1、2016-2017 学年北京师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 M=1，1，N=x|x 240，则下列结论正确的是（ ）AN M BN M= CMN DM N=R2已知复数 z 满足（z 1）i=1+i ，则 z=（ ）A2 i B2 +i C2 i D2+i3设 p：log 2x0，q：（ ） x11，则 p 是 q 的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4 九章算术 “竹九节” 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面
2、 4 节的容积共3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第五节的容积为（ ）A1 升 B 升 C 升 D 升5若函数 f（x）= ，则 f（f（10） ）= （ ）Alg101 B2 C1 D06如图所示的程序框图运行后输出结果为 ，则输入的 x 值为（ ）A1 B C D1 或7已知圆 x2+y2+2x4y+1=0 关于直线 2axby+2=0（a，bR）对称，则 ab 的取值范围是（ ）A B C D8已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A100 cm 3 B108 cm 3 C84 cm 3 D92 cm 39若不等式组 ，表示的平面区域为三角形，且其面积
3、等于 ，则 m 的值为（ ）A3 B1 C D310已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 =4，则|QF|=（ ）A B3 C D211若函数 f（x）=ax 3x2+x5 在（ ，+）上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）Aa Ba Ca Da12已知圆 C：（x a） 2+（ya ） 2=2a2（a0）及其外一点 A（0，2） 若圆 C 上存在点 T 满足CAT= ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1） B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13已知向量 =（cos，sin ） ， =（
4、1，2） ，若 ，则代数式 = 14已知菱形 ABCD 的边长 4，ABC=150，若在菱形内任取一 点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于 1 的概率为 15等比数列a n的各项均为正数，且 a1a5=4，则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= 16设函数 f（x）= 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边长分别为 a，b，c，且（2b c）cosA=acosC（）求角 A 的大小；（）若 a=3，b=2c，求ABC 的面积18某校从参加高三模拟考试的学生中
5、随机抽取 100 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组90，100） ，100，110） ，140，150后得到如图部分频率分布直方图，其中成绩在130，150的称为“优秀 ”，其它的称为“一般”，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在120，130）内的人数及数学成绩“优秀”的人数；（2）用分层抽样的方法在在分数段为110，130）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 人，求至多有 1 人在分数段在分数段120，130）内的概率（3）若统计了这 100 名学生的地理成绩后得到如下表格：数学成绩“优秀” 数学成绩“一般” 总计地理成绩“优秀” 10
6、40 50地理成绩“一般” 20 30 50总计 30 70 100则能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系 ”？下面的临界值表供参考：P（K 2k） 0.15 0.10 0.05 0.025k 2.072 2.706 3.841 5.024K2= 19如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BCD=135，侧面 PAB底面ABCD，BAP=90 ，AB=AC=PA=6 ，E，F 分别为 BC，AD 的中点，点 M 在线段 PD 上（）求证：EF平面 PAC； （）若 M 为 PD 的中点，求证：ME平面 PAB；（）
7、当 时，求四棱锥 MECDF 的体积20在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线：x y=4 相切（1）求圆 O 的方程（2）圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点，圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB |成等比数列，求 的取值范围21已知函数 f（x）=xlnx+ax 21，且 f（1）= 1（1）求 f（x）的解析式；（2）若对于任意 x（0，+） ，都有 f（x）mx 1，求 m 的最小值选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，T 为直线 l 与曲线 C 的公共点以原
8、点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求点 T 的极坐标；（）将曲线 C 上所有点的纵坐标伸长为原来的 倍（横坐标不变）后得到曲线 W，过点 T 作直线 m，若直线 m 被曲线 W 截得的线段长为 ，求直线 m 的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲23设函数 的最小值为 a（1）求 a；（2）已知两个正数 m，n 满足 m2+n2=a，求 的最小值2016-2017 学年北京师大附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 M=1，1，N=x|x 240，则下列结论
9、正确的是（ ）AN M BN M= CMN DM N=R【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】求出集合 N，然后判断集合的关系即可【解答】解：集合 M=1，1，N=x|x 240=x|2x2可得 MN故选：C2已知复数 z 满足（z 1）i=1+i ，则 z=（ ）A2 i B2 +i C2 i D2+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z1，进一步求得 z【解答】解：由（z1）i=1+i，得 z1= ，z=2i故选：C3设 p：log 2x0，q：（ ） x11，则 p 是 q 的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件
10、 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由 log2x0 可知 0 x1，又由于 1，得 x10，故 x1 是 0x1 的充分不必要条件故 p 是 q 的充分不必要条件【解答】解：log 2x00x1，又 1，得 x10，故 x1 是 0x1 的充分不必要条件故 p 是 q 的充分不必要条件故选 B4 九章算术 “竹九节” 问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第五节的容积为（ ）A1 升 B 升 C 升 D 升【考点】等差数列的性质【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列
11、，根据上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第 5 节的容积【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a 1，a 2，a 9，且为等差数列，根据题意得：a 1+a2+a3+a4=3，a 7+a8+a9=4，即 4a1+6d=3，3a 1+21d=4，4 3 得：66d=7 ，解得 d= ，把 d= 代入 得：a 1= ，则 a5= + （51）= 故选 B5若函数 f（x）= ，则 f（f（10） ）= （ ）Alg101 B2 C1 D0【考点】函数的值【分析】通过分段函
12、数，直接求出 f（10） ，然后求出 f（ f（10）的值【解答】解：因为函数 f（x） = ，所以 f（10）=lg10=1；f（f（10）=f（1）=2故选 B6如图所示的程序框图运行后输出结果为 ，则输入的 x 值为（ ）A1 B C D1 或【考点】选择结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 的函数值当 x0 时，若 y=2x= ，则 x=1，当 0x 时，若 y= x= ，则 x= （0， ） ，舍去，当
13、 x 时，若 y=x2= ，则 x= （舍）或 x= ，输入的 x 值为1 或 ，故选 D7已知圆 x2+y2+2x4y+1=0 关于直线 2axby+2=0（a，bR）对称，则 ab 的取值范围是（ ）A B C D【考点】直线与圆相交的性质【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线 2axby+2=0 对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到 a 与 b 的关系式，由 a 表示出 b，设 m=ab，将表示出的 b代入 ab 中，得到 m 关于 a 的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出 m 的最大值，即为 ab的最大值，即可写出 ab
14、的取值范围【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1） 2+（y2） 2=4，圆心坐标为（1，2） ，半径 r=2，根据题意可知：圆心在已知直线 2axby+2=0 上，把圆心坐标代入直线方程得：2a 2b+2=0，即 b=1a，则设 m=ab=a（1a）=a 2+a，当 a= 时，m 有最大值，最大值为 ，即 ab 的最大值为 ，则 ab 的取值范围是（， 故选 A8已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A100 cm 3 B108 cm 3 C84 cm 3 D92 cm 3【考点】由三视图求面积、体积【分析】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为 6，3
15、，6 的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为 3，4 直角三角形，高为 4利用长方体与三棱锥的体积计算公式即可得出【解答】解：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为 6，3，6 的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为 3，4 直角三角形，高为 4因此该几何体的体积=366 344=1088=100故选：A9若不等式组 ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为（ ）A3 B1 C D3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域
16、为三角形，由 ，得 ，即 A（2，0） ，则 A（2，0）在直线 xy+2m=0 的下方，即 2+2m0，则 m1，则 A（2，0） ，D（2m，0） ，由 ，解得 ，即 B（1 m，1+m） ，由 ，解得 ，即 C（ ， ） 则三角形 ABC 的面积 SABC =SADB SADC = |AD|yByC|= （2+2m） （ 1+m ）=（1+m） （1+m ）= ，即（1+m） = ，即（1+m） 2=4解得 m=1 或 m=3（舍） ，故选：B10已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 =4，则|QF|=（ ）A B3 C D2【考点】抛物线的简单性质【分析】求得直线 PF 的方程，与 y2=8x 联立可得 x=1，利用|QF|=d 可求【解答】解：设 Q 到 l 的距离为 d，则|QF|=d， =4 ，|PQ|=3d，不妨设直线 PF 的斜率为 =2 ，F（2，0） ，直线 PF 的方程为 y=2 （x 2） ，与 y2=8x 联立可得 x=1，|QF|=d=1+2=3，故选：B11若函数 f（x）=ax 3x2+x5 在（ ，+）上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）Aa Ba Ca Da【考点】利用导数研究函数的单调性
