函数 f（x）=x 是“ 似周期函数”，则 f（x+T）=T f （x） ，即 x+T=Tx 恒成立；故（T 1）x=T 恒成立，上式不可能恒成立；故错误；若函数 f（x）=2 x 是“ 似周期函数”，则 f（x+T）=T f （x） ，即 2x+T=T2x 恒成立；故 2T=T 成立，无解；故错误；若函数 f（x）=cosx 是“ 似周期函数”，则 f（x+T）=Tf （x） ，即 cos（ （x+T） ）=Tcosx 恒成立；故 cos（ x+T）=Tcos x 恒成立；即 cosx
17、cosTsinxsinT=Tcosx 恒成立，故 ，故 =k，kZ；故正确；故答案为：13已知数列a n满足 a1=81，a n= （k N*） ，则数列a n的前 n 项和 Sn 的最大值为 127 【考点】数列的函数特性【分析】数列a n满足 a1=81，a n= （k N*） ，可得 n=2k（kN *）时，a2k=1+log3a2k1；n=2k+1 时 a2k+1= 因此 a2k+1= = ，a 2k=1+a2k2于是数列a n的奇数项成等比数列，公比为 ；偶数项成等差数列，公差为1分类讨论求和，再利用数列的单调性即可得出【解答】解：数列a n满足 a1=81，a n= （k N*）
18、，n=2k（kN *）时，a 2k=1+log3a2k1，a 2=3；n=2k+1 时 a2k+1= a 2k+1= = ，a 2k=1+a2k2数列a n的奇数项成等比数列，公比为 ；偶数项成等差数列，公差为 1S n=S2k=（a 1+a3+a2k1）+ （a 2+a4+a2k）= +3k+= + 127 （k=5 时取等号） Sn=S2k1=S2k2+a2k1= + + 111，k=5 时取等号综上可得：数列a n的前 n 项和 Sn 的最大值为 127故答案为：12714已知函数 f（x）是定义在 1，+）上的函数，且 f（x）= ，则函数y=2xf（x）3 在区间（ 1，2016 ）
19、上的零点个数为 11 【考点】函数零点的判定定理【分析】令函数 y=2xf（x）3=0，得到方程 f（x）= ，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，然后逐一分区间求得答案【解答】解：令函数 y=2xf（x）3=0，得到方程 f（x）= ，当 x1，2）时，函数 f（x）先增后减，在 x= 时取得最大值 1，而 y= 在 x= 时也有 y=1；当 x2，2 2）时，f（x）= ，在 x=3 处函数 f（x）取得最大值 ，而 y= 在 x=3 时也有 y= ；当 x22，2 3）时，f（x）= ，在 x=6 处函数 f（x）取得最大值 ，而 y= 在 x=6 时也有 y= ；当
20、 x210，2 11）时，f（x）= ，在 x=1536 处函数 f（x）取得最大值 ，而 y= 在 x=1536 时也有 y= 函数 y=2xf（x）3 在区间（ 1，2016）上的零点个数为 11故答案为：11二、选择题15 “|x1|2 成立”是“x（x 3）0 成立”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出，即可判断出关系【解答】解：由|x1|2 解得： 2+1x2+1，即1x3由 x（x3）0 ，解得 0x 3“|x1| 2 成立”是“x（x 3
21、）0 成立”必要不充分条件故选：B16函数 y=2cos2（x ）1 是（ ）A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性【解答】解：由 y=2cos2（x ）1=cos（2x ）=sin2x，T=，且 y=sin2x 奇函数，即函数 y=2cos2（x ）1 是奇函数故选 A17设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+5y 的最小值为（ ）A4 B6 C10 D17【考点】简单线性规划【分析】作出不
22、等式组表示的平面区域，作出直线 l0：2x+5y=0，平移直线 l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y 取得最小值 6【解答】解：作出不等式组 表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线 l0：2x+5y=0 ，图中的虚线，平移直线 l0，可得经过点（3 ，0）时，z=2x +5y 取得最小值 6故选：B18已知点列 An（a n，b n） （nN *）均为函数 y=ax（a0，a1）的图象上，点列 Bn（n，0）满足|AnBn|=|AnBn+1|，若数列b n中任意连续三项能构成三角形的三边，则 a 的取值范围为（ ）A （0， ）（ ，+） B （ ，1）（1， ）C （0， ）（
23、 ，+） D （ ，1） （1， ）【考点】指数函数的图象与性质【分析】根据题意，得出 an、b n 的解析式，讨论 a1 和 0a1 时，满足的条件，从而求出 a 的取值范围【解答】解：由题意得，点 Bn（n，0） ，A n（a n，b n）满足|A nBn|=|AnBn+1|，由中点坐标公式，可得 BnBn+1 的中点为（n+ ，0） ，即 an=n+ ，b n= ；当 a1 时，以 bn1，b n，b n+1 为边长能构成一个三角形，只需 bn1+bn+1 bn，bn1 bnb n+1，即 + ，即有 1+a2a，解得 1a ；同理，0a1 时，解得 a1；综上，a 的取值范围是 1a
24、或 a1，故选：B三、解答题19已知函数 f（x）=2sin（x+ ）cosx （1）若 0x ，求函数 f（x）的值域；（2）设ABC 的三个内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A 为锐角且 f（A ）= ，b=2，c=3，求 cos（A B）的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理【分析】 （1）利用三角恒等变换化简 f（x） ，根据 x 的取值范围即可求出函数 f（x）的值域；（2）由 f（A）的值求出角 A 的大小，再利用余弦定理和正弦定理，即可求出 cos（AB）的值【解答】解：（1）f（x）=2sin（x+ ）cosx=（sinx + cosx）cosx=si
25、nxcosx+ cos2x= sin2x+ cos2x+=sin（2x+ ）+ ；由 得， ， ， ，即函数 f（x）的值域为 ；（2）由 ，得 ，又由 ， ， ，解得 ；在ABC 中，由余弦定理 a2=b2+c22bccosA=7，解得 ；由正弦定理 ，得 ，ba，B A， ，cos（A B）=cosAcosB +sinAsinB= 20某公司生产的某批产品的销售量 P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x 万元满足 P= （其中 0xa，a 为正常数） 已知生产该产品还需投入成本 6（P+ ）万元（不含促销费用） ，产品的销售价格定为（4+ ）元/ 件（1）将该产品的利润 y 万元表示
26、为促销费用 x 万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【考点】函数模型的选择与应用【分析】 （1）根据产品的利润=销售额产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件【解答】解：（）由题意知，y=（4+ ）px6（p+ ） ，将 p= 代入化简得：y=19 x（0xa ） ；（）y=22 （ +x+2） 223 =10，当且仅当 =x+2，即 x=2 时，上式取等号；当 a2 时，促销费用投入 2 万元时，该公司的利润最大；y=19 x，y= ，a2 时，函数在0，a 上单调递增，x=a 时，函数有最大值即促销费用投入 a 万元时，
27、该公司的利润最大21已知函数 ，其中 aR（1）根据 a 的不同取值，讨论 f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知 a0，函数 f（x）的反函数为 f1（x） ，若函数 y=f（x）+f 1（x）在区间1，2上的最小值为1+log23，求函数 f（x）在区间1，2上的最大值【考点】函数的最值及其几何意义；反函数【分析】 （1）由 得 f（x）=ax +log2（2 x+1）x，从而可得当 a= 时函数为偶函数； （2）可判断 与 f1（x）都是增函数，从而可得 f（1）+f 1（1）=1+log 23，从而解出 a【解答】解：（1） ，f（ x）=ax+ log2（2 x+1）=ax+log
28、2（2 x+1） log22x=ax+log2（2 x+1） x，f（ x）=f（x） ，即ax x=ax，故 a= ；此时函数为偶函数，若 a ，函数为非奇非偶函数； （2）a0， 单调递增，又函数 f（x）的反函数为 f1（x） ，f 1（x）单调递增；f（1）+f 1（1）=1+log 23，即 a+log23+f1（ 1）=1+log 23，故 f1（1）=1a ，即 a（1a）+log 2（2 a1+1）=1，解得，a=1；故 f（2）=2 +log2522设数列a n的前 n 项和为 Sn，且（S n1） 2=anSn（nN *） （1）求 S1，S 2，S 3 的值；（2）求出
29、Sn 及数列a n的通项公式；（3）设 bn=（ 1） n1（n+1） 2anan+1（nN *） ，求数列b n的前 n 项和为 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）由（S n1） 2=anSn（nN *） ，分别取 n=1，2，3 即可得出（2）由（1）可得：n2 时， （S n1） 2=（S nSn1）S n（nN *） 化为：S n= 猜想 Sn= 代入验证即可得出（3）b n=（ 1） n1（n+1） 2anan+1（nN *）=（1） n1 =（ 1） n1 ，对 n 分类讨论，利用“裂项求和” 方法即可得出【解答】解：（1）（S n1） 2=anSn（nN *） ，
30、n2 时， （S n1） 2=（S nSn1）S n（nN *） n=1 时， ，解得 a1= =S1n=2 时， ，解得 S2= 同理可得：S 3= （2）由（1）可得：n2 时， （S n1） 2=（S nSn1）S n（nN *） 化为：S n= （*）猜想 Sn= n2 时，代入（*） ，左边= ；右边= = ，左边=右边，猜想成立，n=1 时也成立n2 时，a n=SnSn1= = ，n=1 时也成立S n= ，a n= （3）b n=（ 1） n1（n+1） 2anan+1（nN *）=（1） n1 =（ 1） n1 ，n=2k（kN *）时，数列b n的前 n 项和为Tn= +
31、+ = = n=2k1（ kN*）时，数列b n的前 n 项和为Tn= + + += = + T n= 23已知集合 M 是满足下列性制的函数 f（x）的全体，存在实数 a、k（k0） ，对于定义域内的任意 x 均有 f（a+ x）=kf （ax）成立，称数对（a ，k）为函数 f（x ）的“伴随数对”（1）判断 f（x）=x 2 是否属于集合 M，并说明理由；（2）若函数 f（x）=sinxM，求满足条件的函数 f（x）的所有“伴随数对” ；（3）若（1，1） ， （2，1）都是函数 f（x）的“伴随数对”，当 1x2 时，f（x）=cos（ x） ；当 x=2 时，f（x）=0，求当 20
32、14x2016 时，函数 y=f（x）的解析式和零点【考点】函数的值【分析】 （1）f（x）=x 2 的定义域为 R假设存在实数 a、k（k0） ，对于定义域内的任意 x 均有 f（a+x）=kf（a x）成立，则（a+x） 2=k（ax） 2，化为：（k1）x 22a（k+1）x+a 2（k1）=0，由于上式对于任意实数 x 都成立，可得 ，解得 k，a 即可得出（2）函数 f（x）=sinxM ，可得：sin （a+x）=ksin（a x） ，展开化为： sin（x+ ）=0，由于xR 都成立，可得 k2+2kcos2a+1=0，变形 cos2a= ，利用基本不等式的性质与三角函数的单调性
33、即可得出（3）由于（1，1） ， （2，1）都是函数 f（x）的“伴随数对 ”，可得 f（1+x）=f（1x） ，f（2+x）=f（2x） ，因此 f（x+4）=f（x） ，T=4对 x 分类讨论可得：即可得出解析式，进而得出零点【解答】解：（1）f（x）=x 2 的定义域为 R假设存在实数 a、k（k0） ，对于定义域内的任意 x 均有 f（a +x）=kf（a x）成立，则（a+x） 2=k（a x） 2，化为：（k1）x 22a（k+1）x+a 2（ k1）=0，由于上式对于任意实数 x 都成立， ，解得 k=1，a=0（0，1）是函数 f（x）的“伴随数对”，f（x）M（2）函数 f（
34、x）=sinxM，sin（a+x）=ksin（ax） ，（1+k）cosasinx +（1k）sinacosx=0， sin（x+）=0，xR 都成立， k 2+2kcos2a+1=0，cos2a= ， 2，|cos2a |1，又|cos2a |1，故|cos2a |=1当 k=1 时，cos2a=1，a=n+ ，n Z当 k=1 时，cos2a=1，a=n，nZf（x）的“ 伴随数对” 为（n+ ，1） ， （n，1） ，nZ（3）（1，1） ， （2，1）都是函数 f（x）的“伴随数对”，f（1+x）=f（1x） ，f（2+x）= f（2 x） ，f（x+4）=f（x） ，T=4当 0x1 时，则 12x2 ，此时 f（x）=f（2x）=cos ；当 2x3 时，则 14x2 ，此时 f（x）=f（4x）=cos ；当 3x4 时，则 04x1 ，此时 f（x）=f（4x）=cos f（x）= f（x）= 当 2014x2016 时，函数 y=f（x）的零点为 2014，2015，20162016 年 12 月 20 日
