1、2.5 谓词推演理论谓词演算中的推理规则q和命题逻辑一样，在谓词逻辑中也可用推理的方法来证明一个公式是 重言蕴涵式 。q命题逻辑中的推理规则都是谓词演算中的推理规则。同时，谓词演算中的所有重言蕴涵式、恒等式和代入规则也都可以作为推理规则。q但在谓词逻辑的推理中，由于某些前提和结论可能受到量词的限制，因此在推理过程中必须有消去和添加量词的规则 。1、全称指定规则 (简称 US规则 )即 xA(x) A(y) 或 xA(x) A(x) 即 xA(x) A(c) 两式成立条件：1. y为任意不在 A(x)中约束出现的个体变元； 2. 在 式中， c为任意的个体常元。例如：考虑实数集中的 2元谓词 F
2、(x,y)为 x y ，判断 xy F(x,y)是否为真命题解：根据 US规则 xy F(x,y) y F(y,y)则结论为 “存在 y， y y ”，故原命题为假命题。出错的原因是违背了条件 (2)。改为： xy F(x,y) y F(z,y)则结论为 “存在 z， z y ”，故原命题为真命题。2、全称推广规则 (简称 UG规则 ) 即 A(y) xA(x) 该规则成立要求以下条件：(1) y是 A(y)中自由出现的个体变元，且 y取论述域中的任何值 A(y)都为真； (2) A(y)中不能出现 x。)()(xxAyA例如： 在实数集中仍取二元谓词 F(x,y)为 xy。若另 A(y) x
3、F(x,y)， 则 对实数集中任意 y， A(y) 均为真命题。可以使用 UG规则， xF(x,y) x xF(x,x) 则显然这是假命题。出错的原因是违背了条件 (2)。可改为： xF(x,y) z xF(x,z) ,则可知为真命题。3、存在指定规则 (简称 ES规则 ) 即 xA(x) A(c) 该规则成立要求以下条件：(1) c是使 A为真的特定的个体常元； (2) c不曾在 A(x)中出现过；)()(cAxxA例如： 在实数集合中，取 F(x,y)为 xy，若 A(x)表示 F(x,2)，则 xF(x,2)为真命题。 2已在 A(x) 中出现过。若使用 EG规则，用 2代替 x就会得到
4、xF(2,2)， 这是假命题。其原因是违背了条件 (2)。可改为 ： xF(x,2) F(3,2)4、存在推广规则 (简称 EG规则 )即 A(c)xA(x)该式成立要求具备以下条件：(1) c是使 A为真的特定的个体常元；(2) 取代 c的 x不能已在 A(c)中出现过。)()(xxAcA例如： 在实数集合中，取 F(x,y)为 xy.若另 A(2)=xF(x,2) ，则 A(2)为真命题。可使用 EG规则 A(c)xA(x)若使用 EG规则，将 A(2)中的 2用 x代替，会得到xF(x,x)， 这是假命题。其原因是违背了条件 (2)。 x已在 A(2) 中出现过。改为： xF(x,2)
5、yxF(x,y)应用上面 4条规则时，要注意条件，否则否则会推出假命题来：例如： 在自然数集中，设 F(x)： x是奇数， G(X)： x是偶数，则 xF(x) xG(x)是真命题。请看证明： xF(x) 前提引入 F(c) ES 规则 xG(x) 前提引入 G(c) ES规则 F(c) G(c) 合取式 x(F(x) G(x) EG规则 结论 是错误的，其原因是违背了条件 ES规则中的 (1)， ， 中的 c不一定是相同的。例 1 证明苏格拉底三段论 “凡人都是要死的。苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 ” 首先将命 题 符号化：F(x)： x是人。G(x)： x是要死的。 a： 苏 格拉
6、底。前提： 。 结论： G(a). 证明 : P(前提引入 ) T US 规则 F(a) P（前提引入） G(a) T I 例 2 请在一阶逻辑中证明以下推理：每个学术会的成员都是工人并且是专家，有些成员是青年人，所以有的成员是青年专家。首先将命 题 符号化，个体域 为 全 总 个体域。F(x)： x是学 术 会成 员 。 G(x)： x是 专 家。 H(x)： x是工人。 R(x)： x是青年人。前提： ， 。结论 ： 。 证明 : P T ES P T US T I T I T I T I T I T EG若将上述证明的步骤改为： P T US P T ES 最后也能推出 ，但此 证 明是
7、有错误 的。 错 在 上。 中的 c不一定 满 足 。在前提中，若既有存在量 词 公式，又有全称量 词公式， 应 先引入存在量 词 公式。 请看推导：(1) (x)(P(x)Q(x) P(2) (P(x)Q(x) T US,(1)(3) (x)P(x) P(4) P(x) T ES (1)(5) Q(x) T,(2),(4),I(6) (x)Q(x) T EG,(5)证明：(x)(P(x)Q(x)， (x)P(x)(x)Q(x)(续 1)请看推导：(1) (x)(P(x)Q(x) P(2) (P(c)Q(c) T US,(1)(3) (x)P(x) P(4) P(c) T ES,(3)(5)
8、Q(c) T (2),(4),I(6) (x)Q(x) T EG,(5)证明：(x)(P(x)Q(x)， (x)P(x)(x)Q(x)请看推导：(1) (x)(P(x)Q(x) P(2) (P(x)Q(x) US,(1)(3) (x)P(x) P(4) P(c) T ES,(3)(5) Q(c) T,(2),(4),I(6) (x)Q(x) T EG,(5)证明：(x)(P(x)Q(x)， (x)P(x)(x)Q(x)(续 2)例 3 构造下面推理的证明。前提： ，。结论： 。 证明： P T E T E T US P T US T I( 假言推理 ) T UG 本例中结论带全称量词，因而用 US规则时，用个体变元 y取代 X。
