1、2018 届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三一模考试数学（理）试题一、单选题1设集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 ，集合故选 C.2下列函数中，既是偶函数又在区间 内单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于 ， 是偶函数，在区间 单调递增，故排除；对于 ， 是偶函数，在区间 单调递减，故正确；对于 ， 是非奇非偶函数，在区间 单调递增，故排除；对于 ， 是非奇非偶函数，在区间 单调递减，故排除.故选 B.3设 是等差数列 的前 项和，若 , ，那么 等于（ ）A. 4 B. 5 C. 9 D. 18【答案】B【解析】等差数列中 ，所
2、以 ，从而 ， ，所以 ，故选 B. 4已知 ， ，则 （ ）0cos15,inOA0cos75,inOBABA. 2 B. C. D. 132【答案】D【解析】 ， 0cos5,in0cos75,in 227s11cos601ABO故选 D5过原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为（ ）3240xyA. B. 2 C. D. 3623【答案】D【解析】 ，即 。依题意可得，直线方程为 ，240xy24xy3yx则圆心 到直线 的距离 ，所以直线被圆所截得的弦长为2,03yx312d，故选 D24123d6设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同平面，给出下列条件，其中能lm够推出 的是
3、A. ， ， B. ， ， llmC. ， ， D. ， ， 【答案】B【解析】由 ， ， 可推出 与 平行、相交或异面，由 可推出 .ACDl Blm故选 B7函数 （ 且 ）的图像恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意有 ，代入直线得 ，所以，故选 .8设 是数列 的前 项和，若 ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时， ，解得 .当 时， ， ，则 ，即 .数列 是首项为 ，公比为 的等比数列故选 C.9如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为A. B. C. D
4、. 【答案】D【解析】由三视图的俯视图可知，三棱锥的底面为等腰直角三角形，故体积为.故选 .10千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程 中的 为 1.35，我校 2018 届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为 63 人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（ ）A. 111 B. 117 C. 118 D. 123【答案】B【解析】因为 ，所以 ，所以回归直线方程为 ，当 时代入，解得 ，故选 B. 11 已知 为双曲线
5、的左，右焦点，点 为双曲线 右支上一点，直线 与圆 相切，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 与圆相切于点 ，则因为 ，所以 为等腰三角形，设的中点为 ，由 为 的中点，所以 ，又因为在直角中， ，所以 又 ， 故由得， ，故本题选 C点睛：在圆锥曲线中涉及到焦点弦问题，通常要灵活应用圆锥的定义得到等量关系，本题中由几何关系得到 ，由双曲线定义有 ，列方程即可求离心率的值.12设函数 ，若 是函数 是极大值点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，若因为 是函数 是极大值点，所以 即 ，所以 若 时，因为 ，所以当 时
6、， ，当 时 ，所以 是函数 是极大值点，符合题意；当 时，若 是函数 是极大值点，则需 ，即 ，综上 ，故选 A. 二、填空题13已知正方形 边长为 2， 是 的中点，则 _.【答案】2【解析】根据题意 .故正确答案为 .14若实数 满足 ，则 的最大值为_.【答案】5【解析】作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的 及其内部：其中 ， ， ，设 ，将直线 进行平移，当经过点 时，目标函数 达到最大值，此时 .故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到
7、目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15直线 与抛物线 相交于不同两点 ，若 是 中点，则直线 的斜率_.【答案】【解析】设 ，直线 与抛物线 相交于不同两点 ， ，则两式相减得 是 中点故答案为 .16已知锐角 的三个内角的余弦值分别等于钝角 的三个内角的正弦值，其中 ，若 ，则 的最大值为_ .【答案】【解析】由于 ，且 为钝角，故 ，由正弦定理得，故 .三、解答题17已知函数 .（1）当 时，求 的值域；（2）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ，求 的面积.【答案】(1) (2) 【
8、解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合 ，即可求得的值域；（2）由 求得 的值，利用余弦定理求得 的值，可得 的面积.试题解析：（1）由题意知，由 .（2） ，由余弦定理可得18某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育锻炼时间在 的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的 列联表；课外体育不达标 课外体育达标 合计男女 20 110合计（2）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标
9、”与性别有关？参考格式： ，其中0.025 0.15 0.10 0.005 0.025 0.010 0.005 0.0015.024 2.072 6.635 7.879 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给数据，可得列联表；（2）根据关联表，代入公式计算 ，与临界值比较即可得出结论.试题解析：(1) (2) 所以在犯错误的概率不超过 的前提下不能判断“ 课外体育达标”与性别有关.19如图，直三棱柱 中， 且 ， 是棱 上的动点， 是 的中点.（1）当 是 中点时，求证： 平面 ；（2）在棱 上是否存在点 ，使得平
10、面 与平面 所成锐二面角为 ，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】 【试题分析】 （1）取 中点 ，连结 ，利用三角形中位线证得四边形为平行四边形，由此证得线面平行.（2）假设存在这样的点 ，以 点为原点建立空间直角坐标系，利用平面 和平面 的法向量，结合它们所成锐二面角的余弦值，可求得这个点的坐标.【试题解析】（1）取 中点 ，连结 ，则 且 .因为当 为 中点时， 且 ，所以 且 .所以四边形 为平行四边形， ，又因为 ， ，所以 平面 ；（2）假设存在满足条件的点 ，设 .以 为原点，向量 方向为 轴、 轴、 轴正方向，建立空间直角坐标系.则
11、， ， ，平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， ，解得 ，所以存在满足条件的点 ，此时 .20已知 是椭圆 的右焦点，过 的直线 与椭圆相交于 ， 两点.（1）若 ，求 弦长；（2） 为坐标原点， ，满足 ，求直线 的方程.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由题意可知过 的直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，联立直线与椭圆的方程，得关于 的一元二次方程，由 及韦达定理可得 的值， 从而求出 弦长；（2）由 可得 ，即 ，设直线 的方程为 ，联立直线 与椭圆的方程， 结合韦达定理即可求出 的值，从而求出直线 的方程.试题解析：(1)由题意可知过 的直线 斜率存在，设直线 的方程为联立 ，得 ，则(2) ，即设直线 的方程为 ，联立 ，得 ， ，即 或直线 的方程为
