1、专题10：直线与圆、圆与圆（两课时）班级 姓名 一、课前测试1已知过定点P(1，2)的直线l交圆O：x2y29于A，B两点，若AB4，则直线l的方程为 ； 当P为线段AB的中点时，则直线l的方程为 答案：x1或3x4y50；x2y502过点P(1，0)作圆C： (x4)2(y2)29的两条切线，切点分别为A、B，则切线方程为 ； 切线长PA为 ；直线AB的方程为 答案：x1或5x12y50；2；3x2y703圆C：x2(y2)2R2(R0)上恰好存在2个点，它到直线yx2上的距离为1，则R的取值范围为 答案：1R34经过三点A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)的圆的方程为 答案：x2y26
2、x2y505 已知圆C1：x2y22mx4ym250和圆C2：x2y22x2mym230，若两圆相交，实数m的取值范围为 答案：5m2或1m26已知圆O1：x2y24x2y40，圆O2：x2y26x2y60，则两圆的公共弦长度为 答案：47经过点A(4，1)，且与圆：x2y22x6y50相切于点B(1，2)的圆的方程为 答案：(x3)2(y1)25二、方法联想1相交弦问题1圆心角、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式如：()2d2R2，dRcos，Rsin2相交弦的垂直平分线过圆心3过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直2相切问题 1位置判断：方法1：利用dr；方法
3、2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直2如图，在RtPAC 中，切线长PA；当圆外一点引两条切线时，CB A 1P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆)，其中PC为直径； 2两圆的方程相减可得切点弦的直线方程3PC为APB的平分线，且垂直平分线段AB3圆上点到直线距离问题(1)当直线与圆相离时，如图： 圆上点到直线距离，在点A处取到最大值dR，在点B取到最小值dRCB A (2)当直线与圆相交时，如图： 优弧上点到直线距离，在点A取到最大值dR，劣弧上点到直线距离，在点B取到最大值Rd4外接圆问题方法1：三点代入圆的一般方程x2y2DxEyF0，求解D、E、F方法2：
4、三角形两边的垂直平分线交点为圆心方法3：直角三角形外接圆的直径为斜边 优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法3；若只涉及圆心，可用方法2；方法1可直接求出圆心和半径5两圆位置关系问题位置关系d与r1，r2的关系公切线条数外离dr1r24外切dr1r23相交|r1r2|dr1r22内切d|r1r2|1内含0d|r1r2|06两圆相交问题 (1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程(2)两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦7两圆相切问题 两圆相切时，两圆圆心的连线过两圆的切点三、例题分析第一层次xOCBDNMAy例1 如图，已知圆心坐标为M(，1)的圆M与x轴及直线yx均相切，切
5、点分别为A，B，另一圆N与圆M、x轴及直线yx均相切，切点分别为C，D(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度答案：(1)M的方程为(x)2(y1)21，N的方程为(x3)2(y3)29(2) 教学建议(1)主要问题归类与方法： 1直线与圆相切问题：dr；因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直2当圆外一点引两条切线问题，如图，P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆)，其中PC为圆的直径；两圆的方程相减可得切点弦的直线方程；PC为APB的平分线，且垂直平分线段AB3圆与圆的位置关系问题：圆心距与两圆半径关系方法选择与优化建议：对
6、于问题1，因为不知道切点坐标，所以选择方法；对于问题2，因为需求圆心所在直线方程，所以选择方法对于问题3，学生一般判断圆心距与两圆半径关系但由图知RtOAMRtOCN，所以OM：ONMA：NC，即更简洁(2)主要问题归类与方法： 1求切点坐标：切线方程与圆联立求交点；求出过圆心与切线垂直的直线，再与切线方程联立求交点2弦长问题：弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式；直线与圆方程联立，利用韦达定理求弦长方法选择与优化建议：对于问题1，因为两直线求交点简单，所以选择方法对于问题2，因为涉及圆的弦长，而不是椭圆的弦长，所以选择方法例2 如图，已知椭圆C：y21的长轴为AB，O为坐标原点，过
7、B的直线l与x轴垂直P是椭圆上异于A，B的任意一点，PHx轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HPPQ，连结AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点 (1)求证：Q点在以AB为直径的圆上；(2)试判断直线QN与以AB为直径的圆位置关系答案：(1)略；(2)相切教学建议(1)主要问题归类与方法：1一个点在椭圆上问题：设P点代入椭圆方程；求P点代入椭圆方程2点Q在以AB为直径的圆上问题：求出圆的方程，将Q代入；OQAB；0方法选择与优化建议：对于问题1，方法和均可对于问题2，三种方法均可，但在A、B、Q的坐标比较复杂时，优先使用方法（2）教学建议主要问题归类与方法：1直线与圆的位置关系问题：d与r关系；
8、通过判断；直线是否经过定点，判断定点与圆的位置关系2直线与圆相切问题：dr；因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法，在直线与圆的位置关系中一般不使用判断对于问题2，学生一般会选择方法，即求出QN的方程，再求O到QN的距离因为点Q一定在圆上，所以问题转化为判断是否相切问题，从而选择方法例3 已知圆M：x2(y2)21，设点B，C是直线l：x2y0上的两点，它们的横坐标分别是t，t4，点P在线段BC上，过P作圆M的切线PA，切点为A(1)若t0，MP，求直线PA的方程；(2)经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L（t
9、）答案：（1）直线PA的方程是y1或4x3y110（2）教学建议（1）主要问题归类与方法： 1直线与圆相切问题：dr；因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直方法选择与优化建议：对于问题1，因为不知道切点坐标，所以选择方法（2）主要问题归类与方法： 1三点外接圆问题：三点代入圆的一般方程，求解D、E、F；三角形两边的垂直平分线交点过圆心；直角三角形外接圆的直径为直角三角形斜边2二次函数最值问题：分类讨论对称轴与区间四种位置关系，并进行取舍和合并方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般选择方法或，因为三角形为直角三角形，所以选择方法更合理【第二层次】例1 如图，在平面直角坐标系xOy
10、中，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上xyAlO(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围答案：(1)y3或3x4y120；(2)a的取值范围为0，教学建议（1）主要问题归类与方法：1直线与圆相切问题：dr；因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直方法选择与优化建议：对于问题1，因为没有切点坐标，所以选择方法（2）主要问题归类与方法：1求轨迹方程问题：定义法；直接法；相关点法；参数法2两曲线交点问题：联立方程组消元判断解的个数（代数法）；结合两曲线图形分析（几何法）
11、3圆与圆的位置关系问题：判断圆心距与两圆半径关系方法选择与优化建议：对于问题1，学生比较容易选择方法，教师要分析为什么不选择，即各自适用的特征对于问题2，学生容易选择设M坐标为（x0，y0），采用方法，联立两个方程消元求解因为两曲线为圆，所以选择方法，即几何法xOCDNMAy例2 如图，已知圆心坐标为M(，1)的圆M与x轴及直线yx均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M、x轴及直线yx均相切，切点分别为C，D(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度答案：(1)M的方程为(x)2(y1)21，N的方程为(x3)2(y3)29(2) 教学建议(1)
12、主要问题归类与方法： 1直线与圆相切问题：dr；因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直2当圆外一点引两条切线问题，如图，P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆)，其中PC为圆的直径；两圆的方程相减可得切点弦的直线方程；PC为APB的平分线，且垂直平分线段AB3圆与圆的位置关系问题：圆心距与两圆半径关系方法选择与优化建议：对于问题1，因为不知道切点坐标，所以选择方法；对于问题2，因为需求圆心所在直线方程，所以选择方法对于问题3，学生一般判断圆心距与两圆半径关系但由图知RtOAMRtOCN，所以OM：ONMA：NC，即更简洁(2)主要问题归类与方法： 1弦长问题：弦长L、半径R
13、和弦心距d中三个量可以建立关系式；直线与圆方程联立，利用韦达定理求弦长方法选择与优化建议：对于问题1，因为涉及圆的弦长，而不是椭圆的弦长，所以选择方法例3 已知圆O：x2y22交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(1，1)，求证：直线PQ与圆O相切；(3)试探究：当点P在圆O上运动时(不与A、B重合)，直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由. 答案：(1) y21；(2)略；(3)故直线始终与圆相切教学建议（
14、2）主要问题归类与方法：1直线与圆相切问题：dr；因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直方法选择与优化建议：对于问题1，因为P在圆上，所以选择方法（3）教学建议主要问题归类与方法：1一个点在圆上问题：设P（x0，y0）代入圆方程；求出P点代入圆方程2直线与圆相切问题：dr；因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直方法选择与优化建议：对于问题1，因为P为圆上一动点，所以选择方法对于问题2，因为P在圆上，所以选择方法【第三层次】例1 已知圆C与直线xy30相切于点（2，1），且过点P(0，1)，求圆C的方程 答案：(x1)2y22教学建议主要问题归类与方法：1两点在圆上问
15、题：两点代入圆方程；因为已知两点坐标，所以利用弦的垂直平分线过圆心2直线与圆相切问题：dr；因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直方法选择与优化建议：对于问题1，因为涉及圆上两点时优先想到弦，所以选择对于问题2，因为已知切点坐标，所以选择例2如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上xyAlO(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围答案：(1)y3或3x4y120；(2)a的取值范围为0，教学建议（1）主要问题归类与方法：1直线与圆相切问
16、题：dr；因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直方法选择与优化建议：对于问题1，因为没有切点坐标，所以选择方法（2）主要问题归类与方法：1求轨迹方程问题：定义法；直接法；相关点法；参数法2两曲线交点问题：联立方程组消元判断解的个数（代数法）；结合两曲线图形分析（几何法）3圆与圆的位置关系问题：判断圆心距与两圆半径关系方法选择与优化建议：对于问题1，学生比较容易选择方法，教师要分析为什么不选择，即各自适用的特征对于问题2，学生容易选择设M坐标为（x0，y0），采用方法，联立两个方程消元求解因为两曲线为圆，所以选择方法，即几何法例3 已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb
17、)2r2及其内部所覆盖(1)试求圆C方程.(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CACB，求直线l的方程.答案：（1）(x2)2(y1)25；（2）直线l的方程是：yx1. 教学建议（1）主要问题归类与方法： 1三点外接圆问题：三点代入圆的一般方程，求解D、E、F；三角形两边的垂直平分线交点过圆心；直角三角形外接圆的直径为直角三角形斜边方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般选择方法因为三角形为直角三角形，所以选择方法更合理（2）主要问题归类与方法： 1垂直问题：斜率乘积为1；向量数量积为0；勾股定理；角度为902直线与圆相交弦问题：圆心角、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式；相交弦的垂直平分线过圆心；直线与圆方程联立，利用韦达定理方法选择与优化建议：对于问题1， 如果用或，则需要利用韦达定理因为CACB得圆心角为90，所以利用圆的相交弦问题对于问题2，因为涉及圆心角，所以选择方法四、反馈练习略
