1、河北定州中学 2016-2017 学年第二学期高三第 1 次月考数学试卷一、选择题1如图，设地球半径为 R，点 A、 B 在赤道上，O 为地心，点 C 在北纬 30的纬线（ O为其圆心）上，且点 A、 C、 D、 O、O 共面，点 D、 、O 共线.若 90AB，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（ ）A 46B C 2D 42若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 p 的值为（ ）A2 B2 C4 D435 名同学去听同时进行的 3 个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个讲座，则不同的选择种数是（ ）A. 3 B. 5 C. 45 D. 45 4原命题“若
2、ABB，则 ABA”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D4 个5若集合 |0x, 2|Bx,则 AB（ ）A. |x B. |1 C.|01x D.|01x6一个由正数组成的等比数列，它的前 4 项和是前 2 项和的 5 倍，则此数列的公比为( )A1 B2 C3 D47已知点 (,)，O 是坐标原点，点 (,)Pxy的坐标满足302xy，设 z 为 OA在 P上的投影，则 z=|cos,AP的取值范围是（ ） A.3, B.3 C., D.3,8直角坐标系中，点 ),1(的极坐标可以是 A. )65,2( B. 62 C. )34,2( D.
3、)35,2(9如图，平行四边形 ABCD中， (2,0)(3,2)AD，则 BACA 6 B 4 C 9 D 13 10下列四类函数中，具有性质“对任意的 0x， y，函数 )(xf满足yf)(= )xf”的是（ ）A指数函数 B对数函数 C一次函数 D余弦函数11如图，在四面体 ACD中， EF、 分别是棱 AB、 的中点，则向量 EF与 AB、 CD的关系是（ ）A、 12EFBCDB、 - C、D、 1-2EFACD 12点（3，1）和（-4，6）在直线 3x-2y+a=0 的两侧，则 a 的范围是（ ）Aa7 或 a24 B.-7a24 C.a=-7 或 a=24 D.以上都不对二、填
4、空题13若实数 0x，则 4x的最小值是_ _.14对于命题：如果 O是线段 AB上一点，则 |OBAB0；将它类比到平面 的情形是：若 O是 ABC内一点，有 BCOCSS0；将它类比到空间的情形应该是：若 是四面体ABCD内一点，则有_.15如图，等腰直角三角形 ABC，点 G是 的重心，过点 G作直线与 ,CAB两边分别交于 ,MN两点，且 M， N，则 4的最小值为 .16己知 0a， b， 1c，且 ab，则212()ac的最小值为 三、解答题17已知函数 2()ln(0,1).xfaa(1)求函数 在点 0,()f处的切线方程；(2)求函数 ()fx单调增区间；(3)若存在 12,
5、，使得 12()1(fxfe是自然对数的底数） ，求实数 a的取值范围.18已知三个数成等差数列，其和为 21，若第二个数减去 1 ，第三个数加上 1，则三个数成等比数列. 求原来的三个数.19如图，三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱 AA1底面 ABC，ACB = 90，E 是棱 CC1上动点，F 是 AB 中点，AC = 1，BC = 2，AA 1 = 4.FEA BB1A1 C1C（）当 E 是棱 CC1中点时，求证：CF平面 AEB1；（）在棱 CC1上是否存在点 E，使得二面角 AEB1B 的余弦值是 217，若存在，求 CE 的长，若不存在，请说明理由.20在如图所示的几何体中EA平
6、面 ABC，DB平面ABC，ACBC，且 ACBCBD2AE=2，M 是 AB 的中点（）求证：CMEM ；（）求多面体 ABCDE 的体积（）求直线 DE 与平面 EMC 所成角的正切值21已知ABC 为锐角三角形，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且 32sinacA=。（I）求角 C；（II）当 23=时，求ABC 面积的最大值1423已知圆 x2y 22ax2ay2a 24a0（0a4）的圆心为 C，直线 l：yxm（1）若 m4，求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值；（2）若直线 l 是圆心下方的切线，当 a 在 0,4的变化时，求 m 的取值范围24已知点 C为圆 2
7、18xy的圆心， P是圆上的动点，点 Q在圆的半径 CP上，且有点 1,0A和AP上的点 M，满足 ,2QAM（1）当点 在圆上运动时，求点 的轨迹方程；（2）若斜率为 k的直线 l与圆 21xy相切，与（1）中所求点 Q的轨迹交于不同的两点 ,FHO是坐标原点，且 3445OFHA时，求 k的取值范围参考答案 ADBDA BBBCA 11C12 B13414 OBCDOACDOABDOABCVV015 316 4217(1) 1y (2) 单调增区间为 (0,)+ (3) 1(0,e,)a+因为函数 2()lnxfa，所以 lnx+， ()f，又因为 (0)1f，所以函数 x在点 0,处的切
8、线方程为 1y 由， l2ln(1)lnx xaaa+因为当 ,时，总有 ()f在 R上是增函数，又 (0)f，所以不等式 0x的解集为 (,)，故函数 x的单调增区间为 (,)+ 因为存在 12,，使得 12()e1fxf 成立，而当 x时， 12maxin()fx ，所以只要 main()ef 即可又因为， x， f的变化情况如下表所示：x(,0)(0,)+()fx减函数 极小值 增函数所以 ()fx在 1,0上是减函数，在 0,1上是增函数，所以当 1,x时， fx的最小值min01fxf， fx的最大值 maxf为 (1)0e1f f和 f中的最大值因为 ()(ln)(ln2lnaa+
9、，令，因为 2210g，所以 1()la在 ,上是增函数而 0，故当 时， ga，即 (1)f；当 1时， 0，即 ()f 所以，当 a时， ，即 lne1a ，函数 lnya在 (1,)上是增函数，解得 ea ；当0时， ()ff ，即 le ，函数 lnya在 (0,1)上是减函数，解得1e综上可知，所求 a的取值范围为 1(0,e,)a+18解：设原来的三个数为 x-d,x,x+d, 3 分由和为 21 得 x=75 分, 又 7-d,6,8+d 成等比数列 d=4 或-510 分,求得原来三个数为 3,7,11 或 12,7,2. 12 分19 （）详见试题解析;（）在棱 1C上存在点
10、 E使得二面角 AEB1B 的余弦值是 217，且 1CE（）根据直线平行平面的判定定理，需要在平面 AEB1内找一条与 CF 平行的直线.根据题设，可取 1AB的中点 G，通过证明四边形 FGE是平行四边形来证明 /FG，从而使问题得证；（）由于1,CAB两两垂直，故可以 C为坐标原点，射线 1,CAB为 ,xyz轴的正半轴建立空间坐标系，利用空间向量求解.试题解析：（）证明：取 1AB的中点 ，联结 ,EF ,FG分别是棱 、 的中点， 11/,2B又 ,ECFGEC四边形 F是平行四边形， /G CF平面 1ABE， G平面 1ABE /平面（）解：由于 1,C两两垂直，故可以 C为坐标
11、原点，射线 1,CAB为 ,xyz轴的正半轴建立空间坐标系如图所示则 1(0,)(,0)(,24)CAB设 Em，平面 1AE的法向量 1(,)nxyz，则 1(,24)(,)Bm由 1An得 0xyzm,取 2得： 1(,42)n C平面 1B A是平面 E的法向量，则平面 1EB的法向量 2(1,0)nCA二面角 1的平面角的余弦值为 7 222174()4nmA解之得 m在棱 1C上存在点 E使得二面角 AEB1B 的余弦值是 217，且 1CE.20见解析【解析】解:（I）证明： C， M是 的中点，CMAB又 E平面 ， E （II）解：连结 D，设 a，则 2BDCAa，在直角梯形
12、 AB中， 2， M是 的中点 3Ea， 3， 6 E EDCMBCM平面 ED， CM， D平面 EC，是直线 和平面 所成的角在 Rt 中， 6a， 3Ea， tn2M 所以直线 DE与平面 C所成的角的正切值为 2 21 （I） 3p=；（II）（I）利用正弦定理化简等式 32sinacA=，可以得到 3sin2C=，再利用ABC 为锐角三角形，解出3Cp=；（II）利用余弦定理 ob+-，得到 12abab+-=，再代入面积公式 1sin2SabC，可以得出 S的最大值试题解析：（I）由正弦定理得 siinacAC=，将已知代入得 3sin2C=，因为ABC 为锐角三角形，所以 02p
13、, 所以 3（II）由余弦定理得 22coscab+-，即 21ab+-，又 2abab+-=，所以 1ab，所以ABC 的面积 13in4SC=，当且仅当 =，即ABC 为等边三角形时，ABC 的面积取到 3，所以ABC 面积的最大值为22 (1)不破产的概率 1- 49=5；(2)EX=15 29+5 3-10 9=5 解：(1)第四项失败的概率 1，其他三项失败的概率 1破产的概率= 4+ 3( 23()()C) = 4+ 237 = 44 分不破产的概率 1-9=56 分(2)x 可能的取值 15 ， 5 ， -107 分P(x=15)= 34( 2)3= 87= 6= 299 分P(
14、x=5)= C13( ) = 413 = = 11 分P(x=-10)= 6= 9EX=152+5 -10 =512 分23 （1） 20；（2）1，84 2（1）已知圆的标准方程是（xa） 2（ya） 24a（0a4） ，则圆心 C 的坐标是（a，a） ，半径为 2直线 l 的方程化为：xy40则圆心 C 到直线 l 的距离是 42 |2a|设直线 l 被圆 C 所截得弦长为 L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L2 22a2 182 2310a0a4，当 a3 时，L 的最大值为 2 10（2）因为直线 l 与圆 C 相切，则有 m2 ，即|m2a|2 a又点 C 在直线 l 的上方，aam，即 2am2am2 ，m 2110a4，0 22 m1，84 24 （1）21xy；（2） 32kk或 .（1）由题意知 MQ中线段 AP的垂直平分线，所以 2CPQCQA，所以 的轨迹是椭圆，即方程为21xy；（2）设直线 12:,lykxbFyHx，由直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可得 bk.联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，代入OFH，有234415k，由此解得 322kk或 .试题解析：（1）由题意知 MQ中线段 AP的垂直平分线，所以 2CPQCQAC，所以点 的轨迹是以点 ,C为焦点，焦距为 2，长轴为 的椭圆， 21,xbacy；
