1、2018 届河北省定州中学高三下学期第一次月考数学试题一、单选题1在平面直角坐标系 中 ,已知点 , ,动点 满足 xOy30A12BPO,其中 ,则所有点 构成的图形面积为( )OAB,012A. B. C. D. 123【答案】C【解析】 ，由此所有点 构成的图形为 的内部， ,0,1,2PAOB53,5,cos,OAOABOBB25112sin, sin33.25ABS故选 C.2在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，设函数 的图象为xOyfxk直线 ，且 与 轴、 轴分别交于 、 两点，给出下列四个命题：l AB存在正实数 ，使 的面积为 的直线 仅有一条；mAml存在正实数 ，使 的面
2、积为 的直线 仅有二条；存在正实数 ，使 的面积为 的直线 仅有三条；存在正实数 ，使 的面积为 的直线 仅有四条Ol其中，所有真命题的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线 与 轴， 轴交点的坐标分别是： ， 23ykxxy32,0Ak， ，当 时， 0,32B23112AOB kSk， ，当且仅14994AOBkS9412k当 时取等号， ，当且仅当 时取等号，当 ，320AOBS32k0AOBSm在 时， 有两个值；当 时， 0k k，22114919412AOBkkS k，当且仅当 时取等号， ，当且9942412kk32k12AOBS仅当 时取等号，当 时，在
3、时， 有两个值；当3AOBSm0k时，仅有一条直线使 的面积为 ，故不正确；当 时，仅有0m m两条直线使 的面积为 ，故正确；当 时，仅有三条直线使 的A12A面积为 ，故正确；当 时，仅有四条直线使 的面积为 ，故正确；12AB综上所述，真命题的序号是，故选 D.3已知函数 ， ，若 与 的图像上2lnfxxegxfxg存在关于直线 对称的点，则实数 的取值范围是（ ）1ymA. B. C. D. 2,e23,e2,3e32,e【答案】D【解析】 关于直线 对称的直线为 1gxm（ ） 1y1ymx，直线 与 在 上有交点y2lnx2e作出 与 的函数图象，如图所示：xy若直线 经过点 ，
4、则 ，1yme（ ， ） 3me若直线 与 相切，设切点为 则 ，解得x2ylnxxy（ ， ） 12mxln32.me32me故选 D4设椭圆 ( )的一个焦点 点 为椭圆 内一2:1xyEab0ab2,0F,1AE点,若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是P8AE（ ）A. B. C. D. 4,97497， 2,972,97【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为 ，则 1,0F111,AFPAF，即 ， 12 89aP2a， ，即1A11287aP，即 ，椭圆 的离心率的取值范围是72,97cce497eE，故选 A.4,97【方法点晴】本题主要考查利用椭圆定与性质求椭圆
5、的离心率，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，e再利用其中的一些关系构造出关于 的不等式，从而求出 的范围.本题是利用椭圆的e定义以及三角形两边与第三边的关系构造出关于 的不等式，最后解出 的范围.5某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 3+1291+4294【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，它的组成是一个圆柱截去四分之一，再补上
6、以直角边长为 的等腰三角形为底面，圆柱上底面圆心为顶点的三棱锥，故体积为 ，故选 C.22119133442【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6已知函数 ， 若当 时，2,1lnfxkgxhx1,xe不等式组 恒成立，则实数 的取值
7、范围为（ ） 2fhkA. B. C. D. 1,1e2,e1,2e【答案】C【解析】由题意知，当 时， 恒成立，,x2 lnkx即 恒成立，要使 在 上恒成立，所以2 1lnkx2kx1,e2ke令 ，则 ，令 ,则lux2lnuxvxln1vx当 时， 恒成立，则 在 上单调递增，1,xev01,e所以 ，所以 恒成立，则 在 上单调递增，要使uxux,在 上恒成立，则lnxk1,e12k综上所述，的取值范围是 .2,故选 C.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造
8、函数，直接把问题转化为函数的最值问题.7若函数 在区间 上的最大值、最小值分别为 、13esinxf3,5p，则 的值为（ ） qpA. B. C. D. 2163【答案】C【解析】因为 1 1esinsin3ex xf所以 1si i3ex xfxf（ ） ， （ ）因为函数 为奇函数，所以它在区间 上的最大值、最小值之和为f（ ） 4,0，也即 ，30pq所以 68定义“有增有减”数列 如下： ，满足 ，且 ，满足na*tN1tta*sN.已知“有增有减”数列 共 4 项，若 ，且1Sa ,234ixyzi，则数列 共有（ ）xyznA. 64 个 B. 57 个 C. 56 个 D. 5
9、4 个【答案】D【解析】当四个数中只有两个相同时，共有 种，当四421132ANC个数中有三个数相同时，共有 种，所以总方法数有412320A。1254N【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，按四个数中，只有两类数和有三类数进行分类，其中两类数中又有小类，三个相同和两两相同。9已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数2lnxefkx2fx的取值范围是（ ）kA. B. C. D. 2,4e,2e0,【答案】A【解析】函数 ，函数 的定义域是 2lnxefkxfx0（ ， ）224 3 xxxekef（ ） 是函数 的唯一极值点的唯一一个极值点
10、f 是导函数 的唯一根2x0x（ ） 在（0，+）无变号零点，即 在（ 0，+ ）上无实根xek2xek令 2xeg时， 在 时无解，满足题意；0k（ ） 0（ ， ）k0 时， 有解为： 22,0xxxeegg （ ） 2x时 单调递减 时， 单调递增2x 0g， （ ） ， （ ） g（ ） ， （ ）的最小值为 ，由 和 图象，它们切于g（ ）22,4ek（ ） xye24x，综上所述， 24e（ ， ） 2故答案为 A.10定义在 R 上的函数 满足 ，且对任意的不相等的实数 ， fxfxf1x有 成立，若关于 的不等式20,x120在 上恒成立，则实数 的取ln3ln3fmfmx1,
11、xm值范围（ ）A. B. C. D. 1l6,2e1l6,2el,2eln3,126e【答案】D【解析】定义在 R 上的函数 满足 ， ，fxfxf函数 为偶函数，又对任意的不相等的实数 ， 有fx 120,x成立，即函数数 在 上递减，120fx0, 在 上单调递增，fx（ ， ）若关于 的不等式 在 上恒2ln32ln3fmxfmx1,x成立，即 对 恒成立23fxlnf（ ） （ ） 1, 对 恒成立，3x即 对 恒成立，即 且 对 06mxl,2lnxm62lnx13，恒成立令 ，则 ，则 在 上递增， 上递减， lnxg（ ） 1lnxg（ ） g（ ） 1e， ） 3e（ ，1m
12、axe（ ） 令 则 在 上递减， 265 0llxhh（ ） ， （ ） ， hx（ ） ，3minx（ ）综上所述， 1ln,.26e故选 D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，解题时要注意转化的数学思想的利用11现有两个半径为 2 的小球和两个半径为 3 的小球两两相切，若第五个小球和它们都相切，则这个小球的半径是 （ ）A. B. C. D. 613415【答案】A【解析】如图所示，A,B 是半径为 2 的球的球心，C,D 是半径为 3 的球的球心，O 是第五个球的球心. 由题得 , ,51CEDE213F，22 236,36OFrrOEr因为 平面
13、BEC， 所以 .,ABCEDABABEO在直角AEO 中， ，故选 A.22 1rrr点睛：本题的难点在于画图和从线面关系里找到方程. 所以首先要把图画得直观，再从几何图里找到线面关系利用解三角形的知识列出方程.12定义在 上的函数 满足 ，且当 时， Rfxfxf0x，若对任意的 ，不等式21,0xfx,1xm恒成立，则实数 的最大值是（ ）ffmA. -1 B. C. D. 1231【答案】C【解析】函数 为偶函数,且当 时,函数为减函数, 时,函数为增函数.若对fx0x0x任意的 ，不等式 恒成立，则 ,即1m1ffm1xm,所以 .当 时, ,所221xx2以 ,解得 ,所以 .当
14、,时,不等式成立,当3130时, ,无解,故 , 的最大值为 .0m1m【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性,考查不等式恒成立问题的转化方法及利用分类讨论的方法解含有绝对值的不等式.函数的奇偶性的判断, 则函fxf数为偶函数,若 则函数为奇函数.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的fxf图象关于 轴对称.y二、填空题13设 为抛物线 的焦点, 为抛物线上不同的三点, F24yxABC则 _.0,ABCAFBC【答案】6【解析】设 抛物线 焦点坐标 123xyxyxy（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） 21x10F（ ， ），准线方程： ， 0,FAB点 是 重心， 而0F（ ， ）
15、 C123123xy， ，|1123Axx（ ） ， ， ，1236Bx（ ） 即答案为 6.【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形重心性质和抛物线焦半径公式的灵活运用14已知 函数 ，当 时,函数 的最大值是,aR21,0,xxafsinxfx_；若函数 的图象上有且只有两对点关于 轴对称,则 的取值范围是f ya_【答案】 12,【解析】当 时， 当且仅当0x11122,2xxxxx时取等号，此时 取到最大值 1，故当 时,函数 的最大值是 ；1sin0f12若函数 的图象上有且只有两对点关于 轴对称, 将 在 轴左侧的图象关fxyxy于 轴对称到右
16、边，与 在 轴右侧的图象有且只有一个交点yfx由题意， 关于 轴的对称函21,0fxaxy数为 则要保证与 在 轴右侧的图象有且只有一个交21,0fxax（ ） y点，只需 综上所述，a 的取值范围是 .0即答案为 .15已知双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，点 为2:1xyCab(0,)bABF双曲线 的左焦点，过点 作垂直于 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 于Fx C， 点，连接 交 轴于点 ，连接 交 于点 ，若 ，则PQPByEAQFM2Q双曲线 的离心率为_【答案】5【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：双曲线 C： 中，PQ 过左焦21xyab点 F 且垂直与 x 轴，假设
17、 P 在 Q 的上方，则 xP=xQ=c，将 x=c 代入双曲线的方程可得：y P= ，y Q= ，2ba2则|PF|=|FQ|= ，2ba又由 OEPM，则EOBPFB ，则有 ，EOBPF则|EO|=c-a，而EOA MFA，则有 ，即 ，MFAO2a3bc整理可得：c=5a，则 e=5，故双曲线的离心率为 5；故答案为：5点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16已知函数 ， ，若
18、与 的图像212lnfxxe1gxmfxg上存在关于直线 对称的点，则实数 的取值范围是_ y【答案】32,e【解析】 关于直线 对称的直线为 1gxm（ ） 1y1ymx，直线 与 在 上有交点y2lnx2e作出 与 的函数图象，如图所示：xy若直线 经过点 ，则 ，1yme（ ， ） 3me若直线 与 相切，设切点为 则 ，解得1ymx2ylnxxy（ ， ） 12mxln32.e32e故答案为 ,三、解答题17对于 若数列 满足 则称这个数列为 “ 数列”.*,nNnx1,nxK（1 ）已知数列 1, 是“ 数列”,求实数 的取值范围 ;21,mKm（2 ）是否存在首项为 的等差数列 为
19、“ 数列”, 且其前 项和 使得nannS恒成立?若存在,求出 的通项公式;若不存在,请说明理由;2nS（3 ）已知各项均为正整数的等比数列 是“ 数列”, 数列 不是“ 数列”naK12naK,若 试判断数列 是否为“ 数列”,并说明理由.1,nabnb【答案】 （1） ；（2）见解析；（3）见解析.m【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“ 数列” ，只需同时满足，解不等式可解 m 范围。 （2）由题意可知，,1,若存在只需等差数列的公差 ，即 1,d1nSdn矛盾。 （3）设数列 的公比为 则 ， ，满足“ 数列” ，即na,q1na*naNK只需最小项 即1 10nnaq21,不是
20、“ 数列”,且 为最小项,1, 2naK21a所以 即 ,所以只能 只有解 或1,1q1,q1,3aq分两类讨论数列 。1,.aqnb试题解析：（）由题意得 ,m2,m解得 2,m所以实数 的取值范围是 2.m（假设存在等差数列 符合要求,设公差为 则na,d1,由 得1,a1,2nSd由题意,得 对 均成立,即n*N1.nd当 时, 1n;dR当 时, ,因为 11n所以 与 矛盾,d所以这样的等差数列不存在.（）设数列 的公比为 则na,q1,na因为 的每一项均为正整数,且n 1 10,nnnqa所以在 中,“ ”为最小项.121同理, 中,“ ”为最小项.12na21a由 为“ 数列”
21、,只需 即nK21,1,q又因为 不是“ 数列”,且 为最小项,12na21a所以 即 ,1,1q由数列 的每一项均为正整数,可得na12,aq所以 或13q12,.当 时, 则1a,na3,1nb令 则*1,nncbN323,21n n又 123213nn 24860,3n所以 为递增数列,即nc121,nncc所以 21,2b所以对于任意的 都有*N1,nb即数列 为“ 数列”.nK当 时, 则12aq2,na1.nb因为 21,3b所以数列 不是“ 数列”.nK综上:当 时,数列 为“ 数列”,1aqnb当 时, 数列 不是“ 数列”.22nK【点睛】对于新定义的题型一定要紧扣题目中的定
22、义并进行合理的转化，这是解决此类的问题的关键。另外题中有整数条件时一般都能通过因式分解，或夹逼在方程个数小于变量个数时，解出部分甚至全部参数。18已知椭圆 的离心率为 ,且过点 .2:1(0)xyCab221,（）求椭圆 的方程；（）过椭圆 的左焦点的直线 与椭圆 交于 两点,直线 过坐标原点且与直1lCAB2l线 的斜率互为相反数.若直线 与椭圆交于 两点且均不与点 重合,设直线1l 2,EFAB与 轴所成的锐角为 ,直线 与 轴所成的锐角为 ,判断 与 的大小关系AEx1Bx212并加以证明.【答案】 （） ；（） .2y12【解析】试题分析：（）根据椭圆 的离心率为 ,且过2:(0)xy
23、Cab2点 ，结合性质 ，列出关于 、 、 的方程组，求出 、 21,22abcabcab、 ，即可得椭圆 的方程；（） 与 的大小关系只需看两直线斜率之间的关cC12系，设设 ，联立 ,消去 得112:,lykxAyBx21 ykxy,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得2240，直线 的倾斜角互补,可得 .1324AEBFyykxxEF12试题解析：（）由题可得 ,解得 .222 11cabac21 abc所以椭圆 的方程为 .C21xy（）结论: ,理由如下 :12由题知直线 斜率存在,l设 .112:,lykxAyBx联立 ,2 消去 得 ,y22140kxk由题易知 恒成立,0由韦达定
24、理得 ,22121,kkxx因为 与 斜率相反且过原点,2l1设 , ,2:lykx34,EyFx联立 2 消去 得 ,y210kx由题易知 恒成立,由韦达定理得 ,34342,1xxk因为 两点不与 重合,EFAB所以直线 存在斜率 ,AEBF则 1324AEBFyykxx1323k132323131xxxk21312xxk22213341kkxx 0所以直线 的倾斜角互补,AEBF所以 .1219已知函数 在定义域内有两个不同的极值点2lnafxxR（ ）求 的取值范围a（ ）记两个极值点 ， ，且 ，已知 ，若不等式 恒成立，212120112ex求 的取值范围【答案】 （1） ；（ 2
25、）10ea1【解析】试题分析：（1）由导数与极值的关系知可转化为方程在 有两个不同根；再转化为函数 与函数lnfx,lnyx的图象在 上有两个不同交点；（2）原式等价于 ，ya0,122lxx令 ， ，则不等式 在 上恒成立，令12xt1t（ ， ） 1lntt01t（ ， ）， ，根据函数的单调性求出即可.lntht0t（ ， ）试题解析：（ ）由函数 得 的定义域为 ，且12lnafxxfx0,，fxlna若函数 在定义域内有两个不同的极值点，则方程 ，fx即 有两个不同的根，l0即函数 与函数 的图象在 上有两个不同的交点，lnyxyax0,如图所示：若令过原点且切于函数 图象的直线斜率
26、为 ，只须 ，lnyxk0ak令切点 ，则 ，0,lAx01|xk又 ，0lnk ，解得， ， ，0l1x0ex1k 的取值范围是 aa（ ）因为 等价于 ，212ex12lnlx由（ ）可知， ， 分别是方程 的两个根，即 ， 11x2ln0xa1lnxa，2lnxa所以原式等价于 ，1212axx ， ，012原式等价于 ，12ax又由 ， 作差得 ，1ln2l 122lnxa原式等价于 ，122lx ，原式恒成立，120x即 恒成立，122lnx令 ， ，则不等式 在 上恒成立，12xt0,t1lntt0,1t令 ， ，1thtln0,t则 ，2t当 时，可见 时， ，210,1t0ht故 在 上单调递增，ht,又 ， 在 上恒成立，符合题意；t,t当 时，可见 时， ；2120,0ht时， ，,tht 在 时单调递增，在 时单调减，h2,t 2,1t又 ，故 在 上不可能恒小于 ，不符合题意，10t0,10综上所述，若不等式 恒成立，只须 ，2ex2又 ，故 01
