1、数理逻辑部分 小结,2010年11月,命题,命题逻辑部分,一阶谓词逻辑部分,p: 2是偶数,F(x): x是偶数，a:2 F(2),不是命题,F(x): x是偶数,假命题,G(x): x是人, H(x):x是大学生 x(G(x) H(x),命题,谓词和个体,量词,命题逻辑,一阶谓词逻辑,重要题型,1.求公式的成真赋值与成假赋值,真值表法,最简单、最直观的方法,重要题型,1.求公式的成真赋值与成假赋值/判断公式类型,真值表法,最简单、最直观的方法,主析取范式法, m0m1m2m4m5 m6m7,2.判断两个命题公式是否等值,真值表法,最简单、最直观的方法,2.判断两个命题公式是否等值,真值表法,
2、最简单、最直观的方法,等值演算法,pq (pq),最基本的方法,2.判断两个命题公式是否等值,真值表法,最简单、最直观的方法,等值演算法,右边pq (p(qq)(pp)q) (pq)(pq)(pq)(pq) (pq)(pq)(pq) m1m2m3,主析取范式法,左边(pq)pq (pq)(pq)(pq) m1m2m3,3.应用题,例题：某科研所要从3名科研骨干A,B,C 中挑选12名出国进修。由于工作需要，选派时要满足以下条件： (1) 若A去，则C 同去。 (2) 若B去，则C 不能去。 (3) 若C 不去，则A 与B 可以去。,由于m1= pqr, m2= pqr, m5= pqr 可知选
3、派方案有三种： (1) C去，而A,B 都不去。 (2) B去，而A,C都不去。 (3) A,C同去去，而B 不去。,简单命题符号化,复合命题符号化,命题公式等值演算,求命题公式的主析取范式,极小项的定义,命题公式的成真赋值与成假赋值,24个重要等值式,4.应用题,解：(1) 设 p：天气凉快；q：小王去游泳。 前提：pq，p 结论：q 推理的形式结构为：,例题：判断下面各推理是否正确。 (1) 如果天气凉快，小王就不去游泳。天气凉快，所以小王没去游泳。 (2) 如果我上街，我一定去新华书店。我没上街。所以我没去新华书店。,(*),说明(*)式为重言式，所以推理正确,将简单命题符号化,写出前提
4、、结论和推理的形式结构,命题公式等值演算,重言式的判断,主析取范式的求取,推理的正确性判断,5.在一阶逻辑中命题符号化问题,例:用量词、谓词来表述命题。(1)凡是人都是要死的。 设命题函数：():是要死的； 设特性谓词：():是人； ()()(2) 兔子比乌龟跑得快。 令F(x):x是兔子，G(y):y是乌龟，H(x,y):x比y跑得快xy(F(x)G(y)H(x,y),个体词,谓词,个体变项,谓词函数,一元 二元,量词,指导变元,辖域,全称量词,存在量词,6.判断一阶逻辑公式的类型,解 为方便起见，用A，B，C分别记(1)，(2)，(3)中的公式。 (1)取解释I1:个体域为实数集合R，F(
5、x):x是整数，G(x):x是有理数。在I1下A为真，因而A不是矛盾式。取解释I2:个体域仍然为R，F(x):x是无理数，G(x):x能表示成分数。在I2下A为假，所以A不是永真式。故A是非永真式的可满足式。 (2)易知B是命题公式p(qp)的代换实例，而该命题公式是重言式，所以B是永真式。 (3)C是命题公式(pq)q的代换实例，而该命题公式是矛盾式，所以C是矛盾式。,7.判断一阶逻辑公式是否等值,五组重要等值式,三组基本规则,自由出现和约束出现变项,8.求公式的前束范式,五组重要等值式,三组基本规则,自由出现和约束出现变项,例题：求公式的前束范式 (x1F(x1,x2)x2G(x2)x1H
6、(x1,x2,x3),解： (x1F(x1,x2)x2G(x2)x1H(x1,x2,x3) (x4F(x4,x2)x5G(x5)x1H(x1,x2,x3) x4 x5(F(x4,x2)G(x5)x1H(x1,x2,x3)x4 x5 x1(F(x4,x2)G(x5)H(x1,x2,x3),(换名规则) (量词辖域收缩与扩张等值式第三式) (量词辖域收缩与扩张等值式第三式),例题 在自然推理系统 F 中，构造下面推理的证明： 任何自然数都是整数，存在着自然数，所以存在着整数，个体域为实数集合 R. 解 先将原子命题符号化。设 F(x):x为自然数，G(x):x为整数。前提： x(F(x)G(x), xF(x)结论： xG(x),9.构造推理的证明,将简单命题符号化,写出前提、结论和推理的形式结构,命题公式等值演算,五组重要等值式,三组基本规则,推理的证明过程,思考题,53是命题吗？ 53是命题公式吗？ 5x是命题公式吗？ 5x是命题吗？ 为什么不能机械地检验P=Q的正确性，却可以机械地检验P-Q是否为永真公式？,
