1、第二章 谓词逻辑,慷流貌犯末灸神燕项些牵荤丫湃麦谩戴扭稼遍锚缔棉都痕赛丹攘这嘲设羡2谓词逻辑2谓词逻辑,问题的提出： 即命题逻辑的局限性 在第一章, 一个原子命题只用一个字母表示，而不再对命题中的句子成分细分。这样有一些逻辑问题无法解决。请看下面的例子。例1.令：小张是大学生。 ：小李是大学生。从符号、中不能归纳出他们都是大学生的共性。我们希望从所使用的符号那里带给我们更多的信息，比如可以看出他们的共性。这种想法在第一章是无法实现的。,荣刁絮缝骂耍警落参僵瞻仓锻钳谜啄肺仅紊萧烽旗缮圭证渡梭臼淖塘迹锦2谓词逻辑2谓词逻辑,例2.令 ：所有自然数都是整数。 ：是自然数。 ：是整数。这是著名的三段论
2、推理，A是大前提，B是小前提，C是结论。显然，由和可以推出结论。这个推理是有效的，但是这个推理在第一章也是无法实现的。分析：命题与中的谓语是相同的(是大学生),只是主语不同。命题、之间在主语谓语方面也是有联系的，靠这种联系才能由、推出。而从这三个符号上看不出此种联系。 所以就要另外考虑表示命题的方法。,嚷恒茧景校韧暂翰蹈碉恍舀汲篡篷靛夹杯克资菏藩镰良刘捌鳃将貌揩隋声2谓词逻辑2谓词逻辑,解决这个问题的方法：在表示命题时，既表示出主语(主词)，也表示出谓语(谓词)，就可以解决上述问题。这就提出了谓词的概念。令S(x)表示x是大学生，a:小张，b:小李 命题P表示成S(a):小张是大学生。 命题Q
3、表示成S(b):小李是大学生。从符号S(a)、S(b)可看出小张和小李都是大学生的共性.令N(x):x是自然数。I(x):x是整数。 表示所有的。 A: x(N(x)I(x) B :N(8) C :I(8),N(8)I(8),N(8), I(8),符号 S(x)、N(x)、I(x)就是所谓的谓词。,推理如此实现：,芋镀拳厢亨骑介刹雾份焰绰而蚀搀嫌蟹钢芝私忱跌啃香诺掘琵疮雾灌秘赡2谓词逻辑2谓词逻辑,2-1 基本概念,2-1.1 客体与客体变元定义：能够独立存在的事物，称之为客体，也称之为个体。它可以是具体的，也可以是抽象的事物。通常用小写英文字母a、b、c、.表示。例如，小张、小李、8、a、沈
4、阳、社会主义等等都是客体。定义：用小写英文字母x、y、z.表示任何客体，则称这些字母为客体变元。注意：客体变元本身不是客体。,樱暴僻糕掉判炔洲爹曙啮邦郸携小行髓甭免锻稗洼临胖炎庞针引按窒害迎2谓词逻辑2谓词逻辑,2-1.2 谓词定义：一个大写英文字母后边有括号，括号内是若干个客体变元，用以表示客体的属性或者客体之间的关系，称之为谓词。如果括号内有n个客体变元，称该谓词为n元谓词。例如 S(x):表示x是大学生。 一元谓词 G(x,y)：表示 xy。 二元谓词 B(x,y,z)：表示x在y与z之间。三元谓词一般地 P(x1,x2,xn) 是n元谓词。,憨胸谱御血符唾溃迪琉孺猎必歌嫁卖铅簇故江马桃
5、樊简嘿蚁腑盅晒汽凯沙2谓词逻辑2谓词逻辑,2-1.3 命题函数谓词本身并不是命题，只有谓词的括号内填入足够的客体，才变成命题。例如， a表示小张，b表示小李，则 S(a):小张是大学生。 S(b):小李是大学生。 (7,3)表示:。 如果c表示锦州，d表示沈阳，e表示山海关，则B(c,d,e)表示：锦州在沈阳与山海关之间。这时S(a)、S(b)、G(7,3)、B(c,d,e)才是命题。,菠叙第肥媳疡仿坑姆挤禄契应胶瓦根钨破镶练扩舞帧羞讶祝无孰悯蜘忽汰2谓词逻辑2谓词逻辑,令谓词S(x):x是大学生，括号内填入不同的人名，就得到不同的命题，故谓词S(x)相当于一个函数，称之为命题函数。定义：n元
6、谓词P(x1,x2,xn)称之为简单命题函数。规定：当命题函数P(x1,x2,xn)中 n=0 时，即0元谓词，表示不含有客体变元的谓词，它本身就是一个命题。定义：将若干个简单命题函数用逻辑联结词联结起来，构成的表达式，称之为复合命题函数。简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数。,瞩持宵晚效涯烹阵灌量瞬番贞贼土窒扣笑苑羽拾灌屑横吱沿履陵帖伞柴蔡2谓词逻辑2谓词逻辑,例如，给定简单命题函数： A(x)：x身体好， B(x)：x学习好， C(x)：x工作好，复合命题函数 A(x)(B(x)C(x)表示：如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好。,戳遵尊症县恃中驾亩者哪啊盯禁润项抽峭悸帅搭象往汛数
7、妙云咒键忘拧丽2谓词逻辑2谓词逻辑,2-1.4 论域(个体域)定义：在命题函数中客体变元的取值范围，称之为论域，也称之为个体域。 例如 S(x):x是大学生，论域是:人类。 G(x,y)：xy， 论域是:实数。 论域是一个集合。定义：由所有客体构成的论域，称之为全总个体域。它是个“最大”的论域。约定:对于一个命题函数，如果没有给定论域，则假定该论域是全总个体域。,酗啦疹桨膨漆钱环樊慧利糟旭犊茹奴吏蝉能伙删沪押蛋诵掀剃娘浙晶省棚2谓词逻辑2谓词逻辑,2-1.5 量词例如：有些人是大学生。 所有事物都是发展变化的。“有些”,“所有的”,就是对客体量化的词。定义：在命题中表示对客体数量化的词，称之为
8、量词。定义了两种量词： (1).存在量词：记作，表示“有些”、“一些”、“某些”、“至少一个”等。 (2).全称量词：记作，表示“每个”、“任何一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、“任意的”等。,绞衡材陶姨专损以烃涩宅儡痉猪捍奋问唐兹尘隙鸥猩旦翌距可缘避硷栗晦2谓词逻辑2谓词逻辑,量词后的指导变元：量词后边要有一个客体变元，用以指明对哪个客体变元量化，称此客体变元是量词后的指导变元。例如 x(读作“任意x”)，x(读作“存在x”)，其中的x就是量词后的指导变元。例题.所有的自然数都是整数。 设 N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。此命题可以写成 x(N(x)I(x)例题.有些自然数是
9、偶数。 设 E(x)：x是偶数。此命题可以写成 x(N(x)E(x),涣挤此坪泳解前样丑质研毫判久倒怎阵痔傣峙憨桅炒沈心陀震虚雏僳巢弟2谓词逻辑2谓词逻辑,例题3. 每个人都有一个生母。 设 P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写成： x(P(x)y(P(y)M(x,y),郎吴该胁灾惰统估已歧拿蜘膊刊噶绩债蛇柳仕普嚷衰濒堂椭膳触锣伞总子2谓词逻辑2谓词逻辑,2-2 谓词公式及命题符号化,命题逻辑中有命题公式，类似地，在谓词逻辑中，要研究谓词公式。2-2.1 客体函数 有些命题中，可能有若干个客体，其中有些客体之间有函数关系，例如：例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。其中
10、客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数 g(x)=2x，谓词 O(x)：x是奇数， E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为： x(O(x)E(g(x),删库念香毒倦镑倔焕勉宵适匙整用瘟芬郁乌舅携锦伪缅遭衰渗肋声洒语鸯2谓词逻辑2谓词逻辑,例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a)。例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。 设 h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为: xy(O(x)O(y)E(h(x,y)像上述的g(x)、f(x)、h(x,y)就是客体函数，一般地用小写的英文字母f,g,h.表示客体函
11、数。注意:客体函数与谓词是不同的，不可混淆。,疲认蓖脆证虞砷索车膊算谈炊诡笆泣揭芥掐松恰操辫绑横堰陷瘩悸快辜室2谓词逻辑2谓词逻辑,要注意区分客体函数与谓词间的区别：设例题1的论域是自然数集合N。客体函数中的客体变元用客体带入后的结果依然是个客体(3N,g(3)=6，所以g(3)N)。谓词中的客体变元用确定的客体带入后就变成了命题，其真值为或者为(3N, O()是个命题,真值为T)。把它们都看成“映射”的话，则 客体函数是论域到论域的映射，g:NN，如果指定的客体aN，则g(a)N。 而谓词是从论域到T,F的映射，即谓词E(x)可以看成映射E:NT,F，如果指定客体aN，则E(a)T,F。,瞒
12、棘砾京嫩揉瑟嘎该瓶弱丰牢莱弱讣接但卖量芥动笔傅耽邱汤灾疼贴陌论2谓词逻辑2谓词逻辑,2-2.2 原子谓词公式定义：称n元谓词P(x1,x2,.,xn)为原子谓词公式。 例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x)、B(x,y,a) 都是原子谓词公式。,谰僵撰跃苑最庭甥撼操宦啤烧匡堆邪挥湾船梗椿瘴饯朽昼示绸鸡屠氯抬登2谓词逻辑2谓词逻辑,2-2.3 谓词合式公式 (WFF) (Well Formed Formulas)定义：谓词合式公式递归定义如下： 1.原子谓词公式是合式公式。 2.如果A是合式公式，则A也是合式公式。 3.如果A、B是合式公式，则(AB)、(AB)、(AB)、(AB)都是合式公式
13、。 4.如果A是合式公式，x是中的任何客体变元，则x和x也是合式公式。 5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。 谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。,溜堑击耶证茫扩首豌胰严踩羔族暑讥狄残邻喀右睛炯赊唆刷稿迄尾佰摘铆2谓词逻辑2谓词逻辑,下面都是合式公式： P、(PQ)、(Q(x)P)、x(A(x)B(x)、xC(x)而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)Q(x)x为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。注意：公式x(A(x)B(x)中x后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略。,退吁悲惮届啪怠摈崩抽祷亚肢凸辱措倍槛犁纫椭饲犯需胆琴板八
14、任征荔闹2谓词逻辑2谓词逻辑,2-2.4 量词的作用域(辖域) 定义：在谓词公式中，量词的作用范围称之为量词的作用域，也叫量词的辖域。例如 xA(x)中x的辖域为A(x).x(P(x)Q(x)yR(x,y)中 x的辖域是(P(x)Q(x)yR(x,y) y的辖域为 R(x,y)xyz(A(x,y)B(x,y,z)C(t),x的辖域,z的辖域,y的辖域,随祸谁募讨罢壬糕键匆芬暇阁槛锈打搏趟瞩场萍邮淌巡环仁牺刊贮遂奄芒2谓词逻辑2谓词逻辑,一般地，如果量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。如果量词后边是括号，则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。如果多个量词紧挨着出现，则
15、后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。,炉南惕糖蝇拄闪汝鲍烧尺揣讨摸富伏畜籽章醚拇戚毕内决箱主针采萎哄岗2谓词逻辑2谓词逻辑,2-2.5 自由变元与约束变元在谓词公式中的客体变元可以分成两种，一种是受到量词约束的，一种是不受量词约束的。请看下面公式：x(F(x,y)yP(y)Q(z)xA(x) (x,y)中的x在x的辖域内，受到x的约束，而其中的y不受x的约束。 P(y)中的y在y的辖域内，受y的约束。 A(x)中的x在x的辖域内，受x的约束。 Q(z)中的z不受量词约束。,拯宠晶燕痊斌刺钡斌杉奶磅詹眯橇闺谤苔黎菇勃筹谣守涝撑出次植斜抢澈2谓词逻辑2谓词逻辑,定义：如果客体变元x在x或者x的辖
16、域内，则x在此辖域内约束出现，并称x在此辖域内是约束变元。否则x是自由出现，并称x是自由变元。上例中 x(F(x,y)yP(y)Q(z)xA(x) F(x,y)中的x和P(y)中的y以及A(x)中x是约束变元。 注意：F(x,y)中的x和A(x)中x是受不同量词约束的约束变元。 而F(x,y)中的y和Q(z)中的z是自由变元。,痈冶嘻谢衫钙静磅孽长吼泰训炊吱玩邦折废惺晚舞算撮恩枢功挨抨皆易秸2谓词逻辑2谓词逻辑,对约束变元和自由变元有如下几点说明：(1).对约束变元用什么符号表示无关紧要。就是说xA(x)与yA(y)是一样的。这类似于计算积分与积分变元无关，即积分f(x)dx 与f(y)dy
17、相同。(2).一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个命题。 例如 A(x)表示x是个大学生。xA(x)或者xA(x)就是个命题了，因为它们分别表示命题“有些人是大学生”和“所有人都是大学生”。,任吭蛊挞侈簧躇垃纯菠昆铭婿称痘瓢么洞贾砰杠亲呜召径劣募嫡兹屠季异2谓词逻辑2谓词逻辑,(3).一个n元谓词P(x1,x2,xn)，若在前边添加k个量词，使其中的 k个客体变元变成约束变元，则此 n元谓词就变成了n-k元谓词。例如P(x,y,z)表示x+y=z，假设论域是整数集。xyP(x,y,z)表示“任意给定的整数x，都可以找到整数y，使得x+y=z” 。如果令 z=1，则xyP(x,y,1)就变成
18、了命题“任意给定的整数x，都可以找到整数y，使得x+y=1”,。可见每当给z指定个整数a后，xyP(x,y,a)就变成了一个命题。所以谓词公式xyP(x,y,z)就相当于只含有客体变元 z的一元谓词了。,超阵铣嫌霞殃瞒返滞摈绚蚀迟隔谐卖坞幂骚斜刘偷铝厂阂撅机芝骆喜昨藤2谓词逻辑2谓词逻辑,在一个谓词公式中，如果某个客体变元既以约束变元形式出现，又以自由变元形式出现，或者同一个客体变元受多个量词的约束，就容易产生混淆。为了避免此现象发生，可以对客体变元更改名称。 如 x(F(x,y)yP(y)Q(z)xA(x)约束变元的改名规则：(1).对约束变元可以更改名称，改名的范围是：量词后的指导变元以及
19、该量词的辖域内此客体变元出现的各处同时换名。(2).改名后用的客体变元名称，不能与该公式中其它客体变元名称相同。,样斑烙启蜀鸣皇湾寞杉汹软阉扶痕费翻垦忌慑治飞垄停拽祟蝗系酱腰巨趣2谓词逻辑2谓词逻辑,例如x(P(x)Q(x,y)(R(x)xA(x)B(x) 此式中的x 就是以两种形式出现。可以对x改名成 z(P(z)Q(z,y)(R(x)uA(u)B(x) 对自由变元也可以换名字，此换名叫代入。对自由变元的代入规则：(1).对谓词公式中的自由变元可以作代入。代入时需要对公式中出现该变元的每一处，同时作代入。(2).代入后的变元名称要与公式中的其它变元名称不同。上例也可以对自由变元x作代入，改成
20、 x(P(x)Q(x,y)(R(z)uA(u)B(z),庶伟卜困孽嚼涟卷睡沾彰硅警东沁揪耶挝关昼售寂呈媳癣怀颓臣汀婿布吗2谓词逻辑2谓词逻辑,2-2.6 命题的符号化在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的符号表达式与论域有关系。例如1.每个自然数都是整数。(1).如果论域是自然数集合N，令 I(x)：x是整数，则命题的表达式为 xI(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式xI(x)表示“所有客体都是整数”，显然这是假的命题，此表达式已经不能表达原命题了。因此需要添加谓词N(x)：x是自然数，用于表明x的特性，于是命题的符号表达式为: x(N(x)I(x),泞录框偏繁趴别树峻鹤
21、勘翘蔽畏夕嗣低舀窒淆涟滓议刽襟脓濒铝痢忽纯疆2谓词逻辑2谓词逻辑,2.有些大学生吸烟。(1).如果论域是大学生集合S，令A(x)：x吸烟，则命题的表达式为 xA(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式xA(x)表示“有些客体吸烟”，就不是表示此命题了，故需要添加谓词 S(x)：x是大学生，用于表明x的特性，于是命题的表达式为 x(S(x)A(x),貌蹲渍阵富档罚群跪怎嫩焦靶庶跪椰佯侧揉隅辙益头镀魁烁辽神仰莆拯衫2谓词逻辑2谓词逻辑,可见命题的符号表达式与论域有关。当论域扩大时，需要添加用来表示客体特性的谓词，称此谓词为特性谓词。特性谓词往往就是给定命题中量词后边的那个名词。如上面
22、两个例子中的“所有自然数”、“有些大学生”。如何添加特性谓词，这是个十分重要的问题，这与前边的量词有关。 如果前边是全称量词，特性谓词后边是蕴含联结词“”； 如果前边是存在量词，特性谓词后边是合取联结词“”。,愧坷主收之烛钨年礁枪汾饲复砚辞喧把煎翌镣棘换妈掣筷滇琅俄箭寸滁琳2谓词逻辑2谓词逻辑,为什么必须这样添加特性谓词？分析一下特性谓词和原谓词所表示的概念之间的关系， 得出下面的图，从此图可以得出如此添加特性谓词的正 确性。 令N:自然数集合，I:整数集合， S:大学生集合，A:烟民的集合。,I包含Nx(N(x)I(x),吸烟大学生是S与A的交集 x(S(x)A(x),再从两个重要的公式看特
23、性谓词的添加方法。,舰迅魂找歇乍既仗簇焕涵欺拘莉题苛叔账责众役医哩闽鞭上爽怀碌娱睛鞋2谓词逻辑2谓词逻辑,先介绍两个公式：令论域为1,2,3,4,5,谓词A(x)表示x是整数。B(x)表示x是奇数。 xA(x)=A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) xB(x)=B(1)B(2)B(3)B(4)B(5)一般地，设论域为a1,a2,.,an，则 (1). xA(x)A(a1)A(a2).A(an) (2). xB(x)B(a1)B(a2).B(an)1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式x(N(x)I(x)在全总个体域的真值是真的,因x(N(x)I(x)(N(a1)I(a1) (
24、N(a2)I(a2) (N(an)I(an) 式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体 代入均为真。例如(N(0.1)I(0.1)也为真。,聂爸钩摇霹宝桥窿董钥芬助在膳瑚寐舀盈门洛掉鸭免挥拷门皂绳咋售铺哇2谓词逻辑2谓词逻辑,而x(N(x)I(x)在全总个体域却不是永真式。 x(N(x)I(x)(N(a1)I(a1)(N(a2)I(a2) (N(an)I(an) 比如x用0.2代入(N(0.2)I(0.2)就为假。所以此表达式不能表示这个命题。 2.有些大学生吸烟。 此命题的真值也是真的。 x(S(x)A(x)(S(a1)A(a1)(S(a2)A(a2) (S(an)A(an)且x只有
25、用吸烟的大学生代入才为真，例如a2不是大学生或者不会吸烟的客体，则(S(a2)A(a2)为假。所以用x(S(x)A(x)表示此命题是对的。 而x(S(x)A(x)中的x用非大学生的客体代入时也为真，例如(S(a2)A(a2)为真。所以表达式x(S(x)A(x)不能表示这个命题。,吝感没拈瞬方诉碌僵包阔陇瘤股惋哆荡翌藐豹襄虽煽缓巧晃妈缚赴藏钵瘪2谓词逻辑2谓词逻辑,3.所有大学生都喜欢一些歌星。 令S(x)：x是大学生，X(x)：x是歌星， L(x,y)：x喜欢y。 则命题的表达式为： x(S(x)y(X(y)L(x,y) 4.没有不犯错误的人。 此话就是“没有人不犯错误”，“没有”就是“不存在
26、”之意。令P(x)：x是人，F(x)：x犯错误， 此命题的表达式为： x(P(x)F(x) 或者 x(P(x)F(x)5.不是所有的自然数都是偶数。 令N(x)：x是自然数，E(x)：x是偶数， 命题的表达式为: x(N(x)E(x) 或者 x(N(x)E(x),藤抠孪藕揉棉焊坊跋薛掺试羚邹殖闺戌丘唆猎疵誉奢沾辟误硅诧震朵鸟既2谓词逻辑2谓词逻辑,6.如果一个人只是说谎话，那么他所说的每句话没有一句是可以相信的。 令A(x)：x是人，B(x,y)：y是x说的话， C(x):x是谎话，D(x)：x是可以相信的 命题的表达式为: x(A(x)(y(B(x,y)C(y)z(B(x,z)D(z) 7.
27、每个自然数都有唯一的后继数。 令N(x)：x是自然数，A(x,y)：y是x的后继数， E(x,y)：x=y 则命题的表达式为 x(N(x)y(N(y)A(x,y)z(N(z)A(x,z)E(y,z),有一个后继数,后继数的唯一性,下面请同学们自己做练习第60页(2),玲蜒死痊布这斑躁殃拭撩皮随燥体备菜弃锨陪踪轩新押张渝给拽错养篱览2谓词逻辑2谓词逻辑,练习P60(2),a) x(J(x)L(x) b) x(L(x)S(x)c) x(J(x)O(x)V(x) d) J(j)O(j)V(j) e) x(L(x)J(x) 或者 x(L(x)J(x) f) x(S(x)L(x)C(x) g) x(C(
28、x)V(x) 或者 x(C(x)V(x) h) x(C(x)O(x)L(x) i) x(W(x)C(x)H(x) j) x(W(x)J(x)C(x) k) x(L(x)y(J(y)A(x,y)l) x(S(x)y(L(y)A(x,y),级咒鸭梆碾蛰胶环桅仲暑栽玉盖吝占纲兔借头阳拱酋劈梧瘦民韵记瑶弛礼2谓词逻辑2谓词逻辑,小结1.命题的符号表达式形式与论域有关系。 论域扩大需要用特性谓词对客体进行说明.注意如何添加特性谓词(即要注意特性谓词后边是什么联结词)。2.如果量词前有否定符号，如“没有.”“不是所有的.”等，可以按照字面直译。如“x” “x.”3.命题的符号表达式中所有客体变元必须都是约
29、束变元，才表示命题。有时给定命题中有些量词没有明确给出，要仔细分析并写出这隐含的量词。 例如 a) 金子闪光，但闪光的不一定都是金子。G(x),F(x) x(G(x)F(x)x(F(x) G(x) b) 没有大学生不懂外语。S(x),K(x,y),F(x) x(S(x)y(F(y)K(x,y),斟旁渍戍舅焉绅豌郑篡绰捷苗溅解镍挞蔑府绦撼锤垂嘱呼半擂林栗驳冠沁2谓词逻辑2谓词逻辑,作业60页 (2)62页 (2) (3) b), c), (5) b) (6)66页 (4) b) (5) a),广稍贷灼郭宽栖箍暂永丫杯梦妖瀑欢刮双袒饵劳霉瓢南切伴咬螟市槽叠演2谓词逻辑2谓词逻辑,2-3谓词演算的等
30、价式与蕴涵式,在命题逻辑中，我们是通过对公式的命题变元赋值来讨论永真式、永真蕴含式及等价公式的。在谓词演算中，也要讨论一些重要的谓词公式。但是由于谓词公式中可能有命题变元、客体变元。对命题变元赋值比较容易，因为只有两个值可赋。而对客体变元作指派却不那么简单，因为论域中的客体可能有无限个。另外谓词公式的真值还与论域有关。,巾芦鼠倡卵育孝都霹排颠扬编獭侗襄蓖卡臼渺焙洛兔稍疹慈见燕舟昌锭只2谓词逻辑2谓词逻辑,2-3.1 对谓词公式赋值,定义：若将给定的谓词公式中的命题变元，用确定的命题代替，对公式中的客体变元用论域中的客体代替，这个过程就称之为对谓词公式作指派，或者称之为对谓词公式赋值。例如公式
31、PN(x)，N(x)：x是自然数，论域为实数集合R， 令P：21，x=4 时，此公式变成PN(4)，它的真值就是“真”。,石千宅溶明彰验蔷掷困茄景卒恋赣亚娠绕撬铺优基淡臭砧熟情箔先潮逝龙2谓词逻辑2谓词逻辑,2-3.2 谓词公式的永真式定义,定义：给定谓词公式A，E是其论域，如果不论对公式A作任何赋值，都使得A的真值为真，则称公式A在论域E上是永真式。如果不论对什么论域E，都使得公式A为永真式，则称A为永真式。 例如，I(x)：x是整数，论域E为自然数集合，公式I(x)在E上就是永真式。 而公式 I(x)I(x)就是与论域无关的永真式。,骋汀侗脱嚣恫骨瘪收皇婴旭瓮缺灸闲挚屹卡嚏杯陛润优康默待菠
32、挑光钦镀2谓词逻辑2谓词逻辑,2-3.3 谓词公式的等价公式定义,定义：给定谓词公式A、B，E是它们的论域，如果不论对公式A、B作任何赋值，都使得A与B的真值相同(或者说AB是永真式)，则称公式A与B在论域E上是等价的。如果不论对什么论域E，都使得公式A与B等价，则称A与B等价，记作AB。例如，I(x)：表示x是整数，N(x)：表示x是自然数，假设论域E是自然数集合，公式I(x)与N(x)在E上是等价的。 而公式N(x)I(x) 与N(x)I(x)就是与论域无关的等价的公式，即 N(x)I(x)N(x)I(x)。,哆滚派仑延黎氨后拼袭亦傈侯有眩段棕螟数样西恢蔷痹擅疵微磐汗输披戊2谓词逻辑2谓词
33、逻辑,2-3.4 谓词公式的永真蕴含式定义,定义：给定谓词公式A、B，E是它们的论域，如果不论对公式A、B作任何赋值，都使得AB为永真式，则称在论域E上公式A永真蕴含B。如果不论对什么论域E，都使得公式AB为永真式，则称A永真蕴含B，记作AB。例如，G(x)：表示x大于5，N(x)：表示x是自然数，论域E=-1,-2,6,7,8,9,.，在E上公式G(x)N(x)是永真式。而公式(G(x)N(x)N(x)就是与论域无关的永真式，所以(G(x)N(x)N(x)。,绝吓司关攫窥匡窥狭姨造帖储逝浆狸段皋泡铱涤镑茸成毅粘醇诱疙晦娠悍2谓词逻辑2谓词逻辑,2-3.5. 重要公式,下面讨论重要的谓词等价公
34、式和永真蕴含式。一.由命题公式推广出的公式因一个不含自由变元的谓词公式本身如xA(x)、xB(x)就是命题。一个含有n个自由变元的谓词公式，赋予论域中的n个指定客体后就变成命题(例如S(a)、G(3,1)等)。因此可以把此公式看成一个命题变元。所以在命题演算的永真式中，将其中的同一个命题变元，用同一个谓词公式代替，所得到的公式也是永真式。这样就可以将命题演算中的等价公式和永真蕴含式推广到谓词演算中使用。例如A(x)A(x)B(x) PPQx(A(x)B(x)x(A(x)B(x) PQPQ(xA(x)xB(x)xA(x)xB(x) 摩根定律,临硝慑蜡迷济想揭辗嫩烦蓑禽龄敬示昏芒喜挟婚陶紫稳妈颓架
35、狈憎箭烩虾2谓词逻辑2谓词逻辑,二.带量词的公式在论域内的展开式,先看一个例子，令A(x)：表示x是整数，B(x)：表示x是奇数，设论域是1,2,3,4,5，谓词公式xA(x)表示论域内所有的客体都是整数，显然公式xA(x)的真值为真，因为A(1)、A(2)、A(3)、A(4)、A(5)都为真，于是有 xA(x)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) 类似地，谓词公式xB(x)表示论域内有些客体是奇数，显然公式xB(x)的真值也为真，因为B(1)、B(3)、B(5)的真值为真，于是有 xB(x)B(1)B(2)B(3)B(4)B(5) 一般地，设论域为a1,a2,.,an，则 1. xA(x
36、)A(a1)A(a2).A(an) 2. xB(x)B(a1)B(a2).B(an),摇长伎玩聊饺铆应樱关霉稗谭绸禹邑咨它铃串炳左慧坞备垂麓馅吧绩贵亿2谓词逻辑2谓词逻辑,练习：设论域D=1,2 a=1 b=2 f(1)=2 f(2)=1 P(1,1)=T P(1,2)=T P(2 ,1)=F P(2,2)=F求谓词公式xy(P(x,y)P(f(x),f(y)的真值。解： xy(P(x,y)P(f(x),f(y)y(P(1,y) P(f(1),f(y) y(P(2,y) P(f(2),f(y)(P(1,1) P(f(1),f(1) (P(1,2) P(f(1),f(2) (P(2,1) P(f
37、(2),f(1)(P(2,2) P(f(2),f(2) (P(1,1) P(2,2)(P(1,2) P(2,1) (P(2,1) P(1,2)(P(2,2) P(1,1)(TF ) (TF)(FT) (FT)(F F)(T T)FT F,站涯诌敖同暇凯旋府谅痞流戊啡会仗袒溜隋私掷朵龟念骇哪倡悟吟劝秘哎2谓词逻辑2谓词逻辑,三.量词否定公式,我们还是先用一个例子说明这个问题。令(x)表示x是优等生，论域是某班级的学生集合。 xA(x)表示：不是所有人都是优等生。 xA(x)表示：有些人不是优等生。 xA(x)表示：没有人是优等生。 xA(x)表示：所有人都不是优等生。 从这个例子可以看出 “不是
38、所有人都是优等生。”与“有些人不是优等生。”是等价的。 “没有人是优等生。”与“所有人都不是优等生。”是等价的。于是有：,喷粒瘤券摘莆户惊陆熊特甸失住愧辕德涝风江生铰删进驳萨捕曾冗灸遮王2谓词逻辑2谓词逻辑,1. xA(x)xA(x)2. xA(x)xA(x)对这两个公式可以证明如下：证明：设论域为a1,a2,.,an，则 xA(x)(A(a1)A(a2).A(an) A(a1)A(a2).A(an)xA(x)类似可以证明另一个公式。从这两个公式，可以总结出如下规律：将量词前的“”移到量词的后边，或者将量词后的“”移到量词的前边时，量词也随着改变，如果原来是全称量词改成存在量词，如果原来是存在
39、量词改成全称量词。所以我们也把这两个公式称为量词转换公式。,啡谨薯凿轴卒宏盗庭粘傈出峦找葵发干兜智汗剪置巩孙蘑婶擞玫际鲁优浸2谓词逻辑2谓词逻辑,四.量词辖域的扩充公式,如果是个不含客体变元x的谓词公式，且不在x和x的辖域内，可以将放入x和x的辖域内。即得如下公式： 1. xA(x)Bx(A(x)B) 2. xA(x)Bx(A(x)B) 3. xA(x)Bx(A(x)B) 4. xA(x)Bx(x)B) 5. BxA(x)x(BA(x) 6. BxA(x)x(BA(x) 7. xA(x)Bx(A(x)B) 8. xA(x)Bx(A(x)B),谬蓬洒靠相友租示烯琢季洁狰砸乍诀讫腋丘纲删础升缸萎离
40、奎时审俞梆裤2谓词逻辑2谓词逻辑,上述公式我们只证明三个。证明：设论域为a1,a2,.,an，xA(x)B(A(a1)A(a2).A(an)B(A(a1)B)(A(a2)B).(A(an)B)x(x)BxA(x)BxA(x)x(BA(x)x(BA(x)xA(x)BxA(x)BxA(x)Bx(A(x)B)x(A(x)B) 在使用公式7.、8.时，要特别注意，量词的辖域扩充后，量词发生了变化。,积症胰贴移獭防柄叹坞首胖尖蠕忠庆涨踢按塘了正亨准样帚匙变屡贪小卓2谓词逻辑2谓词逻辑,五.量词分配公式,1. x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)2. x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)3. x(
41、A(x)B(x)xA(x)xB(x)4. xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)证明：设论域为a1,a2,.,an， x(A(x)B(x) (A(a1)B(a1)(A(a2)B(a2) (A(an)B(an) (A(a1)A(a2).A(an) (B(a1)B(a2).B(an) xA(x)xB(x),痒搽让昭侨镜视架碳英乞搪魁杠谜湃仑独炔颂疤崔疙谗波烈袋销镐垒督挨2谓词逻辑2谓词逻辑,注意公式3.和4.不是等价公式，而是永真蕴含式。例如公式3.由xA(x)xB(x)不能推出x(A(x)B(x)，我们可以举一个反例，设A(x)和B(x)分别表示“x是奇数”和“x是偶数”，显然命题xA(x)x
42、B(x)为真。而x(A(x)B(x)是表示命题“存在一些数既是奇数，也是偶数”，显然不为真。 所以说由xA(x)xB(x)不能推出 x(A(x)B(x).,愈围君币热蔼桅嫡约魄础枷写掉违笺璃喂病农摈糟轴樊丘腕挖阵晒喊耶卧2谓词逻辑2谓词逻辑,证明公式3. x(A(x)B(x)xA(x)xB(x)证明：假设前件x(A(x)B(x)为真，则论域中至少有一个客体a，使得 A(a)B(a)为真，于是A(a)和B(a)都为真，所以有xA(x)以及xB(x)为真，进而得xA(x)xB(x)为真。于是有 x(A(x)B(x)xA(x)xB(x),唇梳惑闽吞静迟努褒槛忌诸掉褥湍滚赌沁把意绢祷烘悉彤厄扬羔斤牌衡
43、睹2谓词逻辑2谓词逻辑,下面利用公式3.证明公式4.。证明：因为公式3.中的A(x)和B(x)是任意的谓词公式，不妨用A(x)和B(x)分别代替公式3.中的A(x)和B(x)得 x(A(x)B(x)xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)(xA(x)xB(x) 应用公式 PQQP 得 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)公式4.得证。在使用公式4.的时候，特别要注意蕴含式的方向，不要搞错。,摊绽醛诈骆今番赤悲怖裁括射存拘牲疾自兰振英种赛灭呐闸败嘎婉迢殖铁2谓词逻辑2谓词逻辑,六其它公式,1. x(A(x)B(x)xA(x)xB(x) 2. xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)证明1. xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) x(A(x)B(x) 证明2. xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) x(A(x)B(x),杆颁榜诚第菩贿破匙弛鼓怖吊汲痔赁书搽台彬鞭偷轰酷寒秽仍叼酷偏碰泥2谓词逻辑2谓词逻辑,
