1、13.1.1 平均变化率学习目标：1.理解并会求具体函数的平均变化率(重点) 2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义(难点)自 主 预 习探 新 知平均变化率1定义：一般地，函数 f(x)在区间 x1， x2上的平均变化率为 .f x2 f x1x2 x12实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比3意义：刻画函数值在区间 x1， x2上变化的快慢基础自测1判断正误：(1)f(x) x2， f(x)在1,1上的平均变化率为 0.( )(2)f(x) x2在1,0上的平均变化率小于其在0,1上的平均变化率，所以 f(x)在1,0上不如在0,1上变化的快( )(3
2、)平均变化率不能反映函数值变化的快慢( )【解析】 (1). f(x)在1,1上的平均变化率为 0.f 1 f 11 1 1 12(2).f(x) x2在1,0和0,1上的变化快慢是相同的(3).平均变化率能反映函数值变化的快慢【答案】 (1) (2) (3)2 f(x) 在1,2上的平均变化率为_1x2【解析】 函数 f(x)在1,2上的平均变化率为 .14 12 1 34【答案】 34合 作 探 究攻 重 难变化率的概念及意义的应用2012 年冬至 2013 年春，我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部2门统计，该市小麦受旱面积如图 311 所示，据图回答： 【导学号：959021
3、74】图 311(1)2012 年 11 月到 2012 年 12 月期间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增加最快？(3)从 2012.11 到 2013.2 与从 2013.1 到 2013.2 间，小麦受旱面积平均变化率哪个大？思路探究 (1)(2)根据图形进行分析；(3)利用平均变化率公式进行具体分析【自主解答】 (1)由图形可知，在 2012 年 11 月2012 年 12 月期间，小麦受旱面积变化不大(2)由图形可知，在 2013.12013.2 间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增加最快(3)从 2012.112013.2，小麦受旱面积平均变化率为 ，从 2
4、013.12013.2，小yB yA4麦受旱面积平均变化率为 yB yC，显然 yB yC ，所以，从yB yC1 yB yA42013.12013.2 期间小麦受旱面积平均变化率大规律方法 1若已知函数的图象，可从函数的图象上大致分析函数的变化快慢2利用平均变化率的计算公式可以对函数的平均变化快慢进行具体精确的分析，在实际问题中，平均变化率具有更为具体的现实意义跟踪训练1巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图如图312，同样是登山，但是从 A 处到 B 处会感觉比较轻松，而从 B 处到
5、 C 处会感觉比较吃力想想看，为什么？你能用数学语言来量化 BC 段曲线的陡峭程度吗？图 3123【解】 山路从 A 到 B 高度的平均变化率为hAB ，10 050 0 15山路从 B 到 C 高度的平均变化率为 hBC ，15 1070 50 14 hBC hAB.山路从 B 到 C 比从 A 到 B 要陡峭的多.求函数的平均变化率已知函数 f(x) ，1x2(1)求 f(x)在 x0到 x0 x 之间的平均变化率( x00)；(2)求 f(x)在 2 到 2.1 之间的平均变化率. 【导学号：95902175】思路探究 (1)由于自变量出现在分母中，因此题目中给出了“ x00”的条件在一
6、些特殊条件下，如果题干中未给出这一条件，就需分类讨论因此，本例只需直接套用公式就可以了；(2)利用(1)的结论计算【自主解答】 (1) f(x)在 x0到 x0 x 之间的平均变化率为 .f x0 x f x0 x0 x x 1 x0 x 2 1x20 x x 2x0 x x0 x 2x20 x 2x0 x x0 x 2x20(2)把 x02， x2.120.1 代入(1)中得到的结论可得： 0.232.22 0.1 2 0.1 222规律方法 1求平均变化率的步骤：(1)先求 x2 x1，再计算 f(x2) f(x1)；(2)由定义得出 .f(x2) f(x1)x2 x1 f(x1 x) f
7、(x1) x2注意事项：计算时要对 f(x2) f(x1)进行合理的变形，以便化简跟踪训练2求函数 y x22 x1 在 x2 附近的平均变化率【解】 设自变量 x 在 x2 附近的变化量为 x，则平均变化率为4 x2. 2 x 2 2 2 x 1 22 4 1 x x 2 2 x x平均变化率的应用探究问题1平均变化率的定义式为 ，它刻画了函数 f(x)在区间 x1， x2内变f x2 f x1x2 x1化的快慢， 表示的是函数 f(x)在哪个区间上的平均变化率？f x0 x f x0 x2 x【提示】 x0 x， x0 x2平均变化率为 0，能否说明函数没有发生变化？【提示】 不能说明理由
8、：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量 x 取值越小，越能准确地体现函数的变化情况在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化如函数 f(x) x2在2,2上的平均变化率为 0，但f(x)的图象在2,2上先减后增3平均变化率的几何意义是什么？平均变化率的物理意义是什么？【提示】 平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线 AB 的斜率平均变化率的物理意义是变速运动的物体 s s(t)在某一时间段内的平均速度为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲从 25 m/s到 0 m/s 花了 5 s，乙从 18 m/s 到 0 m/s 花了 4 s，试
9、比较两辆车的刹车性能思路探究 计算两车的平均变化率，从而确定刹车性能【自主解答】 甲车速度的平均变化率为 5(m/s 2)，乙车速度的平均变化率0 255为 4.5(m/s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变0 184化相对较快，所以甲车的刹车性能较好规律方法 平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.,平均变化率为正值，表示函数值在增加；平均变化率为负值，表示函数值在减少.跟踪训练3人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单
10、位：s)存在函数关系 h(t)4.9 t26.5 t10.(1)求运动员在第一个 0.5 s 内高度 h 的平均变化率；(2)求高度 h 在 1 t2 这段时间内的平均变化率. 【导学号：95902176】【解】 (1)运动员在第一个 0.5 s 内高度 h 的平均变化率为：54.05(m/s)；h 0.5 h 00.5 0(2)在 1 t2 这段时间内，高度 h 的平均变化率为 8.2(m/s)h 2 h 12 1构建体系当 堂 达 标固 双 基1函数 y x2 ax b，当自变量由 0 变化到 1 时，函数值的变化量为_【解析】 函数值的变化量为 f(01) f(0)(01) 2 a(01
11、) b0 2 a0 b1 a.【答案】 1 a2在曲线 y x21 的图象上取一点(1,2)及相邻的一点(1.1,2.21)，则该曲线在1,1.1上的平均变化率为_. 【导学号：95902177】【解析】 2.12.21 21.1 1 0.210.1【答案】 2.13如果质点 M 按规律 s3 t2运动，则在一小段时间2,2.1中相应的平均速度是_(m/s)【解析】 4.1(m/s)v 3 2.12 3 220.1【答案】 4.14函数 ysin x 在 上的平均变化率是_ 2， 【解析】 函数在 上的平均变化率是 . 2， sin sin 2 2 12 2【答案】 25物体的运动方程是 s (s 的单位：m； t 的单位：s)，求物体在 t1 s 到t 1t(1 t)s 这段时间内的平均速度. 【导学号：95902178】【解】 物体在这段时间内的平均速度为6 1 t 1 1 1 1 t 1 ， 2 t 2 2 t 2 t 2 t 2 12 t 2故物体在 t1 s 到 t(1 t)s 这段时间内的平均速度为 m/s.12 t 2
