1、- 1 -（9）二元一次方程的整数解【知识精读】1、 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1, 5x2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x2y=1 都没有整数解，（ 9， 3）3，而 3 不能整除 10；（4，2）2，而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。2、 二元一次方程整数解的求法：若方程 ax+
2、by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。方法一：整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解解：x= = (1) , 51yyy2510设 是整数），则 y=15k (2) , k(把（2）代入（1）得 x=k2(1 5k)=11k2原方程所有的整数解是 （k 是整数）yx51方法二：公式法：设 ax+by=c 有整数解 则通解是 （x 0,y0 可用观察法）0yxakyb03、 求二元一次方程的正整数解：i. 出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值ii. 用观察法直接写出。【分类解析】例 1 求方程 5x9y=18 整
3、数解的能通解- 2 -解：x= 53253105918yyy设 （k 为整数），y=35k, 代入得 x=99k 3原方程整数解是 （k 为整数） yx539又解：当 x=o 时，y= 2，方程有一个整数解 它的通解是 （ k 为整数）0yxyx5290从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例 2 求方程 5x+6y=100 的正整数解解：x= (1)，520561yy设 (k 为整数)，则 y=5k,(2)k把（2）代入（1）得 x=206k， 解不等式组0yx0562k得 0k ,k 的整数解是 1，2，3，62正整数解是 54yx085yx例 3 甲种书每本 3 元，乙种书每本 5
4、 元，38 元可买两种书各几本？解：设甲种书买 x 本，乙种书买 y 本，根据题意得3x+5y=38 （x,y 都是正整数）x 1 时， y=7， 是一个整数解71y通解是 （k 为整数）35解不等式组 得解集是 整数 k=0，1，20713751k把 k=0,1,2 代入通解，得原方程所有的正整数解 yx46yx- 3 -答：甲、乙两种书分别买 1 和 7 本或 6 和 4 本或 11 和 1 本。【实战模拟】，1、 求下列方程的整数解公式法 ：x+7y=4, 5x11y=3整除法 ：3x+10y=1, 11x+3y=42,、求方程的正整数解：5x+7y=87； 5x+3y=1103、一根长
5、 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长 300 毫米，乙种毛坯长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4、兄弟三人，老大 20 岁，老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97，求兄弟三人的岁数。5、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）4x2y=11, 10x5y=70, 9x+3y=111,18x 9y=98, 91x13y=169, 120x+121y=324.6、一张试巻有 20 道选择题，选对每题得 5 分，选错每题反扣 2 分，不答得 0 分，小这军同学得 48 分，他最多得几分？7、用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解：y= 1 4 2x= 37y- 4 -参考答案1. 公式法 由特解 得通解 （k 为整数）04yxyx074由特解 得通解 （为 k 整数）25521整除法x= = 3y,通解是 （k 为整数）310yyx310通解是 （k 为整数）yx52. 16912kyx503202 k3. 有 6 种截法 345乙 甲 28乙 甲 1乙 甲 6乙 甲 15乙 甲 9乙 甲 4. 16，13 5. A，D. 6. 12 7.（略）
