1、知识网络人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等。这类求最大值、最小值的问题是一类重要典型的问题，我们在实际生产和生活中经常遇到。在本书的学习中我们经常要用到以下几个重要结论：（1）两个数的和一定，那么当这两个数的差最小时，它们的积最大。（2）三个数 a、b、c ，如果 a+b+c 一定，只有当 a=b=c 时，abc 的积才能最大。（3）两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。（4）在所有周长相等的 n 边形中，以正 n 边形的面积最大。（5）在周长相等的封闭平面图形中，以圆的面积为最大。（6）在棱长的和一定的长方体中，以长、宽、高都相等的长方体，即
2、正方体的体积最大。（7）在所有表面积一定的几何体中，球体体积最大。重点难点本节所涉及的题型较多，但一般都要求根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。如何根据题意，灵活运用不同的方法来求出表达式，再求最值，或直接求最值是本讲的重点。这就要求我们不能太急于入手，不妨从一些比较简单的现象或数字开始，找出规律，进而解决问题。学法指导解决本节问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情形入手。（2）枚举比较。（3）分析推理。（4）构造。例 1不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为多少？思路剖析两个最小的不同的奇合数为 9 和 15，9+15=24，因此小于 24 的
3、偶数都不能写成两个不同的奇合数之和。下面我们只需要考虑大于 24 的偶数即可。15 后面的一个奇合数为21，9+21=30，所以比 24 大比 30 小的偶数也不能写成两个不同的奇合数之和。 32 也不能，34=9+25，36=9+27，38 不能，40=15+25，42=15=27 ，44=9+35，此时初步确定不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为 38。解答根据以上分析，我们初步确定所求的最大偶数为 38，下面我们给予证明。比 38 大的个位为 0 的数（40，50，60，），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：40=15+25，50=15+35，60=15+45 ，比 38 大的个位
4、为 2 的数（42，52，62，），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：42=27+15，52=27+25，62=27+35 ，比 38 大的个位为 4 的数（44，54，64，），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：44=9+35，54=9+45，64+9+55 ，比 38 大的个位为 6 的数（46，56，66，），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：46=21+25，56=21+35，66=21=45 ，比 38 大的个位为 8 的数（48，58，68，），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：48=33+15，58=33+25，68=33+35 ，这样就证明了比 38 大的任何一个偶数都
5、可写成两个不同的奇合数之和。所以 38 是不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数。例 2已知两个四位数的差是 8921（如图 1 所示），那么这两个四位数的和的最大值是多少？图 1思路剖析由数字可知减数的千位上不能为零，而其对应的差为 8，所以被减数与减数的千位数必定分别为 9 与 1。同样百位上的数分别是 9 与 0。要求两个四位数的和的最大值，在千位与百位已确定的情况下，十位，个位上的数字差一定，只需其和最大即可。解答据以上分析知，被减数与减数十位上的数字分别为 9 和 7，个位上的数字为 9 和 8，所以这两个数为 9999 与 1078。因为 9999+1078=11077所以，这两个
6、四位数的和的最大值是 11077。例 3用 20 米的长的篱笆围成一个长方形的鸡舍，若长方形一面靠墙，长和宽各为多少时，鸡舍面积最大，最大面积是多少？思路剖析我们知道，当一个长方形周长一定时，如长与宽相等则面积最大。因为此题由于靠墙部分没有篱笆，不能直接运用以上结论。通过观察，我们想到把这个长方形关于墙对称到墙的另一侧（如图 2 虚线所示），则这两个长方形就转化成了一个较大的长方形。问题也就转化成用 40 米长的篱笆围成一个长方形，当长方形的长和宽各为多少时，面积最大，最大值为多少？解答作出这个长方形关于墙对称到墙另一侧的部分，得到一个新的长方形，此时大长方形周长为 40 米，大长方形的长+宽
7、=20 米。我们知道当长方形周长一定时，长和宽相等时，面积最大。所以当大长方形长、宽均为 10 米时，大长方形面积最大。也就是说原长方形长为 10 米，宽为 5 米时，鸡舍面积最大，这个最大面积是 50 平方米。例 4有一路公共汽车，包括起点站和终点站共有 10 个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站坐到以后的每一站。为了使乘客都有座位，那么这辆公共汽车上至少要有多少个座？思路剖析根据题意，在起点有 9 个乘客上了车，第二站又上来 8 个乘客，下去一个乘客，我们列表写出具体情况：站次 1(起点) 2 3 4 5 6 7 8 9 10(终
8、点)上车人数 9 8 7 6 5 4 3 2 1 下车人数 1 2 3 4 5 6 7 8 9因此，这辆车至少应有的座位数应该按上车人数最少的情况来考虑，也就是说按表所列上车人数的情况下，应保证每位乘客均有座位。从表上看出，前五站上车人多下车人少，后五站上车人少下车人多，因此车上乘客最多时是在第五站乘客上下车后的人数。解答车上的乘客在第五站时最多，此时汽车上的乘客人数为（9+8+7+6+5）-（1+2+3+4）=35-10=25（个）因此，车上至少要有 25 个座位，才能保证每个乘客都有座位。例 5求同时满足 a+b+c=6，2a-b+c=3，且 bc0 的 a 的最大值及最小值。思路剖析本题
9、有三个未知量，给出了两个等式及一个不等式，而要求出 a 的最大值及最小值，因此要想办法将 b 及 c 用 a 的代数式表示出来，然后根据 bc0 来求出 a 的取值范围。解答由 a+b+c=6 可得 b+c=6-a (1)由 2a-b+c=3 可得 -b+c=3-2a (2)(1)+(2)可得 2c=9-3a 从而(1)-(2)可得 2b=3+a 从而由 bc 可得由 c0 可得 ，从右 a3由 可知，符合题意的 a 的最大值是 3，最小值是 。例 6把从 1 到 100 的自然数如图 3 排列。在这个数表里，把长的方向的三个数，宽的方向的两个数，一共六个数用长方形框围起来，六个数的和为 81
10、。在数表别的地方，如上述一样地围起来的六个数的和是 429，问此长方形中的最大的数是多少？思路剖析由于此数列有比较明显的规律，因此可以通过观察来求出最大值。同样，列方程求解也是比较常见的方法。解答解法一：我们用观察法求解。对数表中的数而言，同一行上的数，中间的一个数是它前后两个数的平均数；对同一列上的数，相邻的两个数的差是 7。因此，用长方形框围起来的六个数，上行前后两数之和是上行中间数的 2 倍，上行三个数的和是上行中间数的 3 倍；同样上行三个数的和是下行中间数的 3 倍。因此框中六个数的和是上、下行中间数和的 3倍，当这六个数和为 429 时，其中间上、下两数之和为 4293=143，又
11、因为下行中间数比上行中间数大 7，那么下行中间数是（143+7）2=75，所以框中最大的数是 75+1=76。解法二：设框中下行最大的数是 x，那么其他五个数分别是 x-9，x-8 ，x-7，x-2，x-1 ，从而（x-9）+ （x-8）+（x-7） +（x-2）+（x-1 ）+x=4296x-27=4296x=456x=76答：框中最大的数是 76。例 7在一条笔直的公路上，每隔 100 公里有一个仓库，共有五个。一号仓库有 10 吨存货，五号仓库有 40 吨存货，三号和四号仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里。如果每吨货物运输 1 公里要 1 元运输费，那么最少多少运输费？思
12、路剖析将所有货物集中存放在某一仓库的情形列出来，共有五种情况，通过枚举比较，确定要选择的仓库，再求出最少运输费，这是比较容易想到的办法。除此以外，也可以用“小往大处靠”原则求解，即如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半，那么，把货物往此处集中所花的运费最少。解答解法一：我们设依次计算以一、二、五号仓库为集中点所需要的运输费：1（20100+40400）=2000+16000=18000（元）1（10100+40300）=1000+12000=13000（元）1（10200+20100+40 200）=2000+2000+8000=12000（元）1（10300+20200+40 100）
13、=3000+4000+4000=11000（元）1（10400+20300）=4000+6000=10000（元）因此，把所有货物集中到五号仓库所需的运输费最少，为 10000 元。解法二：由于 ，所以可以用“小往大处靠”原则解题。所以五号仓库为最佳集中仓库，此时运费最少，为1（10400+20300）=4000+6000=10000（元）点津对于不同的题目要用不同的方法来解答，同时还要掌握一些技巧，对于例 4，用枚举法也是不错的方法，只要将在每个站时车上的人数列出来，同样可以求出人数的最大值。而对于例 6，则要仔细观察这六个数之间的紧密关系，如果看不出它们之间的关系，问题就无从下手。例 7
14、要注意“小往大处靠”原则成立的前提是“某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半”，失去这个前提条件，结论便不成立。例如将一、二、五号仓库的存货分别变为 30 吨、10 吨、30 吨，那么容易算出集中到二号仓库运输费最少。发散思维训练1已知 AB-1=C，其中 A、B 均为质数且小于 100，C 是奇数，那么 C 最大是_。2a、b、c、d 是互不相同的四个自然数，已知 abcd=2002，则 a+b+c+d 的最大值是_。3操场上画了两个圆，圆心重合，半径分别为 15 米和 20 米，甲、乙两人各站在同一个圆上，要使他们的距离最远，最远距离是_米。4一张圆桌有 12 个座位，已经有 n 个人按
15、某种方式就座。当某人就座时，发现无论他坐在哪个座们，都将与已经就座的人为邻，则 n 的最小值是_。5用卡片 排成三位数（允许卡片颠倒），则其中最大的数与最小的数之和为_。6一根长 72 厘米的铁丝围成一个长方体，问围成一个什么形体时，体积最大？最大体积是多少立方厘米？7用 3 个不同数字（不包括 0）组成六个不同的三位数，这六个三位数的和是 1776，则其中最小的那个三位数是多少？8用 1、2、3、4、5、6 六个数码组成两个三位数，这两个三位数相乘，最大的乘积是多少？最小的乘积又是多少？参考答案发散思维训练1解：C 是奇数，从而 AB=C+1 是偶数，因此 A 和 B 中必有一个偶质数 2，
16、要使 C 最大，另一个数应该是 100 以内最大的质数 97，从而 C=297-1=193。2解：首先将 2002 进行分解：2002=271113要使这四个数的和最大，一定要使其中三个数尽可能小，从而 2002=127143，因而其和的最大值为 1+2+7+143=153。3解：如答图 1 所示，线段 AB 过圆心。显然当两个人位于此线段两个端点时，双方距离最远，此时最远距离为 20+15=35（米）。由此图也可以看出当两个人位于 B、C 两点时，双方距离最远，为 20-15=5（米）。4解：若就座的 n 个人，每两个人间只空一个座位，显然是符合题意的，若空两个座位，也符合题意，但若空 3
17、个座位，则后来的人可以坐在这 3 个座位的中间那个。所以 n 至少为12（2+1）=4。5解：要将三张卡片组成最大的三位数，应该将大的数尽可能排在高位上，所以最大的数是861；同理，要将三张卡片组成最小的三位数则应该将小的数尽可能排在高位上，所以最小的数是 168。从而最大数与最小数的和为 861+168=1029。6解：由于长方体分别有四条高、长、宽，不妨设为 a、b、c，因此 ，因此，问题转化为已知 a+b+c=18，求 abc 的最大值。显然，当这三个数相等，即a=b=c =6 时，即围成一个立方体时，体积最大，此时体积为 666=216（立方厘米）。7解：设这三个数字为 a、b、c ，
18、那么由这三个数组成的六个不同的三位数分别是；这六个数的和是：若这六个数的和是 1776。则 a+b+c=1776222=8因为 8=1+2+5=1+3+4，因此其中最小的那个数是 125。8解：要使乘积最大，不仅百位上的数一定是 5 和 6，十位上的数一定是 3 和 4，个位上的数只能是 1 和 2，而且要使组成的三位数的差尽可能小。由于 631-542=89，632-541=91，因此最大的乘积是 631542=342002。同理，要使乘积最小，必须百位上为 1 和 2，十位上为 3 和 4，个位数上为 5 和 6，并且这两个数的差尽可能大，这两个数为 135 和 246，此时最小乘积为 33210。
