1、第31讲 点与圆、直线与圆的位置关系,考点知识精讲,中考典例精析,考点训练,举一反三,考点一 点与圆的位置关系 1点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆上dr；(2)点在圆内dr. 2过三点的圆 (1)经过三点作圆：经过在同一直线上的三点不能作圆；经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆 (2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形,(3)三角形外接圆的作法：确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点
2、的距离作为半径 温馨提示： 锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部.,考点二 直线与圆的位置关系 1直线与圆的位置关系的有关概念 (1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆_，这时的直线叫做圆的 ； (2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 ，唯一的公共点叫做_，这时的直线叫做圆的 ； (3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 2直线和圆的位置关系的性质与判定 如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和O相交dr.,割线,相切,相离,切线,相交,切点,考点三 切线的判定和性质 1切线的判定方法 (1)和圆只有一个公共点
3、的直线是圆的切线； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 ； (3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线 2切线的性质 (1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 ； (2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过 ； (3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_.,切线,半径,圆心,切点,考点四 切线长定理 1切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角,(1)(2011上海)矩形ABCD中，AB8，BC3 ，点P在边AB上，且BP3AP.如果
4、P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A点B、C均在圆P外B点B在圆P外，点C在圆P内C点B在圆P内，点C在圆P外D点B、C均在圆P内 (2)(2011成都)已知O的面积为9 cm2，若点O到直线l的距离为 cm，则直线l与O的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D无法确定,(3)(2011宜宾)如图所示,PA、PB是O的切线, A、B 为切点，AC是O的直径，P40，则BAC_. 【点拨】解答本组题时要注重数形结合思想,(2011陕西)如图,在ABC中,B60,O是ABC的外接圆,过点A作O的切线,交CO的延长线于点P,CP交O于点D. (1)求证：APAC； (
5、2)若AC3，求PC的长 【点拨】当圆中出现切线时，一般需要连接过切点的半径，构造直角三角形 【解答】(1)证明:如图所示,连接AO,则AOPA.AOC=2B=120.AOP=60,P=30.又OA=OC， ACP30. PACP.APAC.,(2011芜湖)如图，已知直线PA交O于A、B两点，AE是O的直径，点C为O上一点，且AC平分PAE，过C作CDPA，垂足为D. (1)求证：CD为O的切线； (2)若CDDA6，O的直径为10，求AB的长度 【点拨】证切线时，一般需“连半径，证垂直，得切线” 【解答】(1)证明：连接OC.点C在O上，OAOC， OCAOAC.CDPA，CDA90，CA
6、D DCA90.AC平分PAE，DACCAO.DCO DCAACODCACAODCADAC90.DCCO. 又点C在O上，OC为O的半径，CD为O的切线,(2)解：过O作OFAB，垂足为F，OCDCDAOFD90，四边形OCDF为矩形，OCFD，OFCD.DCDA6，设ADx，则OFCD6x.O的直径为10，DFOC5.AF5x.在RtAOF中，由勾股定理知AF2OF2OA2，即(5x)2(6x)225.化简得x211x180，解得x2或x9.由ADDF，知0x5，故x2.从而AD2，AF523.OFAB，由垂径定理知F为AB的中点，AB2AF6.,1如图，P为O外一点，PA切O于点A，且OP
7、5，PA4，则sinAPO等于( )答案：B 2如图，从O外一点P引O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，如果APB60，PA8，那么弦AB的长是( )答案：B,3O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与O的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D无法确定 答案：A 4如图，已知O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，AOB45，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与O有公共点，设OPx，则x的取值范围是( )答案：C,5如图，O的半径OA10 cm，弦AB16 cm，P为AB 上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 cm. 6如图，已知RtABC，ABC90，以直角边
8、AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD. (1)若AD3，BD4，求边BC的长； (2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与O相切,6,点与圆、直线与圆的位置关系训练时间：60分钟 分值：100分,一、选择题(每小题4分，共48分) 1(2011兰州)如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O于点C，若A25，则D等于( )A40 B50 C60 D70 【解析】连接OC，则OCDC，DOC2A50，D905040. 【答案】A,2(2010中考变式题)如图，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BCAD于点C，AB2，半圆O的半径为2，则BC的长为 (
9、 )A2 B1.5 C1 D0.5【答案】C,3(2010中考变式题)如图，在平面直角坐标系中，P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交P于M、N两点若点M的坐标是(2，1)，则点N的坐标是( )A(2，4) B(2，4.5) C(2，5) D(2，5.5) 【解析】过点P作PAMN于点A，设NAx，连接PN，则MAx.P半径为x1，在RtPNA中，PN2NA2PA2，(x1)2x222，解得x1.5，N(2，4) 【答案】A,4(2012中考预测题)如图，已知O的半径为R，AB是O的直径，D是AB延长线上一点，DC是O的切线，C是切点，连接AC，若CAB30，则BD的长为( )【解析】连接O
10、C，则OCOD.CAB30，COD60，D30，则OD2R.BDODOB2RRR. 【答案】C,5(2010中考变式题)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，连接BC交O于点D，连接AD，若ABC45，则下列结论正确的是( )【答案】A,6(2012中考预测题)在RtABC中，C90，AC3 cm，BC4 cm，以C为圆心、3 cm长为半径的圆与AB的关系为( ) A相切 B相离 C相交 D无法判断【答案】C,7(2011黄冈)如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于点D，且COCD，则PCA_.( ) A30 B45 C60 D67.5【答案】D,8(2010中考变式
11、题)如图，PA、PB分别是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，已知BAC35，则P的度数为( )A35 B45 C60 D70 【解析】BAC35，OAP90，PAB55.由切线长定理得PAPB，PABPBA55，P70. 【答案】D,9(2010中考变式题)下列四个命题：与圆有公共点的直线是该圆的切线；到圆心的距离等于该圆半径的直线是该圆的切线；垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线其中正确的是( ) A B C D 【解析】利用圆的切线的判定方法和定义，是正确的 【答案】C,10(2012中考预测题)如图，已知O的直径AB与弦AC的夹角为35，
12、过C点的切线与AB的延长线交于点P，则P等于( )A15 B20 C25 D30 【解析】OAOC，A35，AACO35，COP70.又OCPC，P90COP20. 【答案】B,11(2011温州)如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，O与边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上现将DEF沿着EF对折，折痕EF与O相切，此时点D恰好落在圆心O处若DE2，则正方形ABCD的边长是 ( ),【答案】C,12(2011宁波)如图，O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O28，若将O1绕点P按顺时针方向旋转360，在旋转过程中
13、，O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现( ) A3次 B5次 C6次 D7次,【解析】如图所示，PO1835，以P为圆心，5为半径画圆P，圆P上有2个点D1与D2到边AD距离为1，有一个点D3(直线PO2与圆P的交点)到边CD距离为1，有2个点D4与D5到边BC距离为1，所以以这5个点为圆心，1为半径作圆，这五个圆都与正方形ABCD的边相切且只有一个公共点，因此在旋转的过程中，O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现5次 【答案】B,二、填空题(每小题4分，共16分) 13(2011广州)如图，AB与O相切于点B，AO的延长线交O于点C.若A40，则C_.,【答案】
14、25,14(2011海南)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，连接BC交O于点D，若C50，则AOD_. 【解析】由切线的性质可得A90，则B905040.AOD2B80. 【答案】80,【解析】由切线长定理得DCDA，CEBE，DEDAEB，PED的周长PAPB2PA16 cm. 【答案】16 cm,【解析】如图所示，连接OD，设O的半径为r.AC3BC，OBBCODr. CD是O的切线，ODDC. 由勾股定理得，OD2DC2OC2.【答案】1,三、解答题(共36分) 17(12分)(2011新疆)如图，在RtABC中，AB3，BC4，圆心O在AC上，O与BC相切于点D，求O的半
15、径,18(12分)(2011沈阳)如图，点A、B在O上，直线AC是O的切线，OCOB，连接AB交OC于点D. (1)求证：ACCD；,【答案】(1)证明：AC是O的切线，OAAC，OAC90， OABCAB90. OCOB，COB90，ODBB90. OAOB，OABB，CABODB. ODBADC，CABADC，ACCD.,19(12分) (2011南京)如图，在RtABC中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm.P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆设点Q运动的时间为t s.(1)当t1.2时，判断直线AB与P的位置关系，并说明理由 (2)已知O为ABC的外接圆，若P与O相切，求t的值 【答案】解：(1)直线AB与P相切,如图所示，过P作PDAB，垂足为D. 在RtABC中，ACB90， AC6 cm，BC8 cm，P为BC的中点，PB4 cm.,PDBACB90，PBDABC， PBDABC.当t1.2时，PQ2t2.4(cm)， PDPQ，即圆心P到直线AB的距离等于P的半径 直线AB与P相切 (2)ACB90，AB为ABC的外接圆的直径,
