1、云南民族大学附属大学高三年级 2018 年期末考试试卷文科数学一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60.0 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合 ，集合 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合 ，故 .故答案为：B。2. 已知 ，其中 i 为虚数单位，则A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D【解析】已知 ， ，根据复数相等的概念得到 故答案为：D。3. AQI 是表示空气质量的指数， AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数值不大于 100 时称空气质量为“优良”如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的
2、统计数据，图中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，则下列叙述不正确的是A. 这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B. 这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日C. 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 D. 从 4 日到 9 日，空气质量越来越好【答案】D【解析】由图可知, 不大于 100 天有 6 日到 11 日,共 6 天,所以 A 对,不选. 最小的一天为 10 日,所以 B 对,不选.中位为是 ,C 错.从图中可以 4 日到 9 日 越来越小,D 对.所以选 C.4. 已知 ，则 等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据二倍角公式
3、得到 代入上式得到 故答案为：D。5. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值是( )A. -4 B. C. -2 D. -1【答案】D【解析】作出不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=xy 得 y=xz，平移直线 y=xz，由图象可知当直线 y=xz 经过点 C 时，直线 y=xz 的截距最小此时 z 最大由 ，即 C（3，2） ，代入目标函数 z=xy 得 z=1即目标函数 z=xy 的最大值为1故选：D6. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点A. 再向左平行移动 个单位长度 B. 再向右平行移动 个单位长度C. 再向右平行移动 个单位长度 D. 再向左平
4、行移动 个单位长度【答案】B【解析】将函数 y= cos（2x ）的图象再向右平行移动 个单位长度，得到故选：B7. 函数 的图象大致为A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数 f（x）=（ ）cosx，当 x= 时，是函数的一个零点，属于排除 A，B，当 x（0，1）时，cosx0，0，函数 f（x）=（ ）cosx0，函数的图象在 x 轴下方排除 D故答案为 C。8. 程序框图如图所示，若输入 a 的值是虚数单位 i，则输出的结果是 A. B. C. 0 D. 【答案】C【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算变量 S=i1+i2+ i
5、3+ i4 的值，S=i1+i2+=0故答案为：C。9. 已知一个球的表面上有 A、 B、 C 三点，且 ，若球心到平面 ABC 的距离为 1，则该球的表面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得平面 ABC 截球面所得的截面圆恰为正三角形 ABC 的外接圆 O，设截面圆 O的半径为 r，由正弦定理可得 2r=4，解得 r=2，设球 O 的半径为 R，球心到平面 ABC 的距离为 1，由勾股定理可得 r2+12=R2，解得 R2=5，球 O 的表面积 S=4R2=20。故答案为：A。10. 在正方体 中， E 为棱 CD 的中点，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据
6、三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影，A.若 ，那么 ，很显然不成立；B.若 ，那么 ，显然不成立；C.若 ，那么 ，成立，反过来 时，也能推出 ,所以 C 成立；D.若 ，则 ，显然不成立，故选 C.【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.11. 已知双曲线 C： 的左焦点为 F，过点 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为H，点 P 在双曲线上，且 则双曲线的离心率为A. B. C. D.
7、 【答案】C【解析】由题意，设 P（x，y） ，直线 FH 的方程为 y= （x+c），与渐近线 y= x 联立，可得 H 的坐标为（- ， ），（x+c，y）=3（ +c， ），x= +2c，y= ，代入双曲线方程可得， 化简可得 =13，e= 故答案为：C。点睛：这个题目考查的是求双曲线的离心率的求法；将图像特点和圆锥曲线联系到一起。求离心率的常用方法有：定义法，根据椭圆或者双曲线的定义列方程；数形结合的方法，利用图形的几何特点构造方程；利用点在曲线上，将点的坐标代入方程，列式子。12. 已知函数 ，若对任意 ，存在 ，使 ，则实数 b 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析
8、】函数 f（x） （x0）f（x） 若 f（x）0，1x3，f（x）为增函数；若 f（x）0， x3 或 0x1，f （x）为减函数；f（x）在 x（0，2）上有极值，f（x）在 x=1 处取极小值也是最小值 f（x）min=f（1）= ；g（x）=x22bx+4=（xb）2+4b2，对称轴 x=b，x1，2，当 b1 时，g（x）在 x=1 处取最小值 g（x）min=g（1）=12b=4=52b；当 1b2 时，g（x）在 x=b 处取最小值 g（x）min=g（b）=4b2；当 b2 时，g（x）在1，2上是减函数， g（x）min=g（2）=44b+4=84b；对任意 x1（0，2）
9、，存在 x21，2，使 f（x1）g（x2），只要 f（x）的最小值大于等于 g（x）的最小值即可，当 b1 时， 52b，解得 b ，故 b 无解；当 b2 时， 84b，解得 b ，综上：b ，故答案为：C。点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 .二填空题(共 4 小题，共 20.0 分)13. 已知向量 若 ，则实数 _ 【答案】【解析】向量 ，则 ， 因为两个向量平行，故得到 故答案为：14. 在 中， 则角 C 的大小
10、为_ 【答案】【解析】在 中， ， 故角 C 为 .故答案为： 。15. 设 F 是抛物线 ： 的焦点，点 A 是抛物线与双曲线 ： 的一条渐近线的一个公共点，且 轴，则双曲线的离心率为_ 【答案】【解析】试题分析：由抛物线方程 可得其焦点 因为 轴,则可设 因为点 在抛物线 上所以 不妨令 ,则 此时 再将点 代入双曲线 的渐近线方程 可得 ,即 因为 ,所以 所以离心率 考点：抛物线,双曲线的简单性质16. 满足对任意 ，都有 成立，则 a 的取值范围是_ 【答案】【解析】对任意 x1x2，都有 0 成立，f（x）在定义域 R 上为单调递减函数，f（x）= ，当 x 1 时，0a1，当 x
11、1 时，a30，且 a（a3）1+4a，即 ，解得， 0a ，a 的取值范围是 0a ，故答案为：0a 点睛：本题考查单调函数的定义，以及指数函数、一次函数的单调性，同时考查了分段函数单调性的处理方法，一般利用数形结合的数学思想方法，要求每一段都是单调的，再者就是要求在分隔处是上台阶，或者下台阶，不能出现错位的情况。 三解答题(共 6 小题，17 题 10 分，18-22 题每题 12 分,共 70.0 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 求数列 的通项公式；若数列 的前 n 项和为 ，求 【答案】 【解析】试题分析：（1）由递推公式得到 ，得
12、到 ，得证；（2）由第一问得到 ，错位相减求和即可。解析：当 时， ，解得 当 时， ，所以 ，即 ，所以数列 是以首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 ，则 ，上面两式相减，可得，化简可得 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。18. 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 ，且求角 C；求 的最大值【答案】 2【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到 ，再由余弦定理得到；（2）由第一问得到原式
13、等价于 ，化简后为，再根据角的范围得到三角函数的范围即可。解析：即 由余弦定理（2）由题意可得的最大值为 219. 通过随机询问某地 100 名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下 列联表： 男生 女生 合计挑同桌 30 40 70不挑同桌 20 10 30总计 50 50 100从这 50 名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，现从这 5 人中随机选取 3 人做深度采访，求这 3 名学生中至少有 2 名要挑同桌的概率；根据以上 列联表，是否有 以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考： 参考公式： ，其中【答案】 见解析 【解析】试题分析：（）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有 3 人，不挑同桌有 2 人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（）根据 22 列联表计算观测值，对照临界值表得出结论解析：根据分层抽样方法抽取容量为 5 的样本，挑同桌有 3 人，记为 A、 B、 C，不挑同桌有 2 人，记为 d、 e；从这 5 人中随机选取 3 人，基本事件为共 10 种；这 3 名学生中至少有 2 名要挑同桌的事件为概率为，共 7 种；故所求的概率为 ；根据以上 列联表，计算观测值
