1、反比例函数精华总结教案学习目标1、使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数。0kxky为 常 数 ，2、能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式和图像法的各自特点。3、能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数 的函数关系和性质，能利用这些函数性0kxky为 常 数 ，质分析和解决一些简单的实际问题。4、再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画显示世界中变化规律的重要数学模型。5、使学生在学习
2、一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法。知识结构要点梳理反比例函数基本概念定义解析式图象画法形状位置性质 增减性反比例函数与一次函数K 的几何意义反比例函数应用要点 l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念1、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 xky或 y=kx-1（k 为常数， 0k）的形式，那么称 y 是x 的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点：（1）k 是常数，且 k 不为零；（2） xk中分母 x 的指数为 1，如 2不是反比例函数。（3
3、）自变量 x 的取值范围是 0一切实数.（4）自变量 y 的取值范围是 0y一切实数。例：下列等式中，哪些是反比例函数（1） （2） （3）xy21 （4） （5）3xyxy22xyxy23（6） （7）yx4分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成 （k 为常数，k0）的形式，这里（1） 、xy（7）是整式， （4）的分母不是只单独含 x， （6）改写后是 ，分子不是常数，只有（2） 、 （3） 、 （5）能写31成定义的形式答案：（2） 、 （3） 、 （5）练习题：1、下列各式中，哪些表示 y 是 x 的反比例函数： 22 4,31,2,14,53,1, xyxyxkxy 2
4、、下列各式中，哪些表示 y 是 x 的反比例函数： 36,8, y3、下列各式中，哪些表示 y 是 x 的反比例函数： 21,5xyxyxy2、反比例函数的意义： 0k其中 x 是自变量，且 0x其中 y 是函数，且 y表达形式：01kxy在表达形式 中，x 的次数是 1；在表达形式 ，x 的次 01kxy数是1例：（1）函数 是反比例函数，求 m 的值mxy2（2）函数 是反比例函数，求 m 的值1（3）已知反比例函数 ，当 x=3 时，对应的函数值是多少？32xy解：（1）依题意得， 所以，解得 3（2）依题意得， 01m由得 ；由得3所以，有 （3）依题意得， 02由得 ；由得4m所以，
5、有 当 时， 是反比例函数，即 .3mxy xy4故当 x=3 时，举一反三：1. 若 是反比例函数，求 m 的值3mxy2. 若 是反比例函数，求 m 的值153. 若函数 是反比例函数，求 m 的值是 常 数xym14. 若函数 是反比例函数，求 k 的值52k5. 若函数 是反比例函数，求 m 的值y16. 若函数 是反比例函数，求 k 的值2kx7. 若函数 是反比例函数，求 k 的值2103y8. 若函数 y=（m+2）x |m|-3 是反比例函数，求 m 的值9. 在反比例函数 中，当 x=20 时，对应的函数值是多少5k10. 在反比例函数 中，当 x=2 时，对应的函数值是多少
6、my1要点 2. 反比例函数解析式的确定。重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式1、反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式 xky中，只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组 x、y 的对应值或图象上点的坐标，代入 xy中即可求出 k 的值，从而确定反比例函数的关系式。2、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：设所求的反比例函数为： xky（ 0） ； 根据已知条件，列出含 k 的方程；解出待定系数 k 的值； 把 k 值代入函数关系式 xky中。3、待定系数法求反比例函数的解析式 1例：已知 y
7、 是 x 的反比例函数，当 x=2 时，y=6.（1）写出 y 与 x 的函数关系式；（2）求当 x=4 时 y 的值解：（1）设 ，因为当 x=2 时 y=6，所以有6k解得 k=12因此，y 与 x 的函数关系式是 xy2（2）把 x=4 代入 ，得1234所以，当 x=4 时，y=3举一反三：1、如图，某反比例函数的图像过点 M（ ，1） ，则此反比例函数关系式为（ ）2（A） （B）2yx 2yx（C） （D）1 12、已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x=3 时，y=8，求（1）y 和 x 的函数关系式；（2）当 时，y 的值32x3、已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x=3
8、 时，y=5，求（1）y 与 x 的函数关系式；（2）当 时，y 的值5.4、已知 y 与 x 成反比例函数，当 x=2 时，y=3.（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）当 时，求 y 的值5、已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=1 时，y=3，求（1）y 与 x 的函数关系式；（2）当 x=2 时，求 y 的值6、已知 y 与 x 成反比例函数，当 x=3 时，y=4，求（1）y 与 x 的函数关系式；（2）当 y=3 时，求 x 的值待定系数法求反比例函数的解析式 2例：已知 y 是 x+1 的反比例函数，当 x=2 时，y=6. （1）写出 y 与 x 的函数关系式；（2）求当
9、 x=4 时 y 的值解：（1）由已知条件设有解析式为 xky当 x=2 时，y=6. 有 ，解得126k8y 与 x 的函数关系式为 1xy（2）当 x=4 时，有 54举一反三：x-2M 1yO第 1 题图1. 如果 y 与 x+2 成反比例，且当 x=3 时，y=1，求 y 与 x 之间的函数关系式2. 如果 y 与 x-2 成反比例，且当 x=3 时，y=5，求 y 与 x 之间的函数关系式3. 如果 y 与 x-6 成反比例，且当 x=8 时，y= ，求 y 与 x 之间的函数关系式124. 如果 y+3 与 x 成反比例，且当 x=6 时，y=1，求 y 与 x 之间的函数关系式5
10、. 已知 y-2 与 x 成反比例，当 x=3 时，y=1，则 y 与 x 之间的函数关系式为 _6. y-1= 可以看作_和_成反比例，k=_32待定系数法求反比例函数的解析式 3例：已知 y 是 的反比例函数，当 x=2 时，y=6. （1）写出 y 与 x 的函数关系式；（2）求当 x=4 时 y 的值2x解：（1）由已知条件设有解析式为 2xky当 x=2 时，y=6.有 ，解得26k4y 与 x 的函数关系式为 2xy（2）当 x=4 时， 342举一反三：1. 已知 y 是 的反比例函数，当 x=2 时，y=6. 写出 y 与 x 的函数关系式2x2. 已知 y 是 的反比例函数，
11、当 x=3 时，y=18. 写出 y 与 x 的函数关系式3. 已知 y 是 的反比例函数，当 x=-1 时，y=6. 写出 y 与 x 的函数关系式2x待定系数法求反比例函数的解析式 4例：已知函数 yy 1y 2，y 1 与 x 成正比例，y 2 与 x 成反比例，且当 x1 时，y4；当 x2 时，y5（1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）当 x2 时，求函数 y 的值分析：此题函数 y 是由 y1 和 y2 两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出 y1、 y2 与 x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意 y1 与 x 和 y2
12、与 x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为 k，要用不同的字母表示。略解：设 y1k 1x（k 10） ， （k 20） ，则 ，代入数值求得 k12，xy2xky21k22，则 ，当 x2 时，y5举一反三：1. 已知函数 yy 1y 2，y 1 与 x1 成正比例，y 2 与 x 成反比例，且当 x1 时，y0；当 x4 时，y9，求当x1 时 y 的值2. 已知 y=y1+y2，y 1 与 x 成正比例，y 2 与 x2 成反比例，且 x=2 与 x=3 时，y 的值都等于 19，求 y 与 x 的函数关系式3. 已知 y=y1-y2，y 1 与 x 成反比例，y 2 与 x
13、2 成正比例，且当 x=-1 时 y=-5，当 x=1 时，y=1，求 y 与 x 之间的函数关系式4. 已知函数 ，且 为 x 的反比例函数， 为 x 正比例函数，且 和 x=1 时，y 的值都是12y1y2y32x1.（1）求 y 关于 x 的函数关系式。 （2）求 x=3 时 y 的值。 （3）当 x 为何值时，y 的值是-1要点 3. 反比例函数的图象重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用反比例函数 xky的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、 四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的
14、两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是 0x，因此不能把两个分支连接起来。（3）由于在反比例函数中，x 和 y 的值都不能为 0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到 x 轴和 y 轴的变化趋势。例：画出函数的图象（1） ， （2） （图略）x1x1举一反三：画出函数的图象：1、 ；2、 ；3、 ；4、xyxy6xy2xy6要点诠释：画实际问题的函数图象时，应根据自变量的取值范围画图。要点 4 反比例函数的性质xky)0(的变形形式为
15、kxy（常数）所以：1、其图象的位置是：当 k时，x、y 同号，图象在第一、三象限；当 0时，x、y 异号，图象在第二、四象限。2、若点(m,n)在反比例函数 xky的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。3、当 0k时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大；例 1：（1）已知反比例函数 ，当 x0 时，函数图象在第 _象限2yx（2）已知反比例函数 ，其图象一个分支在第一象限，另一个分支在第 _象限答案：（1）一；（2）三例 2：（1）反比例函数 其图象在第一、三象限内，则 k 的取值范围。4kyx（2）反比
16、例函数 其图象在第一、三象限内，则 m 的取值。23(1)m解：（1）反比例函数 其图象在第一、三象限内kyx ，即04k4（2）反比例函数 其图象在第一、三象限内23(1)m ，即 ，解得213m2举一反三：1. 双曲线 y= （k0 ） ，当 k0 时，它的两个分支分别在第_象限，当 k0，它的两个分支在第_象限。kx2. 如果反比例函数 的图象在第二、四象限内，那么 k 的取值范围是。xy323. 如果反比例函数 的图象在第一、三象限内，那么 k 的取值范围是。k4. 如果反比例函数 的图象在第一、三象限内，那么 k 的取值范围是。1(36)y5. 已知反比例函数 其图象一支在第一象限，
17、另一支在第_象限，m 的取值24x6. 已知反比例函数 其图象一支在第二象限，另一支在第 _象限，m 的取值25()y7. 已知反比例函数 其图象一支在第三象限，另一支在第_象限，m 的取值|3x4、反比例函数图象上的点例：（1）判断点（2，-3）是否在反比例函数 图象上2yx（2）反比例函数 ，经过点（4,-2m）则 m 的值为多少2yx解：（1）当 x=2 时，在反比例函数 中 ，不是 3，所以点（2，-3）不在反比例函数 图象yx1 2yx上（2）将点（4,-2m）代入 ，得2，解得4m41举一反三：1. 下列四个点，在反比例函数 图象上的是（ ）6yxA(1， ) B （2，4） C
18、（3， ） D （ ， )62612. 下列各点中，在反比例函数 图象上的是（ ）2yxA B C D(21)， 3， (1)， (12)，3. 已知反比例函数 的图象经过点P（a+1，4） ，则a=_8yx4. 如果点A（2，a） ，B （b,1）是反比例函数y= 图象上的两点，那么a= ,b= 。6x5. 某反比例函数的图象经过点 ，则此函数图象也经过点（ ）(23)，A B C D(3)， ， ()， (46)，6. 已知反比例函数的图象经过点 A（a，b） ，则它的图象一定也经过（ ）A、 （-a ， -b） B、 （a ，-b ） C、 （-a ，b） D、 （0，0）7. 反比例函
19、数 ，经过点（m,2m）则 m 的值为多少？2yx5、已知点求反比例函数解析式例：已知反比例函数 xky的图象经过点(2，4) ，则 k 的值为多少？解：将点(2，4)代入解析式，得，解得248举一反三：1. 已知反比例函数 xky的图象经过点(1，2) ，求反比例函数的解析式2. 已知反比例函数 的图象经过点(-1，3) ，则 k 的值为3. 已知反比例函数的图象经过点（3，2）和（m ，2） ，则 m 的值是。4. 已知反比例函数的图象经过点（2，8）和（-5 ，n） ，则 n 的值是。要点 5 反比例函数 中系数 k 的几何意义0kxy如图，过反比例函数 图象上任意一点 P，作 x 轴、
20、y 轴的垂线 PM、PN ，所得的矩形 PMON 的面积PNMS xy=k xkykS即过反比例函数图象上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为若由反比例函数图象上任意一点引两坐标轴的垂线，两垂线及两坐标轴所构成的四边形的面积为 ，则此反比例函数的解析式为k 0kxy过反比例函数图象上任意一点作一条坐标轴的垂线，则垂足、已知点PDoyxxyoMNp及原点这三点所构成的三角形面积 kS21例：（1）如图,点 P 是反比例函数 图象上的一点,PDx 轴于 D.则POD 的面积为 .y（2）如图,点 P 是反比例函数图象上的一点,过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线,若阴影部分面积为 3
21、,则这个反比例函数的关系式是 .解：（1）S POD = ODPD=2112knm（2）设反比例函数解析式为 ，P 点坐标为xy,yx则由已知得 P 点坐标满足 ，即1k1由图中阴影部分的面积为 ，即有31yx31yxk所以 3k又由图象得，反比例函数图象的一支在第二象限，所以 所以，这个反比例函数的关系式是 xy举一反三：1. 在 y= 的图象中，阴影部分面积为 1 的有（ ） 1x2. 如图，正方形 的边长为 2，反比例函数 过点 ，则 的值是（ ）ABOCkyxAkA B C D2443. 面积为 2 的 ABC，一边长为 ，这边上的高为 ，则 与 的变化规律用图象表示xy大致是（ ）4
22、. 一个反比例函数在第三象限的图象如图，若 A 是图象上AMx 轴于 M，O 是原点，如果AOM 的面积是 3，求反比例函数的解析式5. 已知点 A（0，2）和点 B（0，-2） ，点 P 在函数 的图象上，如果PAB 的面积是 6，求点 P 点的坐xy1标xyoMNpxyCOAB（第 2 题）第 4 题图要点 6. 用反比例函数解决实际问题反比例函数的应用须注意以下几点：反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。要点 7 .反比例函数
23、综合最新考题综观 2009年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方 面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念， “学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。 ”2010 年中考反比例函数复习策略：1 抓实双基，掌握常见题型；2 重视函数的开放性试题；考查目标一.反比例函数的基本题例 1 在函数 12yx中，自变量 x 的取值范围是（ ） 。A、x0 B、x2
24、C、x2 D、x2例 2反比例函数 6图象上一个点的坐标是 。考查目标二. 反比例函数的图象例 1根据物理学家波义耳 1662 年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强 p(pa)与它的体积 v(m3)的乘积是一个常数 k，即 pv k(k 为常数， k 0)，下列图象能正确反映 p 与 v 之间函数关系的是（ ） 。例 2 已知反比例函数 )0(kxy的图像上有两点 A( 1x， y)，B( 2x， y)，且 21x，则 21y的值是 （ ）A 、正数 B、 负数 C 、非正数 D 、不能确定考查目标三、反比例函数图象的面积与 k 问题例 1、反比例函数 xy（ k0）在第一象限内的图象如图 1 所示， P 为该图象上任一点， PQ x 轴，设 POQ的面积为 S，则 S 与 k 之间的关系是（ ）A 4 B 2 C S=k D Sk例 2设 P 是函数 px在第一象限的图像上任意一点，点 P 关于原点的对称点为 P，过 P 作 PA 平行于 y 轴，过 P作 PA 平行于 x 轴， PA 与 PA 交于 A 点，则 的面积（ ）A等于 2 B等于 4 C等于 8 D随 P 点的变化而变化pvOpvOpvOpvOA B C DD
