1、黑龙江省哈尔滨三中 2015 届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1集合 P=x| 0，Q=x|y= ，则 PQ=( )A （1，2 B1，2 C （ ，3） （1，+） D1 ，2）2等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S3=6，a 1=4，则公差 d 等于( )A1 B C 2 D33在ABC 中， ，AC=1，B=30，ABC 的面积为 ，则 C=( )A30 B45 C60 D754下列函数在（0，+）上为减函数的是( )Ay= |x1| By=e x Cy=ln（x+1
2、） Dy=x（x+2）5方程 log2x+x=2 的解所在的区间为 ( )A （0.5，1） B （1 ，1.5） C （1.5，2） D （2，2.5）6将函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象向左平移 个单位，所得到的函数图象关于 y 轴对称，则 的一个可能取值为 ( )A B C0 D7给出下列关于互不相同的直线 m、l 、n 和平面 、 的四个命题：若 m，l=A ，点 Am，则 l 与 m 不共面；若 m、l 是异面直线，l，m ，且 nl，nm ，则 n；若 l，m ， ，则 lm；若 l，m，lm=A ， l，m ，则 ，其中为真命题的是( )A B C D8变量 x、y 满足
3、条件 ，则（x2） 2+y2 的最小值为( )A B C D59如图，AOB 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边 AB 的高，P 为线段 OC 的中点，则 =( )A1 B C D10如图，四棱锥 PABCD 中，ABC= BAD=90，BC=2AD，PAB 和 PAD 都是等边三角形，则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为( )A90 B75 C60 D4511已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 =3 ，则|QF|=( )A B C3 D212设函数 f（x）在 R 上存在导数 f（x） ，x R，有
4、 f（ x）+f（x）=x 2，在（0，+）上f（x）x，若 f（4 m）f（m ）84m则实数 m 的取值范围为( )A2，2 B2，+） C0，+ ） D （，22，+）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上 ）13正项等比数列a n中，a 2=4，a 4=16，则数列a n的前 9 项和等于_14某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为_15已知 F1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 F1PF2= ，椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率 e2，则 =_16定义：如果函数 y=f（x）在定义域内给定区间a，b
5、上存在 x0（ax 0b） ，满足，则称函数 y=f（x）是a，b上的“ 平均值函数”，x 0 是它的一个均值点如 y=x2 是 1，1 上的平均值函数，0 就是它的均值点现有函数 f（x）=x3+mx 是区间1，1上的平均值函数，则实数 m 的取值范围是_三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17设ABC 是锐角三角形，三个内角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c ，并且（sinAsinB） （sinA+sinB）=sin（ B）sin （ +B） （）求角 A 的值；（）若 =12，a=2 ，求 b，c（其中 bc ） 18已知数列a
6、 n满足（a n+11） （a n1）=3（a nan+1） ，a 1=2，令 （）证明：数列b n是等差数列；（）求数列a n的通项公式19ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4 ， ACB=90，D、E 分别是边 AC 和 AB 的中点，现将ADE 沿 DE 折起，使面 ADE面 DEBC，H、F 分别是边 AD 和 BE 的中点，平面BCH 与 AE、AF 分别交于 I、G 两点（）求证：IH BC；（）求二面角 AGIC 的余弦值；（）求 AG 的长20如图，抛物线 C1：y 2=2px 与椭圆 C2： + =1 在第一象限的交点为 B，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB 的
7、面积为 （）求抛物线 C1 的方程；（）过 A 点作直线 l 交 C1 于 C、D 两点，射线 OC、OD 分别交 C2 于 E、F 两点，记OEF 和OCD 的面积分别为 S1 和 S2，问是否存在直线 l，使得 S1：S 2=3：77？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由21设函数 f（x）=a（x+1 ） 2ln（x+1）+bx（x1） ，曲线 y=f（x）过点（e 1，e 2e+1） ，且在点（0，0）处的切线方程为 y=0（）求 a，b 的值；（）证明：当 x0 时，f（x）x 2；（）若当 x0 时，f（x）mx 2 恒成立，求实数 m 的取值范围请考生在第 22、2
8、3、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 【选修4-1：几何证明选讲】22如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，延长 BA 和 CD 相交于点 P， = ，= （）求 的值；（）若 BD 为 O 的直径，且 PA=1，求 BC 的长【选修 4-4：坐标系与参数方程 】23已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 是参数） ，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线 C 的极坐标方程（）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系；（）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围【选修 4-5：不等式选讲】24已知函数 f（x）=|
9、2x+1| |x|2（）解不等式 f（x）0（）若存在实数 x，使得 f（x）|x|+a，求实数 a 的取值范围黑龙江省哈尔滨三中 2015 届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1集合 P=x| 0，Q=x|y= ，则 PQ=( )A （1，2 B1，2 C （ ，3）（1，+） D1，2）考点：其他不等式的解法；交集及其运算 专题：不等式的解法及应用；集合分析：利用不等式的解法求出集合 P，函数的定义域求出集合 Q，然后求解交集即可解答： 解：集合 P=x| 0=x|x1 或 x3，Q
10、=x|y= =x|2x2，PQ=x|1x2=（1，2故选：A点评：本题考查集合的交集的求法，分式不等式的解法，考查计算能力2等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S3=6，a 1=4，则公差 d 等于( )A1 B C 2 D3考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：由题意可得 S3=6= （a 1+a3） ，且 a3=a1+2d，a 1=4，解方程求得公差 d 的值解答： 解：S 3=6= （a 1+a3） ，且 a3=a1+2d，a 1=4，d=2，故选 C点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前 n 项和公式的应用，属于基础题3在ABC 中， ，AC=1，B=30，ABC 的
11、面积为 ，则 C=( )A30 B45 C60 D75考点：三角形的面积公式 专题：解三角形分析：利用正弦定理，求出 C，从而可求 A，利用ABC 的面积确定 C 的大小，即可得出结论解答： 解：ABC 中，B=30，AC=1，AB= ，由正弦定理可得：= ，sinC= ，C=60或 120，C=60时，A=90；C=120时 A=30，当 A=90时，ABC 的面积为 ABACsinA= ，当 A=30时，ABC 的面积为 ABACsinA= ，不满足题意，则 C=60故选：C点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题4下列函数在（0，+）上为减函数的
12、是( )Ay= |x1| By=e x Cy=ln （x+1 ） Dy=x（x+2）考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：根据函数解析式判断各自函数的单调区间，即可判断答案解答： 解：y= |x1|=（ 0， +）不是减函数，故 A 不正确y=ex，在（，+ ）上为增函数，故 B 不正确y=ln（x+1）在（1，+ ）上为增函数，故 C 不正确y=x（x+2 ）在（1，+ ）上为减函数，所以在（0，+）上为减函数故 D 正确故选：D点评：本题考查了简单函数的单调性，单调区间的求解，掌握好常见函数的解析式即可，属于容易题5方程 log2x+x=2 的解所在的区间为 ( )A
13、（0.5，1） B （1， 1.5） C （1.5，2） D （2，2.5）考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：判断 f（x）=log 2x+x2，在（0，+）上单调递增根据函数的零点存在性定理得出：f（1） f（1.5）0，可得出 f（x）的零点在（1，1.5）区间 内，即可得出答案解答： 解：设 f（x）=log 2x+x2，在（0，+）上单调递增f（ 1）=0+12=10，f（1.5）=log 21.50.5=log21.5log2 0根据函数的零点存在性定理得出：f （x）的零点在（1，1.5）区间 内方程 log2x+x=2 的解所在的区间为（ 1，1.5）故选：B
14、点评：本题考查了函数的单调性，函数零点的判断，方程解所在的区间，属于中档题，但是难度不大，常规题目6将函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象向左平移 个单位，所得到的函数图象关于 y 轴对称，则 的一个可能取值为 ( )A B C0 D考点：函数 y=Asin（x+ ）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用 y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得 的一个可能取值解答： 解：将函数 f（x）=sin（2x+）的图象向左平移 个单位，可得到的函数 y=sin2（x+ ）+ ） =sin（2x+ +）的图象，再根据所得图象关于 y 轴对称，可得 +=k+
15、，即 =k+ ，kz，则 的一个可能取值为 ，故选：B点评：本题主要考查 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题7给出下列关于互不相同的直线 m、l 、n 和平面 、 的四个命题：若 m，l=A ，点 Am，则 l 与 m 不共面；若 m、l 是异面直线，l，m ，且 nl，nm ，则 n；若 l，m ， ，则 lm；若 l，m，lm=A ， l，m ，则 ，其中为真命题的是( )A B C D考点：命题的真假判断与应用 专题：空间位置关系与距离；简易逻辑分析：利用异面直线的定义即可判断出正误；利用线面垂直的判定定理即可判断出正误；由已知可得 l 与
16、m 不一定平行，即可判断出正误；利用面面平行的判定定理可得： ，即可判断出正误解答： 解：若 m，l=A，点 Am，则 l 与 m 不共面，正确；若 m、l 是异面直线，l，m ，且 nl，nm ，利用线面垂直的判定定理 即可判断出：n 正确；若 l， ， ，则 l 与 m 不一定平行，不正确；若 l，m，lm=A ， l，m ，利用面面平行的判定定理可得： ，正确其中为真命题的是故选：C点评：本题考查了线面平行与垂直的判定定理、异面直线的定义，考查了推理能力，属于中档题8变量 x、y 满足条件 ，则（x2） 2+y2 的最小值为( )A B C D5考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题；
17、不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域， （x2） 2+y2 可看成阴影内的点到点 A（2，0）的距离的平方，求阴影内的点到点 A（2 ，0）的距离的范围可得解答： 解：由题意作出其平面区域，（x2） 2+y2 可看成阴影内的点到点 A（2，0）的距离的平方，由图象知点 B（0，1）到点 A 的距离最短，故（x2 ） 2+y2 的最小值为（02） 2+12=5；故选：D点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题9如图，AOB 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边 AB 的高，P 为线段 OC 的中点，则 =( )A1 B C D考点：平面向
18、量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由题意可得 OC= ，OP= ，AOP=45，运用向量的三角形法则和向量的数量积的定义，计算即可得到所求值解答： 解：由题意可得 AB= ，OC= ，OP= ，AOP=45，则 =（ ）= =（ ） 21= 故选：B点评：本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，属于基础题10如图，四棱锥 PABCD 中，ABC= BAD=90，BC=2AD，PAB 和 PAD 都是等边三角形，则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为( )A90 B75 C60 D45考点：异面直线及其所成的角 专题：空间角分析：设 AD=
19、1，则 BC=2，过 A 作 AECD，则 AD=CE，过 E 作 EFPB，则 AEF 为所求，利用四边形 AEFG 是等腰梯形，求其余弦值解答： 解：设 AD=1，则 BC=2，过 A 作 AECD，则 AD=CE，过 E 作 EFPB，则 AEF为所求，如图过 F 作 FGCD，连接 AG，则四边形 AEFG 是梯形，其中FGAE，EF= PB= ，AG= ，AEFG，过 G 作 GHEF，则 GHA=AEF，在GHA 中，GH=EF= ，AH=AEFG= = ，AG= ，AG2=GH2=AH2，所以AEF=90，故选 A点评：本题考查了异面直线所成的角；首先要将空间角转化为平面角，然后
20、通过解三角形求之11已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 =3 ，则|QF|=( )A B C3 D2考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设 l 与 x 轴的交点为 M，过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为 N，由 =3 ，可得 =，又|MF|=p=4，根据抛物线的定义即可得出解答： 解：设 l 与 x 轴的交点为 M，过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为 N， =3 ， = ，又|MF|=p=4，|NQ|= ，|NQ|=|QF|，|QF|= 故选：A点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性
21、质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12设函数 f（x）在 R 上存在导数 f（x） ，x R，有 f（ x）+f（x）=x 2，在（0，+）上f（x）x，若 f（4 m）f（m ）84m则实数 m 的取值范围为( )A 2，2 B2，+） C0，+） D （，22，+）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：令 g（x）=f（x） x2，由 g（ x）+g （x）=0，可得函数 g（x）为奇函数利用导数可得函数 g（x）在 R 上是减函数， f（4m ）f（m）84m，即 g（4 m）g（m） ，可得 4mm，由此解得 a 的范围解答： 解：令 g（x）=f
22、（x） x2，g（ x） +g（x）=f（ x） x2+f（x） x2=0，函数 g（x）为奇函数x（0，+ ）时，g（x）=f（x） x0，故函数 g（x）在（0，+）上是减函数，故函数 g（x）在（，0）上也是减函数，由 f（0）=0 ，可得 g（x）在 R 上是减函数，f（ 4m）f （m ）=g（4m）+ （4m ） 2g（m） m2=g（4m） g（m）+84m 84m，g（ 4m）g（m） ， 4mm，解得：m2，故选：B点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的
23、位置上 ）13正项等比数列a n中，a 2=4，a 4=16，则数列a n的前 9 项和等于 510考点：等比数列的前 n 项和 专题：等差数列与等比数列分析：由已知的 a4 的值比上 a2 的值求出公比 q 的值，然后由 a2 和 q 的值求出 a1 的值，然后利用等比数列的前 n 项和公式表示出数列的前 4 项之和，把求出的 a1 和 q 的值代入即可求出值解答： 解：由 a2=4，a 4=16，得到 q2= = =4，解得：q=2（舍去负值） ，a1= =2，则数列的前 9 项之和 S9= = ，即 S9=510故答案是：510点评：此题考查了等比数列的求和公式，考查了等比数列的性质学生
24、做题时注意求出的公比 q 的值有两个，都符合题意，不要遗漏14某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图知几何体为半个圆锥，根据三视图的数据求底面面积与高，代入棱锥的表面积公式计算解答： 解：由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为 2，高为 4，圆锥的母线长为 2 ，几何体的表面积 S= 22+ 42 + 44= 故答案为： 点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，考查了圆锥的侧面积公式，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量15已知 F1，F 2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的
25、一个公共点，且 F1PF2= ，椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率 e2，则 =4考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：， （a i，b i0，a 1b 1，i=1 ，2） ， = =c2，c0设|PF1|=m，|PF 2|=n可得 m+n=2a1，nm=2a 2，由于 F1PF2= ，在PF 1F2 中，由余弦定理可得：（2c） 2= ，化简整理即可得出解答： 解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：， （a i，b i0，a 1b 1，i=1 ，2） ，= =c2，c0设|PF 1|=m，|PF 2|
26、=n则 m+n=2a1，n m=2a2，解得 m=a1a2，n=a 1+a2，由F 1PF2= ，在 PF1F2 中，由余弦定理可得：（2c） 2= ，4c2= + （a 1a2） （a 1+a2） ，化为 + ，化为 =4故答案为：4点评：本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16定义：如果函数 y=f（x）在定义域内给定区间a，b上存在 x0（ax 0b） ，满足，则称函数 y=f（x）是a，b上的“ 平均值函数”，x 0 是它的一个均值点如 y=x2 是 1，1 上的平均值函数，0 就是它的均值点现有函数 f（x）=x3+mx 是区间
27、1，1上的平均值函数，则实数 m 的取值范围是3m 考点：函数与方程的综合运用；函数的值 专题：综合题；函数的性质及应用分析：函数 f（x）=x 3+mx 是区间 1，1 上的平均值函数，故有 x3+mx=在（1， 1）内有实数根，求出方程的根，让其在（ 1，1）内，即可求出实数 m 的取值范围解答： 解：函数 f（x）=x 3+mx 是区间 1，1 上的平均值函数，故有 x3+mx=在（1， 1）内有实数根由 x3+mx= x3+mxm1=0，解得 x2+m+1+x=0 或 x=1又 1（1，1）x2+m+1+x=0 的解为： ，必为均值点，即3m m 所求实数 m 的取值范围是 3m 故答
28、案为：3 m 点评：本题主要是在新定义下考查方程根的问题在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17设ABC 是锐角三角形，三个内角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c ，并且（sinAsinB） （sinA+sinB）=sin（ B）sin （ +B） （）求角 A 的值；（）若 =12，a=2 ，求 b，c（其中 bc ） 考点：余弦定理；平面向量数量积的运算 专题：解三角形分析：（）利用已知条件化简表达式，求出 A 的正弦函数值，然后求角 A 的值；（）利用 =12，
29、求出 bc 的值，利用余弦定理得到关系式，然后求 b，c（其中bc） 解答： 解：（） （sinA sinB） （sinA+sinB）=sin （ B）sin （ +B） 可得：= ， ， （） ，bc=24，又 a2=b2+c22bccosA=（b+c） 23bc，b+c=10，b c，b=4 ， c=6点评：本题考查余弦定理的应用，实数的化简求值，基本知识的考查18已知数列a n满足（a n+11） （a n1）=3（a nan+1） ，a 1=2，令 （）证明：数列b n是等差数列；（）求数列a n的通项公式考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）利用已知条件推出 ，即可证明
30、b n是等差数列（）求出 bn，然后求解数列a n的通项公式解答： 解：（） （a n+11） （a n1）=3（a n1） （a n+11） ， ，即 ，bn是等差数列（）b 1=1， ， ， 点评：本题考查等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式的求法，数列递推关系式的应用，考查计算能力19ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4 ， ACB=90，D、E 分别是边 AC 和 AB 的中点，现将ADE 沿 DE 折起，使面 ADE面 DEBC，H、F 分别是边 AD 和 BE 的中点，平面BCH 与 AE、AF 分别交于 I、G 两点（）求证：IH BC；（）求二面角 AGIC 的余弦值；
31、（）求 AG 的长考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的性质；点、线、面间的距离计算 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）证明 EDBC，推出 ED平面 BCH，利用直线与平面平行的性质定理以及平行公理证明 IHBC（）建立空间右手直角坐标系，求出平面 AGI 的一个法向量，平面 CHI 的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角 AGIC 的余弦值（）法（一） ，通过 ，解得 ，然后求解即可法（二）取 CD 中点 J，连接 AJ 交 CH 于点 K，连接 HJ，通过 HKJ 与 CKA 相似，求解即可解答： （）证明：因为 D、E 分别是边 AC 和 AB 的中点，所以 EDB
32、C，因为 BC平面 BCH，ED 平面 BCH，所以 ED平面 BCH因为 ED平面 BCH，ED平面 AED，平面 BCH平面 AED=HI所以 EDHI又因为 EDBC，所以 IHBC（）解：如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，D（0，0，0） ，E（2，0，0） ，A（0，0，2） ，F （3，1，0） ，C （0，2，0） ，H（0，0，1） ， ， ， ，设平面 AGI 的一个法向量为 ，则 ， ，令 z1=1，解得 x1=1，y 1=1，则设平面 CHI 的一个法向量为 ，则 ，令 z2=2，解得 y1=1，则 ，所以二面角 AGIC 的余弦值为 （）解：法（一） ，设则 ，解
33、得 ， 法（二）取 CD 中点 J，连接 AJ 交 CH 于点 K，连接 HJ， HKJ 与 CKA 相似，得 ，易证 HIGK，所以 点评：本题考查空间向量求解二面角的平面角的大小，直线与平面平行的性质定理以及判定定理的应用，空间距离的求法，考查计算能力以及空间想象能力20如图，抛物线 C1：y 2=2px 与椭圆 C2： + =1 在第一象限的交点为 B，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB 的面积为 （）求抛物线 C1 的方程；（）过 A 点作直线 l 交 C1 于 C、D 两点，射线 OC、OD 分别交 C2 于 E、F 两点，记OEF 和OCD 的面积分别为 S1 和 S2，问
34、是否存在直线 l，使得 S1：S 2=3：77？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）通过三角形OAB 的面积，求出 B 的纵坐标，然后求出横坐标，代入抛物线的方程，求出 p，即可得到抛物线方程（） 存在直线 l：x 11y4=0 符合条件通过设直线 l 的方程 x=my+4，与抛物线联立，设 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，通过 ，求出 ，然后求出 m，得到直线 l 即可解答： 解：（）因为OAB 的面积为 ，所以 ，代入椭圆方程得 ，抛物线的方程是：y 2=8x（） 存在
35、直线 l：x 11y4=0 符合条件解：显然直线 l 不垂直于 y 轴，故直线 l 的方程可设为 x=my+4，与 y2=8x 联立得 y28my32=0设 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，则 y1+y2=8m，y 1y2=32 = 由直线 OC 的斜率为 ，故直线 OC 的方程为 ，与 联立得，同理 ，所以 可得要使 ，只需 即 121+48m2=49121解得 m=11，所以存在直线 l：x 11y4=0 符合条件点评：本题考查圆锥曲线方程的综合应用，考查分析问题以及转化思想的应用，考查计算能力21设函数 f（x）=a（x+1 ） 2ln（x+1）+bx（x1） ，曲线 y
36、=f（x）过点（e 1，e 2e+1） ，且在点（0，0）处的切线方程为 y=0（）求 a，b 的值；（）证明：当 x0 时，f（x）x 2；（）若当 x0 时，f（x）mx 2 恒成立，求实数 m 的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（）求出导函数 f（x） 利用 f（0）=a+b=0 ，f（e 1）=e 2e+1，即可求解 a，b（）设 g（x）=（x+1 ） 2ln（x+1）x x2， （x0） ，求出导函数，利用导函数的判断函数的单调性，推出 g（x） g（0）=0推出结果 f（x）x 2（）设 h（x）=（x+1
37、 ） 2ln（x+1）x mx2，求出导函数 h（x） ，利用（） 中的结果，通过讨论 m 的范围，求解即可解答： 解：（）f（x）=2a（x+1）ln （x+1）+a（x+1）+b， f（0）=a+b=0 ，f（e 1）=ae2+b（e 1）=a （e 2e+1）=e 2e+1a=1，b= 1 （）f（x）=（x+1） 2ln（x+1 ）x，设 g（x）=（x+1） 2ln（x+1）x x2， （x0） ，g（x）=2（ x+1）ln（x+1）x，（g（x） ） =2ln（x+1 ）+1 0，g（x）在0，+ ）上单调递增，g（x）g（0）=0，g（x）在0 ，+）上单调递增，g（ x） g
38、（0）=0 f（x） x2（）设 h（x）=（x+1 ） 2ln（x+1）x mx2，h（x）=2（x+1）ln（x+1）+x 2mx，（） 中知（x+1） 2ln（x+1）x 2+x=x（x+1 ） ，（x+1）ln（x+1）x， h（x）3x2mx，当 32m0 即 时，h（ x）0，h（x）在0 ，+）单调递增，h（x） h（0）=0，成立当 32m0 即 时，h （x）=2（x+1）ln （x+1）+ （1 2m）x，h（x）=2ln（x+1）+32m，令 h（ x）=0 ，得 ，当 x0，x 0）时，h（x）h（0）=0，h（x）在0，x 0）上单调递减，h（ x） h（0）=0 ，
39、不成立综上， 点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及导函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 【选修4-1：几何证明选讲】22如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，延长 BA 和 CD 相交于点 P， = ，= （）求 的值；（）若 BD 为 O 的直径，且 PA=1，求 BC 的长考点：与圆有关的比例线段 专题：压轴题；选作题；推理和证明分析：（）证明PAD 与PCB 相似，即可求 的值；（）求出 PB，PC ，利用勾股定理求 BC 的长解答： 解：（）由PAD=PCB，A= A，得P
40、AD 与PCB 相似，设 PA=x，PD=y 则有 ，所以 （）因为 PA=1， = ，所以 PB=4，因为 PAPB=PDPC， = ，所以 PC=2 ，因为 BD 为O 的直径，所以 C=90，所以 BC= =2 点评：本题考查三角形相似的判定，考查相交弦定理，考查相学生的计算能力，比较基础【选修 4-4：坐标系与参数方程 】23已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 （t 是参数） ，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线 C 的极坐标方程（）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系；（）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x+y 的取值范围考点：简单曲线的
41、极坐标方程；参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：（）由直线的参数方程消去 t 得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（）设出曲线 C 上的点的参数方程，由 x+y=sin+cos，利用两角和的正弦化简后可得x+y 的取值范围解答： 解：（）由 ，消去 t 得：y=x+ 由 ，得 ，即， ，即 化为标准方程得： 圆心坐标为 ，半径为 1，圆心到直线 xy+ =0 的距离 d=1直线 l 与曲线 C 相离；（）由 M 为曲线 C 上任意一点，可设 ，则 x+y=sin+cos= ，x+y 的取值范围是 点评：
42、本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题【选修 4-5：不等式选讲】24已知函数 f（x）=|2x+1| |x|2（）解不等式 f（x）0（）若存在实数 x，使得 f（x）|x|+a，求实数 a 的取值范围考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：（）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集（）不等式即|x+ |x| +1，由题意可得，不等式有解根据绝对值的意义可得|x+|x| ， ，故有 +1 ，由此求得 a 的范围解答： 解：（）函数 f（ x）=|2x+1| |x|2= ，当 x 时，由 x30，可得 x3当 x0 时，由 3x10，求得 x当 x0 时，由 x10，求得 x1综上可得，不等式的解集为x|x3 或 x1（）f（x）|x|+a ，即|x+ |x| +1，由题意可得，不等式 有解由于|x+ |x|表示数轴上的 x 对应点到 对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+ |x| ， ，故有 +1 ，求得 a3点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题
