1、13.1.2 瞬时变化率导数学习目标：1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义(重点) 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)(难点)自 主 预 习探 新 知1曲线上一点处的切线设曲线 C 上的一点 P， Q 是曲线 C 上的另一点，则直线 PQ 称为曲线 C 的割线；随着点Q 沿曲线 C 向点 P 运动，割线 PQ 在点 P 附近越来越逼近曲线 C.当点 Q 无限逼近点 P 时，直线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l，这条直线 l 称为曲线在点 P 处的切线2瞬时速度运动物体的位移 S(t)对于时间 t 的导数，即 v(t) S( t)3瞬时加速度运动物体的速度 v(t
2、)对于时间 t 的导数，即 a(t) v( t)4导数设函数 y f(x)在区间( a， b)上有定义， x0( a， b)，当 x 无限趋近于 0 时，比值 无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在点 x x0处可导，并称 y x f x0 x f x0 x常数 A 为函数 f(x)在点 x x0处的导数，记作 f( x0)5导函数若函数 y f(x)对于区间( a， b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随自变量 x的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 f( x)6函数 y f(x)在点 x x0处的导数 f( x0)的几何意义是曲线 y f
3、(x)在点( x0， f(x0)处的切线的斜率基础自测1判断正误：(1)函数 y f(x)在 x x0处的导数值与 x 值的正、负无关( )(2)在导数的定义中， x， y 都不可能为零( )(3)在导数的定义中， 0.( ) y x【解析】 (1). x 是自变量的增量，可正可负，函数 f(x)在 x x0处的导数与它的正负无关(2). y 可以为 0，如常数函数(3). 也可能是负数或 0. y x【答案】 (1) (2) (3)2函数 f(x) x2在点(1,1)处切线的斜率是_2【解析】 k 2 x，当 x0 时， k2，故所求的切线的斜率 1 x 2 1 x是 2.【答案】 23一辆
4、汽车运动的速度为 v(t) t22，则汽车在 t3 秒时加速度为_【解析】 6 t，a v t 3 t 2 2 9 2 t当 t0 时， 6，故汽车的加速度为 6.a【答案】 6合 作 探 究攻 重 难求瞬时速度与瞬时加速度(1)一辆汽车按规律 s2 t23 做直线运动，求这辆车在 t2 时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)(2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在 t s 时的速度为 v(t) t21，求汽车在 t1 s 时的加速度. 【导学号：95902184】思路探究 (1) 设 时 间 变 化 量 t 求 位 移 增 量 s 求 平 均 速 度 s t 令 t 0.结 论(2)
5、 设 时 间 变 化 量 t 求 速 度 增 量 v 求 平 均 加 速 度 v t 令 t 0 结 论【自主解答】 (1)设这辆车在 t2 附近的时间变化量为 t，则位移的增量 s2(2 t)23(22 23)8 t2( t)2， 82 t， s t当 t0 时， 8，所以这辆车在 t2 时的瞬时速度为 8 m/s. s t(2)设这辆车在 t1 附近的时间变化量为 t，则速度的增量 v(1 t)21(1 21)( t)22 t， t2，当 v t t0 时， 2， v t所以汽车在 t1 s 时的加速度为 2.规律方法 (1)求瞬时速度的步骤：求位移增量 s S(t0 t ) S(t0)；
6、3求平均速率 ；v s t求瞬时速度：当 t 趋近于 0 时， 趋近于 v. s t(2)求瞬时加速度的步骤：求平均加速度 ； v t令 t0，求瞬时加速度.跟踪训练1若一物体的运动方程为 S7 t28，则其在 t_时的瞬时速度为 1.【解析】 因为 7 t 14 t0， s t 7 t0 t 2 8 7t20 8 t所以当 t 0 时， 趋近于 14t0，即 14t01， t0 . s t 114【答案】 114求函数在某一点处的导数求函数 y x 在 x1 处的导数. 1x【导学号：95902185】思路探究 方法一：先求 y，再求出 ，令 x0，可求 f(1)，先求出 f( x)， y
7、x再求出 f( x)在 x1 处的值方法二：先求出 ，当 x 无限趋于 0 时，即可求出 f( x)在 x1 处的值 y x【自主解答】 方法一： y(1 x) x1 11 x (1 11) 11 x ， ，当 x0 时， 0， f(1) x 1 x 1 11 x x 21 x y x x1 x y x0.方法二： y x f x x f x xx x 1x x (x 1x) x1 ，1 x x x4当 x 无限趋于 0 时，1 无限趋近于 1 ，1 x x x 1x2即 f( x)1 ，故 f(1)0.1x2函数 y x 在 x1 处的导数为 1 0.1x 112规律方法 由导数的定义知，求
8、一个函数 y f(x)在 x x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的改变量 y f(x0 x) f(x0)；(2)求平均变化率 ； y x f(x0 x) f(x0) x(3)求当 x0 时， 的值，即 f( x0). y x跟踪训练2根据导数的定义求下列函数的导数：(1)求 y x2在 x1 处的导数；(2)求 y x2 5 在点 P 处的导数1x (2， 192)【解】 (1) y(1 x)21 22 x( x)2， 2 x， y x 2 x x 2 x当 x 无限趋近于 0 时， 2 x 无限趋近于 2，所以 f(1)2. y x(2) y(2 x)2 5 4 x( x)2 ，12 x
9、 (22 12 5) x2 2 x 4 x ， y x 14 2 x当 x0 时， 4 ，故 f(2) . y x 14 154 154导数的几何意义及应用探究问题1平均变化率 的几何意义是什么？f x0 x f x0 x【提示】 平均变化率 的几何意义是过点 P(x0， f(x0)和f x0 x f x0 xQ(x0 x， f(x0 x)割线的斜率2在探究 1 中，若让 x0，割线 PQ 是如何变化的？【提示】 当点 Q 沿着曲线无限接近点 P，即 x0 时，割线 PQ 有一个极限位置5PT，我们把直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线3根据探究 2 的答案，导数的几何意义是什么？【提示】
10、函数 y f(x)在 x x0处的导数的几何意义是曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线斜率 k f ( x0)4我们在初中学过圆的切线，圆是一种特殊曲线，圆的切线与圆只有一个公共点，其他曲线和它的切线也只有一个公共点吗？【提示】 曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个求双曲线 y 过点 的切线方程. 1x (2， 12)【导学号：95902186】思路探究 由导数的几何意义先求出斜率，再求方程. 【自主解答】 ， y x f 2 x f 2 x 12 x 12 x 12 2 x当 x0 时， ，即 k f(2) . y x 14 14所以由直线
11、方程的点斜式知切线方程为：y (x2)，即 y x1.12 14 14规律方法 1求曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线方程即点 P 的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点 P 处的切线斜率为 f( x0)，则点 P 处的切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0)；如果曲线 y f(x)在点 P 处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为 x x0.2若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义列关于切点横坐标的方程，最后求出切点坐标或切线的方程，这种情况下求出的切线方程往往不止一条跟踪训练3已知直线 y3 x a 和曲线 y x3
12、相切，求实数 a 的值【解】 设切点为 M(x0， y0)，则 3 x 3 x0( x)( x)2， y x x0 x 3 x30 x 20当 x 无限趋近于 0 时，3 x 3 x0( x)( x)2无限趋近于 3x .20 20由题意得，3 x 3，解得 x01 或 x01.20所以切点坐标为(1,1)或(1，1)将点(1,1)代入直线 y3 x a，可得 a2；将点(1，1)代入直线 y3 x a，可得 a2.6综上可知， a2 或 a2.构建体系当 堂 达 标固 双 基1设函数 f(x)在点 x0附近有定义，且有 f(x0 x) f(x0) a x b( x)2 (a， b为常数)，则
13、 f( x0)_.【解析】 a b x，当 x0 时，f x0 x f x0 x a x b x 2 x a， f( x0) a.f x0 x f x0 x【答案】 a2已知曲线 y x3 ，则以点 P(2,4)为切点的切线方程是_. 13 43【导学号：95902187】【解析】 x2 ( x2) xx， y x 13 x x 3 x3 x 13当 x0 时， x2，所以 f( x) x2， k f(2)4， y x切线方程为 y44( x2)，即 y4 x4.【答案】 y4 x43设函数 f(x) ax32，若 f(1)3，则 a_.【解析】 3 a3 a x a( x)2 y x f 1
14、 x f 1 x a 1 x 3 2 a 1 3 2 x当 x0 时， 3 a，所以 f(1)3 a3，即 a1. y x【答案】 174.如图 313 所示，函数 y f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y x5，则 f(3) f(3)_.图 313【解析】 由导数的几何意义知 f(3)1，又 f(3)352， f(3) f(3)2(1)3.【答案】 35以初速度 v0 (v00)做竖直上抛运动的物体， t 时刻的高度为 s(t) v0t gt2，12求物体在时刻 t0时的瞬时速度. 【导学号：95902188】【解】 s v0(t0 t) g(t0 t)2 v0t0 gt ( v0 gt0) t g( t)2，12 12 20 12 v0 gt0 g t，当 t0 时， v0 gt0， s t 12 s t物体在时刻 t0时的瞬时速度为 v0 gt0.
