1、 高三数学综合模拟试卷 （一）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分。第卷 （选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1. 已知映射 BAf： ，其中 R，对应法则 ，： 22xyxf 若对实数 Bk，在集合 A 中不存在原象，则 k的取值范围是 （ ）A. 1 B. 1 C. 1 D. 1k2. 35x的展开式中 3x的系数为 （ ）A. 6 B. 6 C. 9 D. 93. 在等差数列 na中，若 48102aa，则 13a的值为 （ ） A. 14 B. 15 C.
2、16 D. 174. 已知3si()45x，则 si2x的值为 （ ） A. 1925B. 16C. 1425D. 7255. 设地球的半径为 R，若甲地位于北纬 东经 0，乙地位于南纬 东经 120，则甲、乙两地的球面距离为 （ ）A. 3 B. 6C. 6RD. 3R6. 若 cba、 是常数，则“ 0402caba且 ”是“对任意 x，有02cxba”的 （ ） A. 充分不必要条件. B. 必要不充分条件.C. 充要条件. D. 既不充分也不必要条件.7. 双曲线 2082y的左、右顶点分别为 1A、 2， P为其右支上一点，且1214AP，则 1等于 （ ）A. 无法确定 B. 36
3、C. 8D. 8. 已知直线 0byax（ ba,不全为 0）与圆 502yx有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有 （ ）A. 66 条 B. 72 条 C. 74 条 D. 78 条9. 从 8 名女生，4 名男生中选出 6 名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为 （ ）A. 284CB. 384CC. 612CD. 428A10. （理科做） 221()()ii（ ）A. i B. C. 1 D. 1（文科做）如图，函数 xfy的图象是中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆的两段弧，则不等式 xff)(的解集为 （ ）A.2,02| xx或B. 或
4、C. ,|或D. 0,2| xx且11. 用正偶数按下表排列第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列第一行 2 4 6 8第二行 16 14 12 10第三行 18 20 22 24 28 26则在第 行第 列.A. 第 251 行第 3 列 B. 第 250 行第 4 列C. 第 250 行第 3 列 D. 第 251 行第 4 列12. 半径为 4 的球面上有 A、B、C 、D 四点，且 AB，AC，AD 两两互相垂直，则 ABC、ACD、 面积之和 ABSS的最大值为 （ ）A. 8 B. 16 C. 32 D. 64第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4
5、 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡相应位置。13. （理科做）22lim_(1)nnC（文科做）命题“若 ba,都是偶数，则 ba是偶数”的否命题是_ 14. 函数 lg0xy的定义域是 .15. 定义一种运算“ ”对于正整数满足以下运算性质：（1） 261；（2） (2)063(2)06nn，则 2806的值是 16. 如果直线 kx与圆 4mykx相交于 NM、 两点，且点NM、关于直线 0yx对称，则不等式组01所表示的平面区域的面积为_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 12 分，第一、第二、
6、第三小问满分各 4 分）已知函数1()lgxf.（1）求 的定义域;（2）求该函数的反函数 1()f;（3）判断 1()fx的奇偶性.18. （本小题满分 12 分，第一、第二小问满分各 6 分）某港口水的深度 y（米）是时间t（ 04，单位：时）的函数，记作 y=f（t），下面是某日水深的数据：t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24y（米） 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数 sinyAtb的图象.（）试根据以上数据，求出函数 )(tfy的近似表达式；（）一般情况下，船舶航行
7、时，船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为 6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）. 19. （文科做本小题满分 12 分，第一、第二小问满分各 6 分）已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的. （1）第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；（2）第二小组进行试验，
8、到成功了 4 次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率. （理科做本小题满分 12 分第一、第二小问满分各 6 分）某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求 的分布及数学期望；（）记“函数 f（x ）x 23x1 在区间2， )上单调递增”为事件 A，求事件 A 的概率.（本小题满分 12 分，第一、第二小问满分各 6 分）如图，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 AA1B1B底面 ABC，侧棱 AA1
9、 与底面ABC 成 60的角， AA1= 2. 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，其重心为 G 点。E 是线段BC1 上一点，且 BE= 3BC1 . （1）求证： GE侧面 AA1B1B ；（2）求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小. 21. （本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二、第三小问满分各 5 分）设函数dcxbaxf 42)(3（a、b、c、dR ）图象关于原点对称，且 x=1 时， )(f取极小值.（1）求 a、b、c、d 的值；（2）当 1,x时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若 ,21时，求证： 34
10、|)(|21xff.22. （本小题满分 12 分，第一、第二小问满分各 6 分）过抛物线 2(ypx0)的对称轴上的定点 (,0)Mm，作直线 AB与抛物线相交于 ,AB两点. （1）试证明 AB两点的纵坐标之积为定值；（2）若点 N是定直线 :lx上的任一点，试探索三条直线 ,NM的斜率之间的关系，并给出证明.高三数学综合模拟试卷 （一）参考答案1. B提示：设 kx22，据题意知此方程应无实根04， 1021k ，故选 B2. B 提示： 3351xx6422x展开式中 3的系数为 故选 B3. C提示：设等差数列 na的公差为 d， 由等差数列的性质知： 8851204a9191991
11、2()2()63333ada，选 C. 4. D 提示：由已知得 (cosin)25x，两边平方得9(1sin2)5x，求得7sin25x. 或令 4x，则3in5，所以22si()coix5. D 提示：求两点间的球面距离，先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，A OB=1 A、B 两点间的球面距离为 312R=R. 选 D. 6. A提示：易知 0402caba且 0cxb对任意 x恒成立。反之， 2x对任意 x恒成立不能推出 042caba且反例为当 且 时也有 2对任意 恒成立“ 2c且 ”是“对任意 R，有 2x的充分不必要条件，选 A. 7. D 提示：设 ),(yxP， 0，过
12、点 P作 x轴的垂线 H，垂足为 ，则,tan1aHAayA2tn（ 其中 208）1t2x1P设 xA2 ， 则 HA525x1， 即 12P， 故选 D. 8. B提示：先考虑 0,y时，圆上横、纵坐标均为整数的点有 )7,1(、),(、 1,7，依圆的对称性知，圆上共有 43个点的横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有 621C条，过每一点的切线共有 12 条，又考虑到直线0byax不经过原点，而上述直线中经过原点的有 6 条，所以满足题意的直线共有7612条，故选 B.9. A提示：应从 8 名女生中选出 4 人，4 名男生中选出 2 人，有 428C种选法，故选 A. 10.（理
13、科做） D提示： 221ii111iii故选 D. （文科做）A提示：由图象知 )(xf为奇函数，故 )(xff原不等式可化为 2，此不等式的几何含义是 的图象在 2)(xg图象下方的对应的 x的取值集合，将椭圆142yx与直线 2y联立得 14，,2.观察图象知 ,0或 故选 A.11. D 提示： 每行用去 4 个偶数，而是第2=1003 个偶数又 10034=3250前 250 行共用去 2504=1000 个偶数，剩下的 3 个偶数放入 251 行，考虑到奇数行所排数从左到右由小到大，且前空一格， 在 251 行，第 4 列 故选 D.12. C提示：由 AB，AC，AD 两两互相垂直
14、，将之补成长方体知 AB2+AC2+AD2=（2R） 2=64. 111222ABDABSSCADAB22244ABCADB=223ACD. 等号当且仅当 取得，所以 ABSS的最大值为 32 ，选 C. 13. （理科做） 32提示： 22(1)3limli(1)nn nC（文科做） 若 ba,不都是偶数，则 ba不是偶数14. （lg2，）提示：由已知得 0x，即 01x，所以 2lgx.15. 103提示：设 (2)6na 则 1(2)6na且1na13， 即 3， 10308616. 4提示： NM、 两点，关于直线 0yx对称，1k，又圆心)2,(mk在直线 上021原不等式组变为0
15、yx作出不等式组表示的平面区域并计算得面积为 41.17. 解：（1）1,1.x由 得故函数的定义域是（ 1，1）（2）由lgxy，得0y（ R） ，所以0yx， 所求反函数为 1()fx（ R）. （3） x0x=1x= 1()f，所以 1()fx是奇函数. 18. 解：（）由已知数据，易知函数 y=f（t）的周期 T=12，振幅 A=3， b=1016 sinty（0t 24）（）由题意，该船进出港时，水深应不小于 5+6.5=11.5（米） 5 i3.t 6sn21解得，Z)(k 6526ktkZ)( tk在同一天内，取 k=0 或 11t5 或 13t17 该船最早能在凌晨 1 时进港
16、，下午 17 时出港，在港口内最多停留 16 个小时。19. （文科做）解：（1） 第一小组做了三次实验，至少两次实验成功的概率是 233 7()C2PA. （2） 第二小组在第 4 次成功前，共进行了 6 次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其各种可能的情况种数为 24A1. 因此所求的概率为312()79PB. （理科做）解：（I）分别记“客人游览甲景点 ”， “客人游览乙景点” ， “客人游览丙景点”为事件 A1，A 2，A 3. 由已知 A1，A 2，A 3 相互独立， P（A 1）=0.4 ，P（A 2）=0.5，P（A 3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为 0，
17、1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为 3，2，1，0，所以 的可能取值为 1，3. P（ =3）=P （A 1A2A3） + P（ 32）= P（ A1）P（A 2）P（A 3）+P )()(31AP=20.40.50.6=0.24，P（ =1） =10.24=0.76.所以 的分布列为E =10.76+30.24=1.48.（）解法一 因为,491)23()2xf所以函数,1)(2在 区 间xf上单调递增，要使 ,在f上单调递增，当且仅当.3,2即从而.760)()34()PAP解法二： 的可能取值为 1，3.当 =1 时，函数 ),2)(2在 区 间xf 上单调递增，当
18、=3 时，函数 9在 区 间 上不单调递增，所以 .760)(PA解：（1）延长 B1E 交 BC 于 F， B 1EC1FEB ， BE 21EC1BF 2B1C1 BC，从而 F 为 BC 的中点. G 为 ABC 的重心，A、G 、F 三点共线，且 FAG 1FBE 3， GEAB 1，又 GE侧面 AA1B1B， GE侧面 AA1B1B （2）在侧面 AA1B1B 内，过 B1 作 B1，垂足为， 侧面 AA1B1B底面ABC，B 1H底面 ABC. 又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60的角， AA1= 2，B 1BH60 ，BH ，B 1H 3. 在底面 ABC 内，过 H 作
19、HTAF，垂足为 T，连 B1T. 由三垂线定理有 B1TAF，又平面 B1GE 与底面 ABC 的交线为，B 1TH 为所求二面角的平面角. AHABBH3，HAT 30， HTAHsin30 23，在 Rt B1HT 中， tanB 1TH T 32，从而平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 arctan 3 21. 解（1）函数 )(xf图象关于原点对称，对任意实数 )()(xffx有 ，dcxbadcbax 424233 ，即 02db恒成立0,dff)(,)(，1x时， x取极小值 30,3a且，解得1,ca（2）当 ,时，图象上不存在这样的两点使结论成立. 假设图象
20、上存在两点 ),(1yA、 ),(2yxB，使得过此两点处的切线互相垂直，则由 )(2f知两点处的切线斜率分别为 ,1221xk，且 12x （ *）、 ,， 0)(,0, 221221 xx此与（*）相矛盾，故假设不成立. 证明（3） ,)(,)( ff 得令 ，或 )(;0,1fxx时时 ，,)(在f上是减函数，且 32)1(,321minmax fxff在1，1 上，,32|)(| 21f于 是时，4|)(|()| 12 xfxff. 22. （1）证明：设 2,),AyB有 12yp，下证之：设直线 B的方程为: tm与 联立得消去 x得 20yptm由韦达定理得 12，（2）解：三条直线 ,ANMB的斜率成等差数列，下证之：设点 (,)Nmn，则直线 AN的斜率为1ANynkxm;直线 B的斜率为2Bynkx122ANkp122()()pynyp1 1122212()(ynny122)(npypm又 直线 MN的斜率为0MNkmABk即直线 ,的斜率成等差数列.
