1、 第四讲 二元一次方程（组）的整数解学习目标：1、理解二元一次方程整数解存在的条件2、掌握二元一次方程整数解的求法一、知识回顾 1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解，显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1, 5x2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。反过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x2y=1 都没有整数解，（9，3）3，而 3 不能整除 10；（4，2）2，而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数， （a,b）
2、中的 a,b 实为它们的绝对值。2 二元一次方程整数解的求法：若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解） 。k 叫做参变数。方法一：整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解解：x= = (1) , 51yyy2510设 是整数） ，则 y=15k (2) , k(把（2）代入（1）得 x=k2(1 5k)=11k2原方程所有的整数解是 （k 是整数）yx51方法二：公式法：设 ax+by=c 有整数解 则通解是 （x 0,y0 可用观察法）0yxakyb03、 求二元一次方程的正整数解：i. 求出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确
3、定 k 值ii. 用观察法直接写出。二、例题辨析 例 1、我们知道方程 有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解。231xy例：由 ，得 ， （ 、 为正整数） 则有231xy243xxy012x.06又 为正整数，则 为正整数.43yxx由 2 与 3 互质，可知： 为 3 的倍数，从而 ，代入 .3x243yx的正整数解为1xy2xy问题：（1）请你写出方程 的一组正整数解： 5（2）若 为自然数，则满足条件的 值有 个6xxA、2 B、3 C、4 D、5（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为 3 元的笔记本与单价为 5 元的钢笔两种奖品，共花费 35 元，问有
4、几种购买方案？变式练习：求方程的正整数解：5x+7y=87；例 2、求方程 5x+6y=100 的正整数解变式练习：求 11x+15y=7 的整数解例 3、甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元，38 元可买两种书各几本？。变式练习: 一根长 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长 300 毫米，乙种毛坯长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？例 5、a 取什么值时，方程组 的解是正数？315yxa变式练习 m 取何整数值时，方程组 的解 x 和 y 都是整数？142yxm例 6、 （古代问题）用 100 枚铜板买桃，李，榄橄共 100 粒，己知桃，李每粒分别是
5、 3，4 枚铜板，而榄橄 7 粒 1 枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？三、归纳总结 1、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。2、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数） ，再解含待定系数的不等式或加以讨论。四、拓展延伸 二元一次方程组 的解的情况有以下三种：2211cybxa 当 时，方程组有无数多解。 （两个方程等效）2121cba 当 时，方程组无解。 （两个方程是矛盾的）2121 当 （即 a1b2a 2b10）时，方程组有唯一的解：21例 1、选择一组 a,c 值使方程组 cyax275
6、 有无数多解， 无解， 有唯一的解变式练习：不解方程组，判定下列方程组解的情况： 9632yx324yx15yx变式练习：当 a、b 满足什么条件时，关于 x、 y的方程(2 -18)x=3与方程组2b都无解？请说明理由.五、 课后作业 1、 已知关于 的方程组 有整数解,即 都是整数, 是正整数,求 的值.xy、 2103mxyxy、 m2、一张试巻有 20 道选择题，选对每题得 5 分，选错每题反扣 2 分，不答得 0 分，小这军同学得 48 分，他最多对几题？3、王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 8877;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得 2351.王老师家的电话号码是 .4、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为 .已知 a,b,c 都小于 10,a,b,c 依次为 , , .87,6532cba5、a 取什么值时方程组 的解是正数？96132yxa6、a 取哪些正整数值，方程组 的解 x 和 y 都是正整数？ayx24357、要使方程组 的解都是整数， k 应取哪些整数值？12yx8、 （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
