1、第 1 节 常见不等式及其解法1一元一次不等式的解法不等式 axb(a0)的解集为：当 a0 时，解集为x| x 当 a0 时，解集为x |x ba ba2一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式 b24ac 0 0 0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x 2(x1x 2)有两相等实根x1x 2b2a 没有实数根ax2bxc 0(a0)的解集 x|xx2 或 x1x 23 x 2x 13 4x1已知集合 Px| x2x 2 0 ，Q x|log2(x1)1 ，则 (RP)Q( )A2,3 B(，1 3， )C(2,3 D(，1 (3，)2设 a0，
2、不等式c0 且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlog aN，其中 a 叫做对数的底数，N叫做真数（真数必为正数） 当 a10 时叫常用对数，记作 xlg N ；当 ae 时叫自然对数，记作 xln N(2)对数的常用关系式(a，b， c，d 均大于 0 且不等于 1)：log a10 log aa1， 对数恒等式：a logaNNmalog换底公式：log ab ， 推广 logab logablogbclogcdlog adlogcblogca 1logba(3)对数的运算法则：如果 a0，且 a1，M 0，N0，那么：loga(MN)log aMlog aN；
3、loga log aMlog aN；MNlogaMnnlog aM(nR)； log amMn logaM= nm1化简下列各式：(1) (2)14lg235l3lg70l(3) (4) 2lg5l01 2594 1loglog27log12332（15浙江）计算： _， _若 4log3a，则2log24log3la_3方程 log2 (12x )1 的解 x_ 计算 log6log4(log381)_ 4有下列五个等式，其中 a0 且 a1，x0 , y0，其中正确的是 ， log()logaaxyxy 2log()(logl)aaaxyxy ， 12第 3 节 高考数学中的运算三角计算一
4、任意角1角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形2角的表示顶点：用 O 表示；始边：用 OA 表示，用语言可表示为起始位置 ；终边：用 OB 表示，用语言可表示为 终止位置3角的分类（1）正角：按 方向旋转形成的角；加一个角按 方向旋转（2）负角：按 方向旋转形成的角；减一个角按 方向旋转（3）零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角任意角大小比较： ，因此小于 90的角不一定是锐角4象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属
5、于任何一个象限5终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S ，即任一与| k360，k Z角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和二弧度制1角度制和弧度制角度制用度作为度量单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等于周角的1360弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制备注：在同一个式子中，角度制不可与弧度制混用！2任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 03角的弧度数的计算如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的
6、长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是| | lr扇形的面积公式： 4角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的互化：角度化弧度 弧度化角度360 2 rad 2 rad360180 rad rad1801 rad001745 rad1801 rad( )5730180(2)一些特殊角与弧度数的对应关系：度 0 1 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360弧度 0 180 6 4 3 2 23 34 56 32 2三任意角的三角函数1任意角三角函数的定义将角的顶点与原点 O 重合，始边与直角坐标系 x 轴非负半轴重合，角的终边上任意取一点 P(x，y )，则对应角
7、的正弦值 sin ，余弦值 cos ，正切值 tan ，常记 2yx2yxy2r由此定义，求任意角的三角函数值可按以下步骤完成： 常见特殊角三角函数值（利用两特殊直角三角形计算并记忆！） 0 6 4 3 2 23 34 56正弦余弦正切2三角函数值的符号例 1根据下列条件求 sin ，cos ，tan (1) ； (2)已知角 的终边经过点 P(3,4) 3(3)角 的终边经过点 P(4a, 3a)(a0)，则 sin_；(4)已知角 的终边过点 P(5， a)，且 tan ，求 sin cos 的值1251已知角 的终边经过点 P(1,2) ，则 cos 的值为( )A B C D55 5
8、255 522 是第二象限角，P( x， )是其终边上一点，且 cos x，则 x 的值为( )524A B C D3 3 3 23如果点 P(sin cos ，sin cos )位于第二象限，那么角 所在的象限是( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4若角 是第二象限角，则点 P(sin ，cos )在第_ 象限5(2011江西高考)已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 终边上一点，且sin ，则 y_ 255四同角三角函数的基本关系由三角函数定义易得同角三角函数的基本关系式：平方关系 商数关系sin2cos 21 tan (k ，kZ )si
9、n cos 2同一个角的正弦余弦的平方和等于 1，商等于该角的正切值1以上公式揭示了“同角”的三角函数的运算规律公式中 是任意的，只要是同一个角就有上述式子成立，如 sin22cos 221，tan 3 都是成立的sin 3cos 32两个公式常见变形（解题时可“知一求二”： ）sin2cos 21sin 21 cos2cos 21sin 2； tan sin tan cos sin cos 例 1已知 tan ，且 是第三象限角(1)求 sin ，cos 的值；(2)求 的值43 6sin 2cos 3sin 5cos 例 2(1)已知 sin cos ，求 sin cos 的值12(2)已
10、知 0，sin cos ，求 tan 的值15(3)已知 R，sin 2cos 求 tan 2102(4)已知 ，求 的值3tansi244cossin五三角函数的诱导公式诱导公式填空(1)公式一：sin(2k) ， cos(2k) ， tan(2k) kZ (2)公式二：sin() ， cos( ) ， tan() (3)公式三：sin() ， cos() ， tan() (4)公式四：sin() ， cos( ) ， tan() (5)公式五：sin( ) ， cos( ) ， tan( ) 2 2 2(6)公式六：sin( ) ， cos( ) ， tan( ) 2 2 2口诀记法：“奇
11、变偶不变，符号看象限”例已知 f() cos2 cos2 sin 32sin sin32 (1)化简 f()；(2) 若 是第三象限角，且 cos( ) ，求 f()的值32 151已知 sin( ) ，则 cos( )的值等于( )4 13 4A B C D223 233 13 132填正负号： ， ，)32sin(_)3sin(xx )32cos(_)cos(xxta_)3tan(x第 4 节 正余弦定理解三角形：一般地，三角形的三个角 A,B,C 和它们的三条对边 a，b，c 叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫作解三角形1正弦定理和余弦定理定理 正弦定理 余弦定理内容
12、 2R (R 为ABC 外接圆半径)asin A bsin B csin C a2b 2c 22bccosA；b2c 2a 22cacosB；c2a 2b 22abcos C变形形式a2RsinA，b2RsinB，c 2RsinC；sin A ，sin B ，sin C ；a2R b2R c2Rabcsin AsinBsinC；a b csin A sin B sin C asin Acos A ；b2 c2 a22bccos B ；c2 a2 b22cacos Ca2 b2 c22ab能解的三角形1已知两角及任一边2已知两边和其中一边对角（也可用余弦定理）1已知三边2已知两边和其夹角2三角形
13、面积公式设ABC 的三边分别为 a、b、c，所对的三个角分别为 A、B、C，其面积为 S(1)S ah(h 为 BC 边上的高) ；(2)S absin C bcsinA acsinB（一般根据角选公式）12 12 12 12重点考法：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式若转化为边边关系，一般通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；若转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状。此时要注意应用 ABC 这个结论，因此 sin(A+B)= ，cos(A+B)= .重要结论 1：在 ABC 中，若
14、 ，则三角形的形状为： cosaAbB结论 2：在 ABC 中求证： ； ； coscbCacosAb结论 3：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC 中，ABabsin Asin B【基础练习】1在ABC 中，A60，B75，a10，则 c 等于( ) A5 B10 C D52 21063 62在ABC 中，若 ，则 B 的值为( )sin Aa cos BbA30 B45 C60 D903(2011郑州联考)在ABC 中，a ，b1，c2，则 A 等于( )3A30 B45 C60 D754在ABC 中，a3 ，b 2 ，cos C ，则A
15、BC 的面积为 ( )2 313A3 B2 C4 D3 3 3 35已知ABC 三边满足 a2b 2c 2 ab，则此三角形的最大内角为_36在ABC 中，abc 分别是角 ABC 的对边，且 ；cos Bcos C b2a c(1)求角 B 的大小； (2)若 b ，ac4，求ABC 的面积137在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，设 S 为ABC 的面积，满足S (a2b 2c 2)(1) 求角 C 的大小；(2)求 sinAsin B 的最大值34第 5 节 数列数列的概念定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项a 1 称为数列a
16、n的第 1 项(或称为首项) ， a2 称为第 2 项，a n 称为第 n 项数列的表示：数列的一般形式可以写成 a1，a 2，a 3，a n简记为a n化解疑难1数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数” 也就是说构成数列的元素是“数” ，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置2项 an 与序号 n 是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次3a n与 an 是不同概念：a n表示数列 a1，a 2，a 3，a n，；而 an 表示数列a n中的第 n 项分类标准 名称 含义有穷数列 项数有限的数列按项的个数无穷数列 项数无限的
17、数列递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列按项的变化趋势 递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列 各项相等的数列摆动数列从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列的通项公式如果数列a n的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子 来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式。求通项公式即求第 n 项的表达式。数列的前 n 项和及与通项公式的关系(1)Sna 1a 2a n； (2)anError! （该式对任意数列都成立）等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差
18、数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示递推公式表示： 即为等差数Nndan,1列等差中项如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项这三个数满足的关系式是 反之，当 时，A 是 a 与 b 的等差中项等差数列的有关公式1通项公式：a na 1(n1)da m( nm)d 【累加法可得】2前 n 项和公式（解题时要注意把项数 n 数清楚！）已知条件 首项 a1，公差 d 首项 a1，末项 an选用公式 Snna 1 dnn 12Snna1 an2提示：在 d0 时，a n 是关于 n 的一次函数，一次项系数为 d；S n 是关于 n 的二次函数，二次
19、项系数为 ，d2且常数项为 0等差数列的性质1若 m，n，p，qN *，且 mnpq， an为等差数列，则 ama na pa q2等差数列a n的前 n 项之和可以写成 Sn n2 nAn 2Bn，当 d0 时它表示二次函数d2 ）（ 1且没有常数项 等比数列的有关概念如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零) ，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为 q (nN *，q 为an 1an非零常数) 等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G ， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的
20、等比中项，即 G2ab，由等比中项的定义可知，等比中项一定可以求出两个等比数列的有关公式及性质(1)通项公式：a na 1qn1 a mqnm (2)前 n 项和公式： Sn （ ）qan1)(1特别说明：等比数列的前 n 项和 Sn 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用 在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形导致解题失误，例如：若 a3 ，S 3 ，求 a1 和公比 q32 92重要性质：在等比数列a n中，若 mnpq2r( m，n ，p，q，rN *)，则 ，特2mnpqraa 别地，a 1ana 2a
21、n1 a 3an2 考法示例例 1(1)a n为等差数列，a 3a 4a 5a 6a 7450求 a2a 8 (2)设数列a n，b n都是等差数列若 a1b 17，a 3b 321，则 a5b 5 例 2已知a n为等差数列，S n 为其前 n 项和，若 a1 ， S2a 3，则 a2_；S n_12练习：已知数列a n为等差数列，按要求完成下面两题；(1)a1 ，a 15 ，S n5，求 n 和 d；56 32(2)a14，S 8172，求 a8 和 d例 3.已知数列a n的前 n 项和 Sn=2n2+n-1，求 an的通项公式例 4等比数列a n中，(1)a 42，a 78，求 an；
22、(2)a 2 a518，a 3a 69 求 Sn练习 1设等差数列a n的公差 d 不为 0，a 19d，若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，求 k 的值例 5等比数列a n满足：a 1a 611，a 3a4 ，且公比 q(0,1)；329(1)求数列a n的通项公式；(2)若该数列前 n 项和 Sn21，求 n 的值第 6 节 数列求和基本方法练习数列求和方法总结一公式法：如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差等比数列的前 n 项和公式，注意等比数列公比 q 的取值情况要分 q1 或 q1，另外一定要数清楚有多少项！二非等差、等比数列求和的常用方法1分组转化求和法：若
23、一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减分组转化法求和的常见类型：(1)若 anb ncn，且b n，c n为等差或等比数列，可采用分组求和法求a n的前 n 项和(2)通项公式为 anError! 的数列，其中数列 bn， cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和2错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2) 在写出
24、“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S nqS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和，一般以分式为主，注意到以下两点：(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项将通项裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等(2)常见的拆项公式有：若 an为等差数列，公差为 d，则 ( )；1anan 1 1d1an 1an 1 ； 1nn k 1k )(12n 12n 1 12 )(1n 1 n n 1 n1公式法与分组求和法例 1(1)数列c n：1 ，2 ，3 ，试求c n的前 n 项和；12 14 182错位相减法例 2已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n 2n，n N*，数列b n满足 an4log 2bn3，nN *(1)求 an，b n； (2)求数列 anbn的前 n 项和 Tn3裂项相消法例 3等差数列a n满足：a 37，a 5a 726，a n的前 n 项和为 Sn；(1)求 an 及 Sn； (2)令 bn (nN *)，求数列 bn的前 n 项和 Tn1a2n 1
