1、- 1 -黑龙江省哈尔滨市第三中学校 2018 届高三一模考试数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 ，集合故选 C.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 内单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于 ， 是偶函数，在区间 单调递增，故排除；对于 ， 是偶函数，在区间 单调递减，故正确；对于 ， 是非奇非偶函数，在区间 单调递增，故排除；对于 ， 是非奇非偶函数，在区间 单调递减，故排
2、除.故选 B.3. 设 是等差数列 的前 项和，若 , ，那么 等于（ ）A. 4 B. 5 C. 9 D. 18【答案】B【解析】等差数列中 ，所以 ，从而 ， ，所以，故选 B. 4. 已知 ， ，则 （ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】D- 2 -【解析】 ，故选 D5. 过原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】D【解析】 ，即 。依题意可得，直线方程为 ，则圆心 到直线 的距离 ，所以直线被圆所截得的弦长为，故选 D.6. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出 的是（ ）A. ， ， B. ， ，C.
3、 ， ， D. ， ，【答案】B【解析】由 ， ， 可推出与 平行、相交或异面，由 可推出 .故选 B7. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意有 ，代入直线得 ，所以 ，故选 .8. 设 是数列 的前 项和，若 ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C- 3 -【解析】当 时， ，解得 .当 时， ， ，则 ，即 .数列 是首项为 ，公比为 的等比数列故选 C.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 4 B. 2 C. D. 【答案】
4、D【解析】由三视图的俯视图可知，三棱锥的底面为等腰直角三角形，故体积为.故选 .10. 千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：- 4 -根据上表可得回归方程 中的 为 1.35，我校 2018 届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为 63 人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（ ）A. 111 B. 117 C. 118 D. 123【答案】B【解析】因为 ，所以 ，所以回归直线方程为，当 时代入，解得 ，故选 B. 11. 已知 、 为双
5、曲线 ： 的左、右焦点，点 为双曲线 右支上一点，直线 与圆 相切，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】设 与圆相切于点 ，则因为 ，所以 为等腰三角形，设 的中点为 ，由 为 的中点，所以 ，又因为在直角 中，所以 又 ， 故由得， ，故本题选 C点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到 ，由双曲线定义有 ，列方程即可求离心率的值12. 设函数 ，若 是函数 是极大值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. - 5 -【答案】A【解析】 ，若因为 是函数 是极大值点，所以即 ，所以 若 时
6、，因为 ，所以当 时， ，当 时 ，所以 是函数是极大值点，符合题意；当 时，若 是函数 是极大值点，则需 ，即，综上 ，故选 A. 二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知正方形 边长为 2， 是 的中点，则 _.【答案】2【解析】根据题意 .故正确答案为 .14. 若实数 满足 ，则 的最大值为_.【答案】5【解析】作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的 及其内部：其中 ， ， ，设 ，将直线 进行平移，当经过点 时，目标函数达到最大值，此时 .故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画
7、、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；- 6 -（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 直线与抛物线 相交于不同两点 ，若 是 中点，则直线的斜率_.【答案】【解析】设 ，直线与抛物线 相交于不同两点 ， ，则两式相减得 是 中点故答案为 .16. 已知锐角 的三个内角的余弦值分别等于钝角 的三个内角的正弦值，其中，若 ，则 的最大值为_.【答案】【解析】由于 ，且 为钝角，故 ，由正弦定理得，故 .三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写
8、出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知函数 .（1）当 时，求 的值域；- 7 -（2）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ，求 的面积.【答案】 （1） ；（ 2） .【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合 ，即可求得的值域；（2）由 求得 的值，利用余弦定理求得 的值，可得 的面积.试题解析：（1）由题意知，由 .（2） ，由余弦定理可得18. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育锻炼时间在 的学生评价为“课外体育达标 ”.（
9、1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的 列联表；- 8 -课外体育不达标 课外体育达标 合计男女 20 110合计（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式： ，其中0.025 0.15 0.10 0.005 0.025 0.010 0.005 0.0015.024 2.072 6.635 7.879 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给数据，可得列联表；（2）根据关联表，代入公式计算 ，与临界值比较即可得出结论.试题解析：(1) (2) 所以在犯错
10、误的概率不超过 的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.19. 如图，直三棱柱 中， 且 ， 是棱 上的动点，是 的中点.- 9 -（1）当 是 中点时，求证： 平面 ；（2）在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角为 ，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】 【试题分析】 （1）取 中点 ，连结 ，利用三角形中位线证得四边形 为平行四边形，由此证得线面平行.（2）假设存在这样的点 ，以 点为原点建立空间直角坐标系，利用平面 和平面 的法向量，结合它们所成锐二面角的余弦值，可求得这个点的坐标.【试题解析】（1）取 中点 ，连结 ，则 且
11、 .因为当 为 中点时， 且 ，所以 且 .所以四边形 为平行四边形， ，又因为 ， ，所以 平面 ；（2）假设存在满足条件的点 ，设 .以 为原点，向量 方向为 轴、 轴、轴正方向，建立空间直角坐标系.则 ， ， ，平面 的法向量 ，- 10 -平面 的法向量 ， ，解得 ，所以存在满足条件的点 ，此时 .20. 已知 是椭圆 的右焦点，过 的直线与椭圆相交于 ， 两点.（1）若 ，求 的长；（2） 为坐标原点， ，满足 ，求直线的方程.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由题意可知过 的直线斜率存在，设直线的方程为 ，联立直线与椭圆的方程，得关于 的一元二次方程，由 及韦
12、达定理可得 的值，从而求出弦长；（2）由 可得 ，即 ，设直线的方程为 ，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理即可求出 的值，从而求出直线的方程.试题解析：(1)由题意可知过 的直线斜率存在，设直线的方程为联立 ，得 ，则(2) ，即- 11 -设直线的方程为 ，联立 ，得 ， ，即 或直线的方程为点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要
13、忽视判别式的作用21. 已知函数 .（1）当 时，求 的最小值；（2）若 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 （1） ；（2） .【解析】 【试题分析】 （1）当 时，利用导数可求得函数在 上递减，在 上递增，故最小值为 .（2）根据函数的定义域为非负数，得到 ，由于导函数是否有零点由的正负还确定，故将分成 三种情况，讨论函数的单调区间和最小值，由此求得实数的取值范围. 【试题解析】（1）当 时 , .（2） 时, 不成立- 12 - 时, , 在 递增, 成立 时, 在 递减, 递增设 ,所以 在 递减,又所以 综上: .【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性，考查利用导数和不等式恒成立来
14、求参数的取值范围.由于函数的导数是个分式的形式，故要将导函数进行通分，通分之后由于分母为正数，故只需要考虑分子的正负，结合一元二次函数的图象与性质，将分类讨论后利用最小值可求得的范围.请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 的方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 的方程为 （为参数）.（1）求曲线 的参数方程和曲线 的普通方程； （2）求曲线 上的点到曲线 的距离的最大值.【答案】 （1）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的普通方程为；（2） .- 13 -【解析】
15、试题分析：（1）由题意利用转化公式可得曲线 的参数方程和曲线 的普通方程；（2）将原问题转化为三角函数问题可得曲线 上的点到曲线 的距离的最大值.试题解析：（1）由 ，得 ，则 ，即曲线 的参数方程为 （ 为参数）由 （为参数）消去参数，整理得曲线 的普通方程为 .（2）设曲线 上任意一点 ，点 到 的距离 曲线 上的点到曲线 的距离的最大值为23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）当 时，函数 的最小值为， （ ） ，求 的最小值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）当 时，不等式 等价于 ，两边平方即可求得解集；（2）对 分类讨论，去掉绝对值符号得函数 的解析式，可得函数 的最小值为，再结合基本不等式即可求出 的最小值.试题解析：（1）当 时，不等式为两边平方得 ，解得 或 的解集为（2）当 时， ，可得 ，- 14 - ，当且仅当 ，即 ， 时取等号.
