1、第 2章 谓词逻辑第 2章 谓词逻辑2.1 个体、谓词与量词2.2 谓词公式2.3 谓词演算的等价式与蕴含式2.4 前束范式2.5 谓词逻辑的推理理论返回总目录返膏术灌藕婴底涤唆例丁洼鞭抬铺鲍熏阿任蓝桓玩托嫌汞匪乍粘弥桑繁揣第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑第 2章 谓词逻辑 2.1个体、谓词与量词 2.1.1个体考察下面的三个原子命题： 李玲是优秀共产党员。 张华比李红高。 小高坐在小王和小刘的中间。上述命题中的李玲、张华、李红、小高、小王、小刘等客体就是个体。所以可以这样说，个体是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。它可以是独立存在的人或物体，也可以是抽象的概念，如
2、 “马列主义”， “资本主义 ”等。个体常用小写英文字母或小写英文字母带下标表示，叫做个体标识符。 奴莱响卷茬淹侍舜斗涯壳毡艇答进沿阵肄迄祁瞳面影馁缎谓辞僧抖零诵矛第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑表示具体或特定个体的标识符称作个体常元，一般用小写英文字母 a、 b、 c、 或这些英文字母带下标表示。例如：李玲、张华、李红、小高、小王、小刘可如下表示：a：李玲b：张华c：李红d：小高e：小王f：小刘a,b,c,d,e,f都是个体常元。将表示任意个体或泛指某类个体的标识符称为个体变元，常表示为 x、 y、z、 等或这些英文字母带下标。个体变元的变化范围称为个体域或论域。个体域可以是有
3、穷集合，也可以是无穷集合，包含任意个体域的个体域称为全总个体域，它是由宇宙间一切对象组成的集合。在本书中，如无特别说明，所采用的都是全总个体域。 展澎钎实剩珊猿蛔菩祟兑糜瑰每抿刀嚷熊摄矮艺嫂温更镇党羞制淆乞瓶天第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑2.1.2谓 词在上面的三个原子命题中， 可以分解成为个体 “李玲 ”和 “ 是优秀共产党员 ”两部分。 “ 是优秀共产党员 ”是用来描述个体 “李玲 ”的性质的； 可以分解成为个体 “张华 ”、 “李红 ”和 “ 比 高 ”两部分。 “ 比 高 ”是用来描述个体 “张华 ”和 “李红 ”的身高关系的； 可以分解成为个体 “小高 ”、 “小王
4、 ”、 “小刘 ”和 “ 坐在 和 的中间 ”两部分。 “ 坐在 和 的中间 ”是用来描述个体 “小高 ”、 “小王 ”、 “小刘 ”的位置关系的。这些刻划个体性质或几个个体关系的模式叫做谓词。谓词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。 例如可以用 F， G， H表示上面三个命题中谓词：F： 是优秀共产党员。G： 比 高。H： 坐在 和 的中间。 忧收窟振米仲优昔男寇跳历咳艳懂乓扬仿剔腔曰潭寺呐膏睛诈雏邹耳屑搪第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑把与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。 F是一元谓词；把与两个个体相关联的谓词叫做二元谓词。 G是二元谓词；把与三个个体相关联的谓词叫做三元
5、谓词。 H是三元谓词； 。一般的，把与 n个个体相关联的谓词叫做 n元谓词。设 F是一元谓词， a是个体常元，用 F(a)表示个体常元 a具有性质 F；设 G是二元谓词， a,b是个体常元，用 G(a,b)表示个体常元 a和 b具有关系 G； 于是上面三个命题就表示为：F(a)：李玲是优秀共产党员。G(b,c)：张华比李红高。H(d,e,f)：小高坐在小王和小刘的中间。将谓词后面填上相关联的个体常元所得的式子叫做谓词填式。 F(a)，G(b,c)， H(d,e,f)都是谓词填式。谓词填式表示的是命题。笔桅非否元躺共亥运廖舷晴味劲幂萝橇犯撬讽眯叼哭晚连甭叶怯遥键卑竞第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第
6、 2章 谓词逻辑类似的，用 F(x)表示个体变元 x具有性质 F；用 G(x, y)表示个体变元 x和 y具有关系 G； ，用 P(x1,x2,xn)(n1) 表示个体变元 x1, x2, ,xn 具有关系 P。如果谓词后面有 n个个体变元，则称为 n元命题函数。例如 F(x)、 G(x， y)、 P(x1,x2, ,xn) 分别叫做一元命题函数、二元命题函数、 n元命题函数 (n1)。因为命题函数中包含个体变元，因此命题函数没有确定的真值，它不是命题。只要用个体常元取代所有的个体变元，就得到了命题。例如，用 H(x,y)： x+y0，显然此命题函数不是命题，因为它无法判断真假。令a： 5,
7、b： 7 用 a,b分别取代 x,y，就得到 H(a,b)，它表示 5+( 7)0，这是个假命题，它的真值为假。其实，用个体常元取代命题函数的所有个体变元所得到的表达式就是前面所说的谓词填式。因为它由个体常元取代命题函数中所有的个体变元而得到，所以也把谓词填式叫做骚音注绿痕坠惧惊谜悄全下无空档慰凋妇橡腥手撤菇翻食梦驱恃幌纯甚讥第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑0元命题函数。 F(a)， G(b,c)， H(d,e,f)都是 0元命题函数，它们都是命题。于是命题逻辑中的命题均可以表示为谓词逻辑中的 0元命题函数 (谓词填式 )，命题成为命题函数的特例。【例 2.1】将下列命题符号化，
8、并讨论它们的真值。 2与 3都是偶数。 如果 5大于 3，则 2大于 6。解： 设 F(x)： x是偶数。a： 2， b： 3该命题符号化为： F(a) F(b)F(b)表示 3是偶数，它是个假命题。所以 F(a) F(b)为假。 设 G(x,y)： x大于 ya： 5， b： 3， c： 2， d： 6该命题符号化为： G(a,b)G(c,d)G(a,b)表示 5大于 3，它是真命题。 G(c,d)表示 2大于 6，这是个假命题。所以 G(a,b)G(c,d) 为假。艳次磨驾童蹋坝刺路御图桶枫敖拖翔攻控封哨羽蜕狠描哭遗澳荚扎浑薄苑第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑2.1.3量词量
9、词分两种。 全称量词日常生活和数学中常用的 “一切的 ”， “所有的 ”， “每一个 ”， “任意的 ”， “凡 ”， “都 ”等词统称为全称量词，将它们符号化为 “”。并用 (x)， (y)等表示个体域里的所有个体，而用 (x)F(x)和 (y)G(y)等分别表示个体域中的所有个体都有性质 F和都有性质 G。 存在量词“存在 ”， “有一个 ”， “有些 ”， “至少有一个 ”等词统称为存在量词，将它们符号化为 “”。并用 (x)， (y)等表示个体域里有些个体，而用 (x)F(x)和(y)G(y)等分别表示在个体域中存在个体具有性质 F和存在个体具有性质 G。全称量词与存在量词统称为量词。
10、 菌宵狄婚然掺平哉父鸳善误宛实里囚招簿已闰鲸箱忌字插脐仇赛扶菇姚娟第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑【例 2.2】个体域是人类集合，对下列命题符号化。 凡人要死。 有的人是研究生。解： 令 F (x)： x要死。命题 “凡人要死。 ”符号化为： (x)F (x) 令 G(x)： x是研究生。命题 “有的人是研究生。 ”符号化为： (x)G(x) 在命题函数前加上量词 (x)和 (x)分别叫做个体变元 x被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题，如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化，该函数就变成了命题。这一结论在例 2.2中得到验证。虽然对命题函数中所有命题变元
11、进行量化后，该命题函数就变成了命题，但所得命题的真值与个体域的选定有关。请看下列例题： 贪芝关蹄丧苏趣平学夺弘烯萤代嚎熬烃隘鸣咎瘪顶钉景绝玛余镊框动苗辆第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑【例 2.3】对下列命题符号化，并在 ， ， 三个个体域中考察命题的真值。命题： 所有数小于 5。 至少有一个数小于 5。个体域： -1， 0， 1， 2， 4 3， -2， 7， 8 15， 20， 24解：设 L(x)： x小于 5。 “所有数小于 5。 ”符号化为： (x) L(x) 在个体域 ， ， 中，它们的真值分别为：真，假，假。 “至少有一个数小于 5。 ”符号化为： (x)L(x)在
12、个体域 ， ， 中，它们的真值分别为：真，真，假。命题函数中的个体变元被量化以后变成命题，其真值又与个体域的选定有关，这对命题函数的研究带来了一定的困难，为了统一，我们今后使用全总个体域。而将其它个体域迸眼逼氧蹄势涉振旺抢叶昆茅乌洗坠鲤伴锋碟丛吵艾卉约烙丢另朱跌傻葱第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑用一个谓词来表示，叫做特性谓词。特性谓词加入的方法为： 对全称量词，特性谓词作为条件命题的前件加入。 对存在量词，特性谓词作为合取项加入。【例 2.4】对下列命题在 ， 两个个体域中符号化。命题： 所有老虎是要吃人。 存在一个老虎要吃人。个体域： 所有老虎组成的集合。 全总个体域。解：设
13、 A(x)： x是要吃人的。个体域为所有老虎的集合。 符号化为 (x)A(x) 符号化为 (x)A(x)个体域为全总个体域。设特性谓词 T(x)： x是老虎。 符号化为 (x)(T(x)A(x) 符号化为 (x) (T(x) A(x)返回章目录膛诅捅漱休箍刀甭协讼纤淳坎衅浅剪磷论滴隅扇绦椰舒坞迪炮毯哼吭竟累第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑2.2谓词公式2.2.1谓词公式我们把命题、命题变元、谓词填式和命题函数叫做谓词演算的原子公式。 定义 2.2.1按下列规则构成的表达式称为谓词演算的合式公式，简称谓词公式。 谓词演算的原子公式是合式公式。 若 A是合式公式，则 A是合式公式。
14、若 A和 B是合式公式，则 (A B)， (A B)， (AB) 和 (AB) 是合式公式。 如果 A是合式公式， x是 A中出现的任意个体变元，则 (x)A， (x)A是合式公式。 只有有限次地应用 、 、 、 所得的公式是合式公式。谓词公式也有以下约定：悸又吻缚锅衣哇梁摩伸差撅页疚沉棵蔼费公桌庆贺吐泡脯本韶畔驻淘变刽第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑 最外层的括号可以省略。 如果按 、 、 、 、 在运算中的优先级别，省略括号后不改变原来的运算次序，可以省略括号，但量词后面括号不能省略。下面举例说明如何用谓词公式表达自然语言中的命题。【例 2.5】并非每个实数都是有理数。解：设
15、 R(x)： x是实数Q(x)： x是有理数该命题符号化为： (x)(R(x)Q(x)【例 2.6】没有不犯错误的人。解：设 M(x)： x是人F(x)： x犯错误此命题可以理解为：存在一些人不犯错误，这句话是不对的。此时，符号化为： (x) (M(x) F(x) )也可以理解为：任何人都是要犯错误的。此时，符号化为： (x) (M(x)F(x) 葡杰柳鼻不购氰承输蝴姬蜕裴拇朗捡泼狈磅富驰沽净苑殖涌潞俏析崇李败第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑【例 2.7】并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快。解：设 F(x)： x是兔子。G(x)： x是乌龟。H(x,y)： x比 y跑得快。该命
16、题符号化为： (x) (y) (F(x) G(y)H(x,y)2.2.2约束变元与自由变元定义 2.2.2如果 A是谓词公式 B的一部分且是谓词公式，则称 A是 B的子公式。定义 2.2.3紧接量词以后的最小子公式叫做该量词的辖域或作用域。定义 2.2.4量词 (x)和 (x)中的 x叫做该量词的指导变元或作用变元。定义 2.2.5量词 (x)和 (x)的辖域内 x的一切出现叫约束出现， x叫做约束变元；约束变元以外的其它变元的出现叫自由出现，自由出现的变元叫自由变元。琢说甜描宁裔雅埠位沟劈澜险锚兴液融峻倾墨汰刑吏誓秧赚请场峙涟九乍第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑【例 2.10】
17、说明下列各式量词的辖域，找出约束变元和自由变元。 (x)P(x)Q(y) (x) (P(x) (y)Q(x,y) (x) P(x) (y)Q(x,y) (x)(y)(P(x,y) Q(y,z) ( x) R(x,y) (x) P(x) R(x,y)解： (x)的辖域为 P(x)， x是约束变元， y是自由变元。 (x)的辖域为 P(x) (y)Q(x,y)， (y)的辖域为 Q(x,y)， x和 y都是约束变元，无自由变元。 (x)的辖域为 P(x)， (y)的辖域为 Q(x,y)， P(x)中的 x和 Q(x,y) 中的 y是约束变元， Q(x,y)中的 x是自由变元。 (x)的辖域为 (y
18、)(P(x,y) Q(y,z)， (y)的辖域为 P(x,y) Q(y,z)，(x)的辖域为 R(x,y)， x是约束变元， z是自由变元， (P(x,y) Q(y,z)中的 y是约束变元， R(x,y)中的 y是自由变元。地驳哀甩萎那耳怎垣湖骆孙拿背涣途锋届惺娟跌臼亨癣靡焊爹扰佣溯蔽先第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑 (x)的辖域为 P(x)， y是自由变元， P(x)中 x是约束变元， R(x,y)中 x是自由变元。由例 2.10可以看出，在一个公式中，同一个变元既可以是约束的，又可以是自由的，容易混淆。因为 (x)P(x)与 (y)P(y)， (x)P(x)与 (y)P(y
19、)都具有相同意义，所以约束变元与表示该变元的符号无关。根据这个特点，可以对约束变元换名。为了使换名后的公式中出现的变元要么是约束的，要么是自由的，我们提出如下的换名规则： 对约束变元可以换名，其更改变元名称的范围是量词的指导变元，以及该量词辖域中的所有该变元，公式的其余部分不变。 换名时一定要更改成辖域中没有出现的变元名，最好是公式中没有的变量名。赚侦位上哥披话蓖波漫窿梳侯衫绩溶酥夹沧掇眠尚梅腿汹线滁瑶鹿批山樊第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑【例 2.11】对 (x)(y)(P(x,y) Q(y,z)( x) R(x,y)中的约束变元 y换名。解：用 u置换约束变元 y。换名后为
20、：(x)(u)(P(x,u) Q(u,z)( x) R(x,y)不能换成： (x)(u)(P(x,u) Q(y,z)( x) R(x, y)也不能换成： (x)(z)(P(x, z) Q(z,z)( x) R(x,y)对公式中的自由变元也可以进行更改，用来解决公式中约束变元与自由变元的同名问题。这种更改叫做代入，代入规则是： 对于谓词公式中的自由变元可以代入，代入时需对公式中该变元自由出现的每处进行。 代入的变元与原公式中其他变元的名称不能相同。砍溉醛程屯矣竟岂牛嚏诚犯爹载武无爹抱虑琅蚂霓敞拜曙础韦锦包贿肺踏第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑【例 2.12】对 (x)(P(y) R
21、(x,y)( y)Q(y) 中的自由变元 y进行代入。解：用 z代换 y，代入后为： (x)(P(z) R(x,z)( y)Q(y)不能换成： (x)(P(x) R(x,x)( y)Q(y)或 (x)(P(z) R(x,y)( y)Q(y)2.3谓词演算的等价式与蕴含式定义 2.3.1 设 A是谓词公式，如果对 A的任何赋值， A都为真，则称 A是有效的或永真的。定义 2.3.2 设 A是谓词公式，如果对 A的任何赋值， A都为假，则称 A是不可满足的或永假的。定义 2.3.3 设 A是谓词公式，如果至少有一组赋值使 A为真，则称 A是可满足的。根据定义 2.3.1和定义 2.3.3，如果一个
22、谓词公式是有效的，它一定是可满足的。返回章目录痛可赶阔瓤换仔顶蘸睁擎荧犬餐村更刺泽素帘痢克庭晕懈枉齐笼蓟笑流尊第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑定义 2.3.4设 A、 B是任意两个谓词公式，对 A、 B的任何赋值，若其真值相同，则称 A与 B是等价的，记作 AB；若 AB 是有效的，则称 A蕴含 B，记作 AB。设 A、 B是任意两个谓词公式。当 AB时，由定义 2.3.1和定义 2.3.4知 AB 是永真式。反之，当 AB 是永真式时， AB。所以，也可以用 AB 是永真式描述AB。 1命题逻辑中的等价式的推广 命题演算中的所有等价式都是谓词演算中的等价式。从定义 2.2.1可
23、以看出，命题演算的合式公式都是谓词演算的合式公式。再根据定义 2.3.4，命题演算中的所有等价式都是谓词演算中的等价式。 命题逻辑中的等价式的推广在命题逻辑中，重言式的同一分量出现的每一处都用同一合式公式置换，其结果仍是重言式 (定理 1.4.2)。在谓词逻辑中可以推广为：在永真的谓词公式中，命题变元出现的每一处都用同一谓词公式置换，其结果仍是永真式。例如： 纯费燃纠宴觅臼菊棺黍缀谰冰魄蚊脱跋饺遗已忧察拣润怨疡含灶则绵旺仆第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑因为 (p q)p q，故 (p q)(p q)为永真式，用 (x)P(x) 代替 p， (y)R(y)代替 q，得到永真式：(
24、x)P(x) (y)R(y)( x)P(x) (y)R(y)所以 (x)P(x) (y)R(y)(x)P(x) (y)R(y)2消去量词等价式设个体域为有限集 a1， a2， ， an， A(x)是含自由变元 x的任意谓词公式，有下列等价式成立：(x)A(x)A(a1) A(a2) A(an)(x)A(x)A(a1) A(a2) A(an)3量词否定等价式设 A(x)是含自由变元 x的任意谓词公式。则(x)A(x)(x)A(x)(x)A(x)(x)A(x)约定，量词之前的否定联结词，不是否定该量词，而是否定该量词及其辖域。胞球殆损贪自岗妆监眯鹏后切摹映硒奄新鸿宵驱订悼燃医睛娄宅虽回泪招第2章谓
25、词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑这两个等价式可在有限个体域上证明，设个体域为 a1， a2， ， an(x)A(x)(A(a1) A(a2) A(an)A(a1) A(a2) A(an)(x)A(x)(x)A(x)(A(a1) A(a2) A(an)A(a1) A(a2) A(an)(x)A(x)当个体域为无限集时，等价式也是成立的。但因为情况复杂，仅作以下说明：对等价式 (x)A(x)(x)A(x)， (x)A(x)表示：并不是所有的 x都有性质 A。 (x)A(x) 表示：存在 x没有性质 A。显然 “并不是所有的 x都有性质 A”和 “存在 x没有性质 A”是相同的，所以 (x)A
26、(x)(x)A(x)。对等价式(x)A(x)(x)A(x)来说， “不存在某个 x有性质 A”和 “所有的 x都没有性质 A”是相同的。骏哇休照友照捅凸缘地唁麻梳室虏启鞭泰渠枚倦耳蹬恳祝顺坡枢躯脂啄炽第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑4量词作用域的扩展与收缩等价式设 A(x)是含自由变元 x的任意谓词公式。 B是不含变元 x的谓词公式，则(x)(A(x) B)(x)A(x) B(x)(A(x) B)(x)A(x) B(x)(A(x) B)(x)A(x) B(x)(A(x) B)(x)A(x) B利用上述四式可以得到以下四式：(x)(A(x)B) (x)A(x)B(x)(A(x)B)
27、 (x)A(x)B(x)(BA(x) B( x)A(x)(x)(BA(x) B( x)A(x) 【例 2.13】证明 (x)(A(x)B) (x)A(x)B解： (x)(A(x)B) (x)(A(x) B)(x)A(x) B(x)A(x) B (x)A(x)B证抹螺述亡弗叛珊画潘寐洁祝嫩泵裹烫砖医绷娟螺第掸坚序臆岗田乘单颐第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑5量词分配等价式设 A(x)和 B(x)是含自由变元 x的任意谓词公式，则(x)(A(x) B(x)(x)A(x) (x)B(x)(x)(A(x) B(x)(x)A(x) (x)B(x)前者可以理解为： “所有的 x有性质 A和性
28、质 B”和 “所有的 x有性质 A且所有的 x有性质 B”是等同的。后者可以利用前者来证明。【例 2.14】证明 (x)(A(x) B(x)(x)A(x) (x)B(x)解： 因为 (x)(A(x) B(x)(x)A(x) (x)B(x)而 (x)(A(x) B(x)(x)(A(x) B(x)(x)(A(x) B(x)(x)A(x) (x)B(x) (x)A(x) (x)B(x)(x)A(x) (x)B(x)所以 (x) (A(x) B(x)(x) A(x) (x) B(x)于是 (x) (A(x) B(x)(x) A(x) (x) B(x)矢僵旁俐吵充俞拍邮涣琶揣耗浚纲附元尊护抨伙限畔獭讳赔
29、我薪倒询赌贤第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑6量词与联结词的蕴含式设 A(x)和 B(x)是含自由变元 x的任意谓词公式。(x)A(x) (x)B(x)(x) (A(x) B(x)(x) (A(x) B(x)(x)A(x) (x)B(x)(x) (A(x)B(x) (x)A(x)( x)B(x)(x) (A(x)B(x)(x)A(x) (x)B(x)对第一式作如下说明：令 A(x)表示 x有一支钢笔， B(x)表示 x有一支铅笔，个体域是 2000级计算机 1班全体同学。全班每个同学都有一支钢笔或每个同学都有一支铅笔，当然可以推出全班每个同学有一支钢笔或有一支铅笔。但反过来是不对
30、的。第二式可用第一式推出。归涪片沾貌眺箕杂冶衅回堕讽扭涯豹缔柠缄脂果珠劲韵湿丁戒陷壬谚囚精第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑【例 2.15】证明 (x)(A(x) B(x)(x)A(x) (x)B(x)解： 由第一式可得：(x)A(x) (x)B(x)(x)(A(x) B(x)而 (x)A(x) (x)B(x)(x)A(x) (x) B(x)(x)A(x) (x) B(x)(x)(A(x) B(x)(x) (A(x) B(x)(x)(A(x) B(x)故有 (x)A(x) (x) B(x)(x)(A(x) B(x)由双条件否定等价式有(x)(A(x) B(x)(x)A(x) (x)
31、 B(x)第三、四式可以类似推出。诅嘘梯绸友蹭撬喷逝拖残排秽微概婶步淑所晦柔蟹联锑通瞄驶料骨膜莹恃第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑7多个量词的使用 约定： (x)(y) A(x,y)表示 (x) (y) A(x,y) 一般地说，多个量词相连时，同名量词是无序的，即改变它们的次序，命题真值不变。异名量词是有序的，即改变它们的次序，命题真值发生变化。对后者作如下的说明：令 A(x,y)表示 x+y=10，个体域为整数集合 I。(x)(y)A(x,y)表示对任一整数 x，存在整数 y，使 x+y=10。这是一个真命题。(y)(x)A(x,y)表示存在整数 y，对任一整数 x，有 x+y
32、=10。这是一个假命题。因为同名量词是无序的，所以有：(x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y)(x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y) 异名量词有下列的蕴含关系：(y)(x)A(x,y) (x)(y)A(x,y)(x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y) 硬驶详蹭厂用叹毡吱滑玉归颖幕粮斡奔焦潦愈伴俗捆哮驴畴嫌龋挣口宏伙第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑 具有两个量词的谓词公式还有下列的蕴含式：(x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y)(y)(x)A(x,y)(x)(y)A(x,y)(x)(y)A(x,y)(y)(x)A(x,y)(y)(x)A(x,y)(
33、x)(y)A(x,y)2.4前束范式定义 2.4.1一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末尾，则称为前束范式。根据这个定义前束范式可表示成如下形式：(v1)(v2) (vn)A其中： 是 或 vi是个体变元， i=1, ,nA是不含量词的谓词公式返回章目录焕角粥脱防倡忿卷孔蝎饵拖示荚焙朔灭户湍朱亲忍列鸭抛贯装士丘瓦境瞒第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑例如： (x)(y)(F(x) G(y)L(x,y)(y)(x)(z)(H(x,y) F(x)L(x,z)都是前束范式。而(x)F(x) (y)(G(y)L(x,y)(y)(x)(H(x,y) F(x)( z
34、)L(x,z)都不是前束范式。定理 2.4.1任何谓词公式 ,都可以化成与其等价的前束范式。本定理的证明从略。利用上一节介绍的等价式、 2.2节介绍的代入规则和换名规则可以求出任何谓词公式的前束范式。【例 2.16】求公式 (x)F(x)( x)G(x) 的前束范式。解： (x)F(x)( x)G(x)(x)F(x) (x)G(x)(x)F(x) (x)G(x) (x)(F(x) G(x) (前束范式 )(x)( F(x)G(x) (前束范式 )从本例可以看出，谓词公式的前束范式并不惟一。神攘炯场伞呢亢卑拢疤炳嚎尔卖杉疗脆凶有苑玫颤扫湛献房贰虞冉肚殉坷第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词
35、逻辑【例 2.17】把公式 (y)G(x,y)( x)F(x,y)化为等价的前束范式。解： (y)G(x,y)( x)F(x,y)(t)G(x,t)( s)F(s,y)(t)(s)(G(x,t)F(s,y)定义 2.4.2一个谓词公式 A，如果具有如下形式称为前束合取范式。(v1)(v2) (vn)(A11 A12 )(A21 A22 )(Am1 Am2 )其中： 是 或 vi是个体变元， i=1, ,n Aij是原子公式或其否定。例如 (x)(y)(z)(F(x) H(x,y) G(x) (F(x) L(x,z)是前束合取范式。片免绿畸磋猪栈霜爱偿船俯媳自窖澜彦姥歉依挤溉抱炭颧苦蠢故云曰免蓉
36、第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑第 2章 谓词逻辑定理 2.4.2 每个谓词公式都可化为与其等价的前束合取范式。证明从略。【例 2.18】将 (x)F(x) (x)G(x)( x)(F(x) G(x)化为与其等价的前束合取范式。解： (x)F(x) (x)G(x)( x)(F(x) G(x)(x)(F(x) G(x)( y)(F(y) G(y)(x)(y)(F(x) G(x)(F(y) G(y)(x)(y)(F(x) G(x) (F(y) G(y)(x)(y)(F(x) G(x) (F(y) G(y)(x)(y)(F(x) F(y) G(y) (G(x) F(y) G(y)竭壮爷拈昏万雨卞罗趾垫感命瘸截亿溶撑承绿欺懒敲怒奖蓄土纶绿挑凭菱第2章谓词逻辑第2章谓词逻辑
