1、1第 26 课 点与圆、直线与圆的位置关系第一部分 讲解部分（一） 课标要求1、点与圆的位置关系、能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系.、知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆” 并会作图 .2、直线与圆的位置关系、能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.、了解切线的概念.、能运用切线的性质进行简单计算和说理.、掌握切线的判别方法.、了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念.、能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.（二） 知识要点知识点 1：点与圆的位置关系点和圆的位置关系：如果圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d那么点
2、在圆外 dr知识点 2：过三点的圆：（1）过三点的圆：经过在同一直线上的三点不能作圆，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆。（2）三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形，三角形外心到三角形三个顶点距离相等。（3）三角形的外接圆的做法：确定圆心：作任意两边的中垂线，交点即为圆心。确定半径：两边中垂线的交点到三角形任意一顶点间的距离作为半径。知识点 3：直线与圆的位置关系1 直线与圆的位置关系概念：直线与圆有两个公共点时，叫直线与圆相交，直线叫圆的割线。直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，唯一公共点叫切点，直2
3、线叫圆的切线直线与圆没有公共点时，叫直线与圆相离。直线与圆的位置关系性质与判定如果圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d那么直线与圆相离 dr直线与圆相切 =直线与圆相交知识点 4：切线的性质和判定切线的性质：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论 1：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。推论 2：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。切线的判定：和圆只有唯一公共点的直线是圆的切线。到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。知识点 5:三角形的内切圆三角形的内切圆：与 三 角 形 三 边 都 相 切 的 圆 叫 做 三 角 形 的 内 切
4、圆 ， 圆 心 叫 做 三 角 形 的内 心 ， 三 角 形 叫 做 圆 的 外 切 三 角 形 。 三 角 形 的 内 心 是 三 角 形 三 条 角 平 分 线 的 交 点 。（三） 考点精讲知识点 1：点与圆的位置关系（一般以选择题、填空题、解答形式出现）例 1（2011）矩形 ABCD 中，AB=8， BC=3 边 AB 上，且 BP=3AP，如果圆 P 是以点5P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）A、点 B、C 均在圆 P 外B、点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内C、点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外D、点 B、C 均在圆 P 内思路分析：根据 B
5、P=3AP 和 AB 的长度求得 AP 的长，然后利用勾股定理求得圆 P 的半径 PD 的长，根据点 B、C 到 P 点的距离判断点 P 与圆的位置关系即可解答：解：AB=8 ，点 P 在边 AB 上，且 BP=3AP，AP=2，r=PD= =7，253PC= = =9，22536BCP2536PB=6r，PC=9r3点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外故选 C点评：本题考查点与圆的位置关系，属于基础题例 2（2011 湖北武汉）如图，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，QON=30，公路 PQ上 A 处距离 O 点 240 米，如果火车行驶时，周围 200 米以内会受到噪音的影
6、响，那么火车在铁路 MN 上沿 MN 方向以 72 千米/小时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为（ ）A12 秒 B16 秒 C20 秒 D24 秒思路分析：过点 A 作 ACON，求出 AC 的长，第一台到 B 点时开始对学校有噪音影响，第一台到 C 点时，第二台到 B 点也开始有影响，第一台到 D 点，第二台到 C 点，直到第二台到 D 点噪音才消失解答：解：如图：过点 A 作 ACON ，QON=30，OA=240 米，AC=120 米，当火车到 B 点时对学校产生噪音影响，此时 AB=200 米，由勾股定理得：BC=160 米， CD=160 米，即 BC=320 米，72 千米
7、/小时=20 米/秒，影响时间应是：32020=16 秒故选 B点评：本题考查的是点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以及它在以A 为圆心， 200 米为半径的圆内行驶的 BD 的弦长，求出对小学产生噪音的时间，属于中档题。知识点 2：过三点的圆：（题型：作图题出现的较多）4例 1：（2011 山东烟台）如图，ABC 的外心坐标是_.思路分析：首先由ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作 AB 与 BC 的垂线，两垂线的交点即为 ABC 的外心解答：解：ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，作图得：EF 与 MN 的交点 O 即为所求的 ABC
8、 的外心，ABC 的外心坐标是（2，1） 故答案为：（ 2，1） 点评：此题考查了三角形外心的知识注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点解此题的关键是数形结合思想的应用知识点 3：直线与圆的位置关系（一般以选择题、填空题形式出现）例 1： 已知圆的直径为 13 cm，圆心到直线 的距离为 6 cm，那么直线 和这个圆的公共点l l有 个.思路分析 ： 直线与圆的位置关系包括：相离、相切、相交判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线 的距离与圆的半径实际上这两种方法是等价l的，由题意可知圆的半径为 6.5 cm，而圆心到直线 的距离为 6 cm，6 cm6.5 cm，
9、所以l直线 与圆相交，有 2 个公共点故填 2l例 2：（2011 台湾省）如图为平面上圆 O 与四条直线 L1、L 2、L 3、L 4 的位置关系若圆O 的半径为 20 公分，且 O 点到其中一直线的距离为 14 公分，则此直线为何？（ ）O xyBCA5A、L 1 B、L 2 C、L 3 D、L 4思路分析：根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当 d=r，则直线和圆相切；当dr，则直线和圆相交；当 dr ，则直线和圆相离，进行分析判断解答：解：因为所求直线到圆心 O 点的距离为 14 公分半径 20 公分，所以此直线为圆 O 的割线，即为直线 L2故选 B点评：此题考查了直线和圆的位置
10、关系与数量之间的联系，能够结合图形进行分析判断知识点 4：切线的性质和判定（题型：选择题、填空题、解答）例 1：（2011包头）已知 AB 是O 的直径，点 P 是 AB 延长线上的一个动点，过 P 作O 的切线，切点为 C， APC 的平分线交 AC 于点 D，则 CDP 等于（ ）A、30 B、60C、45 D、50分析：连接 OC，根据题意，可知 OCPC，CPD+DPA+A+ ACO=90，可推出DPA+A=45，即 CDP=45解答：解：连接 OC，OC=OA， ，PD 平分APC ，CPD=DPA， A=ACO，PC 为O 的切线，OCPC，CPD+DPA+A+ACO=90，DPA
11、+A=45，即CDP=45故选 C点评：本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证CPD+DPA+ A+ACO=90，即可求出CDP=45例 2：（2011 山东淄博）已知：ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 O 在边 AB 上，OA BCDPOE6过点 B 且分别与边 AB，BC 相交于点 D，E，EF AC，垂足为 F（1）求证：直线 EF 是 O 的切线；（2）当直线 DF 与 O 相切时，求 O 的半径思路分析：（1）连接 OE欲证直线 EF 是O 的切线，只需证明 EFAC利用等边三角形的三个内角都是 60、
12、等腰三角形 OBE 以及三角形的内角和定理求得同位角BOE=A=60，从而判定 OEAC，所以由已知条件 EFAC 判定 OEEF，即直线 EF 是O 的切线；（2）连接 DF设 O 的半径是 r由等边三角形的三个内角都是 60、三条边都相等、以及在直角三角形中 30所对的直角边是斜边的一半求得关于 r 的方程 4r=2（4r4） ，解方程即可解答：解：（1）证明：连接 OEABC 是等边三角形，A=B=C=60；在BOE 中，OB=OE ，B=60，B=OEB=BOE=60（三角形内角和定理） ，BOE=A=60，OEAC（同位角相等，两直线平行） ；EFAC，OEEF，即直线 EF 是O
13、的切线；（2）连接 DFDF 与 O 相切，ADF=90设 O 的半径是 r，则 EB=r，EC=4 r，AD=4 2r在 RtADF 中， A=60，AF=2AD=84rFC=4r4；在 RtCEF 中，C=60，EC=2FC，4r=2（4r 4） ，解得，r= ；37O 的半径是 43点评：本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可知识点 5：三角形内切圆例 1：（2011 山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为 6m 和 8m.按照输油中心 O 到三条
14、支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心 O 为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m思路分析：根据：ABC 的面积=AOB 的面积+ BOC 的面积+AOC 的面积即可求解解答：解：在直角ABC 中，BC =8m，AC =6m则 AB= = =102BCA286中心 O 到三条支路的距离相等，设距离是 rABC 的面积=AOB 的面积 +BOC 的面积+AOC 的面积O（第 7 题图）8即： ACBC= ABr+ BCr+ ACr 即：68=10r+8r+6r r= =21212 482故 O 到三条支路的管道总长是 23=6m故选 C点评：本题
15、主要考查了三角形的内心的性质，三角形内心到三角形的各边的距离相等，利用三角形的面积的关系求解是解题的关键“真题演练”一、选择1. （2011 贵州遵义）如图，AB 是O 的直径，BC 交O 于点 D，DEAC 于点 E，要使 DE 是O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）A. DEDO B. ABAC C. CDDB D. ACOD2. （2011 湖北随州）如图，AB 为O 的直径，PD 切 O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 COCD ，则PCA（ ）A、30 B、45 C、60 D、67.5二、填空题3. （2011 江苏苏州）如图，巳知 AB 是O 的一条直
16、径，延长 AB 至 C 点，使得AC=3BC，CD 与O 相切，切点为 D若 CD= ，则线段 BC 的长度等于_34. （2011青海）如图所示，O 的两条切线 PA 和 PB 相交于点 P，与O 相切于 A、B两点，C 是O 上的一点，若P=70，则ACB= 95.（2011 广东汕头）如图， AB 与O 相切于点 B，AO 的延长线交 O 于点 C，连接BC，若A=40，则 C= 25 三、解答题6. （2011 江苏淮安）如图，AD 是O 的弦，AB 经过圆心 O，交O 于点C，DAB=B=30.(1)直线 BD 是否与 O 相切？为什么？(2)连接 CD，若 CD=5，求 AB 的长
17、.7. （2011江苏徐州）如图，PA，PB 是O 的两条切线，切点分别为 A，B，OP 交 AB 于点 C，OP=13，sinAPC= 513（1）求O 的半径；（2）求弦 AB 的长“练习部分”1（2011 四川眉山）如图，PA 、 PB 是 O 的切线，AC 是 O 的直径，P=50，则BOC的度数为（ ）10A50 B25 C40 D602. （2011 成都）已知O 的面积为 9cm2，若点 0 到直线 l 的距离为 cm，则直线 l 与O 的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D无法确定3. （2011 台湾）如图，BD 为圆 O 的直径，直线 ED 为圆 O 的切线，AC 两
18、点在圆上，AC 平分BAD 且交 BD 于 F 点若ADE19，则AFB 的度数为何？（ ）A97 B104 C116 D1424. 如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO=CD，则PCA=（ ）A、30 B、45 C、60 D、67.55.（2011 南通）已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在 x 轴的正半轴上并与直线 y 3x 相切，设半圆 C1、半圆 C2、半圆 C3 的半径分别是 r1、r 2、r 3，则当 r11 时，r3 6.（2010 河南，10，3 分）如图，CB 切 O 于点 B，CA 交O 于点 D 且 AB 为O 的直
19、径，点 E 是 上异于点 A、D 的一点若C =40，则 E 的度数为 AB117. （2011 湖南长沙）如图， P 是O 的直径 AB 延长线上的一点， PC 与O 相切于点 C，若P20，则A_POCBA8. （2011贺州）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点， AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D，锐角DAB 的平分线 AC 交O 于点 C，作 CDAD，垂足为 D，直线 CD与 AB 的延长线交于点 E（1）求证：AC 平分DAB；（2）过点 O 作线段 AC 的垂线 OE，垂足为 E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ；（3）若 CD=4，AC=4 ，求垂线
20、段 OE 的长9. （ 2011安顺）已知：如图，在ABC 中，BC=AC，以 BC 为直径的O 与边 AB 相交于点 D，DEAC，垂足为点 E（1）求证：点 D 是 AB 的中点；（2）判断 DE 与O 的位置关系，并证明你的结论；（3）若O 的直径为 18，cosB= ，求 DE 的长1210.（2011 菏泽）如图， BD 为O 的直径，AB=AC，AD 交 BC 于点 E，AE=2，ED=4，（1）求证：ABEADB ；（2）求 AB 的长；（3）延长 DB 到 F，使得 BF=BO，连接 FA，试判断直线 FA 与O 的位置关系，并说明理由“真题演练”答案1、A 分析】根据 AB=
21、AC，连接 AD，利用圆周角定理可以得到点 D 是 BC 的中点，OD是ABC 的中位线，ODAC，然后由 DEAC，得到ODE=90，可以证明 DE 是O的切线根据 CD=BD，AO=BO，得到 OD 是ABC 的中位线，同上可以证明 DE 是O的切线根据 ACOD，ACDE ，得到EDO=90，可以证明 DE 是O 的切线2、D 分析：根据图形利用切线的性质，得到 COD45，连接 AC，ACO22.5 ，所以PCA 9022.567.5解答：解：如图：PD 切O 于点 C，OCPD，又 OCCD，COD45，连接 AC，AO CO，ACO 22.5， PCA9022.567.513故选
22、D3、答案是：1 解：CD 与O 相切，切点为 D，CD2=BCAC，即CD2=BC3BC=3，解得：BC=14、55 分析：连接 OA、OB ，由已知的 PA、PB 与圆 O 分别相切于点 A、B，根据切线的性质得到 OAAP，OBPB ，从而得到 OAP=OBP=90，然后由已知的P 的度数，根据四边形的内角和为 360，求出AOB 的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半即可得到ACB 的度数5、25 分析：连接 OB，AB 与O 相切于点 B，得到OBA=90，根据三角形内角和得到AOB 的度数，然后用三角形外角的性质求出C 的度数6、 （2）AB=15 分析：（1）
23、连接 OD，通过计算得到ODB=90，证明 BD 与O 相切（2） 分析：OCD 是边长为 5 的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出 AB的长 7、 （1）半径为 5 （2）AB= 103分析（1）：由题意可推出 OAAP，即可推出 OA 的长度，即半径的长度；（2）根据题意和（1）的结论，即可推出 PA=PB， APO=BPO，AC=BC= AB，可以推12出 AC 的长度，即可推出 AB 的长度“练习部分”答案一、选择题1 A 分析：由 PA、 PB 是O 的切线，根据切线的性质得到 OAP=OBP=90，再根据四边形的内角和为 360可得到AOB，而 AC 是O 的直径，根据互补即可
24、得到BOC 的度数故选 A2 C 分析： 设圆 O 的半径是 r，根据圆的面积公式求出半径，再和点 0 到直线 l 的距离 比较即可故选 C3. C 分析：先根据直径所对的圆周角为直角得出角 BAD 的度数，根据角平分线的定义得出角 BAF 的的度数，再根据弦切角等于它所夹弧对的圆周角，得出角 ABD 的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出角 AFB 的度数故选 C144. D 分析：根据图形利用切线的性质，得到 COD=45，连接 AC，ACO=22.5 ，所以PCA=90-22.5=67.5 故选 D5. 9 分析：由三个半圆依次与直线 y 3x 相切并且圆心都在 x 轴上，y 3x倾斜
25、角是 30， 得，OO =2r ，OO =2r ，00 =2r ，r 11，r3=9故答案为 9112136. 答案为： 40 分析：如图：连接 BD，AB 是直径， ADB=90， BC 切 O 于点B，ABC=90，C=40，BAC=50 ，ABD=40，E= ABD=407. A35 分析：由 PC 与O 相切于点 C，得PCO90，而P20 ，所以POC70；因为 OAOC ，所以AACO；又AACOPOC70，故A358. 分析：（1）连接 OC，由 CD 为圆 O 的切线，根据切线性质得到 OC 与 CD 垂直，又AD 与 CD 垂直，根据平面上垂直于同一条直线的两直线平行得到 A
26、D 与 OC 平行，由平行得一对内错角相等，又因为两半径 OA 与 OC 相等，根据等边对等角，得到一对相等的角，利用等量代换，即可得到DAC=OAC，即 AC 为DAB 的平分线；（2）以 O 为圆心，以大于 O 到 AC 的距离为半径画弧，与 AC 交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间距离的一半长为半径在 AC 的另一侧画弧，两弧交于一点，经过此点与点 O 确定一条直线，即为所求的直线，如图所示；（3）在直角三角形 ACD 中，由 CD 和 AC 的长，利用勾股定理求出 AD 的长，再根据垂径定理，由 OE 与 AC 垂直，得到 E 为 AC 中点，求出 AE 的长，由（1）推出
27、的角平分线得一对角相等，再由一对直角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，由相似得比例即可求出 OE 的长垂线段 OE 的长为 9.分析：（1）连接 CD，由 BC 为直径可知 CDAB，又 BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；（2）连接 OD，则 OD 为ABC 的中位线，ODAC，已知 DEAC，可证 DEOC，证明结论；（3）结论 CD，在 RtBCD 中，已知 BC=18，cosB= ，求得 BD=6，则 AD=BD=6，在RtADE 中，已知 AD=6，cosA=cosB= ，可求 AE，利用勾股定理求 DE=1510. 分析： （ 1）根据 AB=AC，可得ABC=C，利用等量代换可得ABC=D 然后即可证明ABEADB （2）根据ABEADB ，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得 AB 的长AB=（3）连接 OA，根据 BD 为O 的直径可得 BAD=90，利用勾股定理求得 BD，然后再求证OAF=90即可作者：吕丽俊单位：辽宁省本溪市 36 中学QQ：564523162邮箱：lvlijun_
