1、题型一 直方图（湖北理 17） （本小题满分 12 分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有 100 个数据，将数据分组如右表：（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II）估计纤度落在 中的概率及纤度小于 的概率是多少？1.3850)， 1.40（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 的中点1.304)，值是 ）作为代表据此，估计纤度的期望1.32解：（）（）纤度落在 中的概率约为 ，纤度小于 1.40 的概1.3850，0.329.10.69分组 频数 频率1.304，4 0.04825 0.25.2，30 0
2、.3014629 0.29.50，10 0.102 0.02合计 100 1.00样本数据频率/组距1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54率约为 10.4250.3.4（）总体数据的期望约为1.3.6.1.029.4810.521.408变式 （ 2009广 东 卷 理 ）根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：对某城市一年（365 天）的空气质量进行监测，获得的 API 数据按照区间 50,，10,5(， 50,(， 2,1(， 50,(， 3,2(进行分组，得到频率分布直方图如图 5. （1）求直方图中 x的值； （2）计算一年中空气
3、质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示已知 78125， 87， 36521187 91235812， 6）解：（1）由图可知 0x358(82509230)92，解得 8x；（2） 19)625109(36；（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 53621903518209，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天 空气质量为良或轻微污染的概率为 7812)()(6707C.3.（2009 浙江卷理） （本题满分 14 分）在 ,3,9 这 个自然数中，任取 3个数（I）求这 3个数中恰有 个
4、是偶数的概率；（II）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 1,2，则有两组相邻的数 1,2和 ，此时 的值是 2） 求随机变量 的分布列及其数学期望 E解析：（I）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A，则1245390()CP；. （II）随机变量 的取值为 0,12的分布列为0 1 2P 521所以 的数学期望为 0123E . 题型二 抽样问题例题 (2009 山东卷文) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位 :辆):轿车 A 轿车 B 轿车 C舒适型 100 150 z标准型 300 450 600按类型分层
5、抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆.（1） 求 z 的值. （2） 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率;（3） 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体 ,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.解: (1).设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得, 5013n,所以 n=2000.
6、z=2000-100-300-150-450-600=400(2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为5 的样本,所以 4015,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S 1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有7 个基本事件: (S1, B
7、1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型轿车的概率为 70.(3)样本的平均数为 (9.4869.87.908.)x,那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 75.0.【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容 ,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式
8、解答.变式 （2009 天津卷文）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 A，B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查，已知 A,B，C 区中分别有 18， 27，18 个工厂（）求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数；（）若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。【答案】(1) 2，3，2(2) 2【解析】 （1）解： 工厂总数为 18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为967，所以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2，3，2.（2）设 21,A为在 A 区中抽得的
9、 2 个工厂， 1,B为在 B 区中抽得的 3 个工厂，1,C为在 C 区中抽得的 2 个工厂，这 7 个工厂中随机的抽取 2 个，全部的可能结果有：27种，随机的抽取的 2 个工厂至少有一个来自 A 区的结果有 ),(1A， ),(21,1B ),(31BA,21C),(1A,同理 2还能组合 5 种，一共有 11 种。所以所求的概率为27【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。题型三 等可能事件的概率在一次实验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A 包含的结
10、果有 m 个，那么 P（A）= 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计m算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。例题 1（2010 湖南）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）()求 x,y ; （）若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言，求这二人都来自高校 C 的概率。解 ( )由题意可得 所以 ，2183654xy1,3xy（）记从高校 B 中抽取的 2 人为 ，从高校 C 中抽取的 3 人为 则2b123,C从高校 B、C 抽取的 5 人中选
11、2 人作专题发言的基本事件有（ ） ， （ ） ， （,bc） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， ， ， 共 1012,bc3,21,bc,23,c12(,)13()23(,)种，设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X，则 X 包含的基本事件有 ，1C， 共 3 种，因此 故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为13(,)C(,)()10p0变式 1（2010 江苏）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为 20%；乙产品的一等品率为 90%，二等品率为 10%。生产 1件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1
12、件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。 （）记 X（单位：万元）为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润，求 X 的分布列；（）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率。解：（1）由题设知，X 的可能取值为 10，5，2，-3，且 P（X=10）=0.80.9=0.72， P（X=5）=0.2 0.9=0.18， P（X=2 ）=0.80.1=0.08 ，P（X=-3） =0.20.1=0.02。 由此得 X 的分布列为：X 10 5 2来源 :学科网ZXXK-3P 0.72 0.18 0.08 0.02（2）设
13、生产的 4 件甲产品中一等品有 件，则二等品有 件。n4n由题设知 ，解得 ， 又 ，得 ，或 。()10n145N3所求概率为 344.82.0892PC答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。变式 2 （ 2010 福建）设平面向量 a m =（m ，1） ，b n =（2，n） ，其中m，n1,2,3,4. （I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（ II）记“ 使得 a m （a mb n） 成立的（m，n） ”为事件 A，求事件 A 发生的概率.解：( )有序数组（ m,n）的吧所有可能结果为：（1,1） ， （1,2） ， （1,3） ，
14、（1,4） ，（2,1） ， （2,2） ， （2,3） ， （2,4） ， （3,1） ， （3,2） ， （3,3） ， （3,4） ， （4,1） ， （4,2） ，（4,3） ， （4,4）共 16 个.()由 得 ，即 . 由于 1,2,3,4 ，()mnab21no2(1)m,n故事件 A 包含的基本条件为（2,1）和（3,4） ，共 2 个.又基本事件的总数为16，故所求的概率 .()68P题型四 互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算不可能同时发生的两个事件 A、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为 A+B，用概率的加法公式 计算。事件 A（或 B）是否发
15、生对事件 B（或)()(PA）发生的概率没有影响，则 A、B 叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为 。用概A率的法公式 计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个BPAP事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。必有一个发生的两个互斥事件 A、B 叫做互为对立事件。即 或 。至少、至多问题常使用 “正难则反”的策略求解.用概率的减法公式 计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对_1AP立事件的判断识别及其概率 计算进行考查。例题 1（2005 全国卷）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为
16、 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125，（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.解：（）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、B、C，1 分则 A、B、C 相互独立，由题意得：P（AB） =P（A ）P（B）=0.05P（AC） =P（A ）P（C）=0.1P（BC）=P（B）P （C ）=0.1254 分解得：P（A） =0.2；P（B ）=0.25；P（C）=0.5 所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、0.25、0.56 分（）A、B、C 相互独立， 相互独立， 7 分A
17、、 、甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为10 分()()(0.875.03PPBC这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 12 分1()10.37pPABC变式 1 （2005 福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 .52与（）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.解：（）依题意，记“甲投一次命中”为事件 A， “乙投一次命中”为事件 B，则.53)(,21)(,5)(,21)( BPABPA甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为 .21（）事件“甲、乙两人在罚球线各投球二
18、次均不命中”的概率为1095321甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率.P答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为 .109“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为 BA32()()().5PABPAB变式 2 （06 四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格” ，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 ；在实验考核中合格的概率分别为 ，0.9,8.70.8,7.9所有考核是否合格相互之间没有影响（）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（）求这三人该课程考核都
19、合格的概率。 （结果保留三位小数）解：记“甲理论考核合格”为事件 ；“乙理论考核合格”为事件 ；“丙理论考核合1A2A格”为事件 ；记 为 的对立事件， ；记“甲实验考核合格”为事件 ；3Aii ,23i1B“乙实验考核合格”为事件 ；“丙实验考核合格”为事件 ；2B3B（）记“理论考核中至少有两人合格”为事件 ，记 为 的对立事件C解法 1： 123123123123PCAA123PPA0.98.09.70.8.709.872解法 2： 1PC 123123123123A23PAP 009.0.8.0.7198所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 .92（）记“三人该课程考核都合格” 为事
20、件 D123PDABABP123P 0.98.0.7925416所以，这三人该课程考核都合格的概率为 .254题型五 独立重复试验概率若在 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验n叫做 次独立重复试验。若在 1 次试验中事件 A 发生的概率为 P，则在 次独立惩处试验n中，事件 A 恰好发生 次的概率为 。k1nkknnPC高考结合实际应用问题考查 次独立重复试验中某事件恰好发生 次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。例题（2005 湖北卷）某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，
21、该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1，寿命为 2 年以上的概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率；（）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（）当 p1=0.8，p 2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换 4 只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为 需要更换 2 只灯泡的概率,51p为 ;)1(2325pC（II）对该盏灯来说，在第 1、2 次都更换了灯泡的概率为
22、（ 1-p1） 2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为 p1(1-p2)，故所求的概率为);()(212（III）至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况，换 5 只的概率为 p5（其中 p 为（II）中所求，下同）换 4 只的概率为 （1-p） ，故至少换 4 只灯泡的概率为15pC.34042065.0 6.782,3,8).1(321453只 灯 泡 的 概 率 为年 至 少 需 要 换即 满 时又 当 ppC变式 1为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 , , . 现有
23、名工人独立地从12363中任选一个项目参与建设. 求：() 他们选择的项目所属类别互不相同的概率； () 至少有 人选择的项目属于民生工程的概率. 1解 记第 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ，i iA， ， ，iBiC， 由题意知 ， ， 相互独立， ， ， 相互独立， ， ， 相互独立，231A231B231C23， ，iAj（ ， ， ， ， ，且 ， ， 互不相同）相互独立 ，且 ，kCk123ijk ()2iPA， ()3iPB()6iC（）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P123123!()6()()ABCPBC16236（）至少有 人选择
24、的项目属于民生工程的概率123 ()PB123( ) ( )PB97变式 2 (08 天津） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 ，且乙投球 2 次21p均未命中的概率为 16（）求乙投球的命中率 ；p（）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；（）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率解：本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分（）解法一：设“甲投球一次命中”为事件 A， “乙投球一次命中”为事件 B由题意得 16122pBP解得 或 （舍去） ，所以乙投球的命中率为 43p
25、543解法二：设设“甲投球一次命中”为事件 A， “乙投球一次命中”为事件 B由题意得 ，于是 或 （舍去） ，1()6PB1()4PB1()4故 314p所以乙投球的命中率为 （）解法一：由题设和（）知 21,AP故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 43解法二：由题设和（）知 2,AP故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 431APAPC（）由题设和（）知， 1, B甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中 2 次。概率分别为，1631212 BPCAP，49所以甲、乙两人各投两次，共命中 2 次的概率为 3
26、2164913题型六 随机变量概率分布与期望解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。例题 （2005 湖南卷）某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求 的分布及数学期望；（）记“函数 f(x)x 23x1 在区间2， 上单调递增”为
27、事件 A，求事件 A 的)概率.解：（I）分别记“客人游览甲景点 ”， “客人游览乙景点” ， “客人游览丙景点”为事件 A1，A 2，A 3. 由已知 A1，A 2，A 3 相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5，P（A 3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为 0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为 3，2，1，0，所以 的可能取值为 1，3.P（ =3） =P（A 1A2A3）+ P（ ）32A= P（ A1）P（A 2）P（A 3）+P（ ）)()321P=20.40.50.6=0.24，P（ =1） =10.24=0.76.所以 的分布列为E
28、=10.76+30.24=1.48.（）解法一 因为 ,491)23()2xf所以函数 上单调递增，)(2在 区 间x要使 上单调递增，当且仅当),)在f .34,23即从而 .760)1(34(PAP解法二： 的可能取值为 1，3.当 =1 时，函数 上单调递增，),2)(2在 区 间xf当 =3 时，函数上不单调递),219)(2在 区 间xf增.0所以 .760)()PA例题 2 （2005 辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序1 3 P 0.76 0.24加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加
29、工结果都为 A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率 P 甲 、P 乙 ；（）已知一件产品的利润如表二所示，用 、 分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求 、 的分布列及 E、E；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名，可用资金 60 万元.设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II ）的条件下，x、y 为何值时，最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示）Ez（）解： 2 分.608.75,68.05.8乙甲 PP、 （）解：随机变
30、量 、 的分别列是6 分,2.43.05268.E .124.056.E（）解：由题设知 目标函数为 8.0,61yx yxyExz分作出可行域（如图）：作直线 :l,1.2.4yx将 l 向右上方平移至 l1 位置时，直线经过可行域上的点 M 点与原点距离最大，此时 10 分yxz1.2.4取最大值. 解方程组 .028,65yx得 即 时，z 取最大值，z 的最大值为 25.2 .12 分.4,yx4,变式 1 甲、乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为 ，且第一
31、次由甲开始射击。87（1）求前 4 次射击中，甲恰好射击 3 次的概率。5 2.5P 0.68 0.322.5 1.5P 0.6 0.4（2）若第 次由甲射击的概率为 ，求数列 的通项公式；求 ，并说明极nnannalim限值的实际意义。解：记 A 为甲射击，B 为乙射击，则1）前 4 次射击中甲恰好射击 3 次可列举为 AAAB，AABA，ABAA 其概率为 P= 512638718782）第 次由甲射击这一事件，包括第 n 次由甲射击，第 次继续由甲射击这n 1n一事件以 第 n 次由乙射击，第 由甲射击这一事件，这两事件发生的概率是互斥的且发生的概率分别为 与 则有关系式 + = na)
32、1(n1nan)(8na8143其中 。 = （ ） ， 数列 为等比数列。1a2n4321)(n= =limli)n实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时，甲、乙两分别射击的次数接近相等。变式 2 （07 重庆理）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆 元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获 元的赔90 90偿（假设每辆车最多只赔偿一次） ，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 ，1， ，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：1（）获赔的概率；（）获赔金额 的分布列与期望（18） （本小题 13 分）解：设 表示第 辆车在一年内发生此
33、种事故， 由题意知 ， ， 独立，kA123k， ， 1A23且 ， ， 1()9P21()03()PA（）该单位一年内获赔的概率为12312389103()()()A（） 的所有可能值为 ， ， ， 0927，1231238(0)()()(910PPA239 )A12312313()()()(AP 19081910，245123123123(180)()()()PAPA2 (PA98910101，73123123(2)()()(PAPA1909综上知， 的分布列为090180270P81145319求 的期望有两种解法：解法一：由 的分布列得813109802704519E（元） 27.1解
34、法二：设 表示第 辆车一年内的获赔金额， ，k123k， ，则 有分布列1 1090P81故 190E同理得 ， 21903081.E综上有 （元） 12 27题型七 离散型随变量概率分布列设离散型随机变量的分布列为 1x2 ixP iP它有下面性质： ),1(0ii 即总概率为 1；21 ipp期望 方差;1iPxE iiPExPExD212)()(离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查.例题 1 (2004 年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得 100
35、 分,回答不正确得 100 分.假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望.求这名同学总得分不为负分(即 )的概率.0解: 的取值为.3,10,3；(P8.2.);96.12(0)3.034P51282所以的概率分布为 30100 300P 0.008 0.096 0.384 0.512 18052.3084.109618. E这名同学总得分不为负分的概率为 96.)3()0()( P变式（2010 天津理）某射手每次射击击中目标的概率是 23，且各次射击的结果互不影响。（）假设这名射手射击 5 次，求恰
36、有 2 次击中目标的概率（）假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率；（）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记 为射手射击 3 次后的总的分数，求 的分布列。（1）解：设 X为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 X 25,3B.在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率 22540()133PC（）解：设“第 i次射击击中目标 ”为事件 (1,2345)iA；“射手在 5 次射击中，有 3
37、次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件 ,则123451234512345()()()PAAPP=2= 81（）解：由题意可知， 的所有可能取值为 0,12363123(0)()7PA123123123()()PA= 912324()()7PA123123()PA221837 123(6)()PA3827所以 的分布列是题型八 标准正态分布例题 （06 湖北）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 。已知成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 12 名。(70,1)N（） 、试问此次参赛学生总数约为多少人？（） 、若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学
38、生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表 00()xPx0x0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.8962
39、0.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。解：（）设参赛学生的分数为 ，因为 N(70，100)，由条件知，P( 90)1P （ 90）1F(90) 1 1 (2)10.97720.228.)079(这说明成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生人数约占全
40、体参赛人数的 2.28，因此，参赛总人数约为 526 （人） 。028.（）假定设奖的分数线为 x 分，则 P( x)1P（ x）1F(90)1 0.0951，即 0.9049，查表得 1.31，解得70()x52607(07x83.1.故设奖得分数线约为 83.1 分。题型九 二项分布列例题 （06 辽宁）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,1623在每次调整中价格下降的概率都是 ,设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立(0)p的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降
41、次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取 0、1、2时, 一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元.随机变量 、 分别表示对甲、乙12两项目各投资十万元一年后的利润.(I) 求 、 的概率分布和数学期望 、 ;12 1E2(II) 当 时,求 的取值范围.Ep【解析】(I )解法 1: 的概率分布为111.2 1.18 1.17P 6213E =1.2 +1.18 +1.17 =1.18.16123由题设得 ,则 的概率分布为()Bp0 1 2P 2(1)p()p故 的概率分布为21.3 1.25 0.2P 2(1)p()2p所以 的数学期望为2E = + + = .21.3(
42、)p1.5()p20.0.13p解法 2: 的概率分布为 11.2 1.18 1.17P 6213E =1.2 +1.18 +1.17 =1.18.16123设 表示事件”第 i 次调整,价格下降”(i=1,2),则iAP( =0)= ;212()()PpP( =1)= ;12(1)APpP( =2)= 21()故 的概率分布为2 1.3 1.25 0.2P 2(1)p()2p所以 的数学期望为2E = + + = .21.3()p1.5()p20.0.13p(II) 由 ,得: 2208(.4).3.4.因 0p1,所以 时,p 的取值范围是 0p0.3.12E变式 （08 全国 II) 购
43、买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 元，若a投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 410.9（）求一投保人在一年度内出险的概率 ；p（）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元） 解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 ，记投保的 10 000 人中出险的人数p为 ，则 4(10)Bp，（）记 表示事件：保险公司为该险
44、种至少支付 10 000 元赔偿金，则 发生当且仅当A A， 2 分()1()P0，41()p又 ，40.9PA故 5 分1（）该险种总收入为 元，支出是赔偿金总额与成本的和0a支出 ，5盈利 ，1(50)盈利的期望为 ，9 分0EaE由 知， ，43()B， 314105a44310E 405a（元） 15a故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元12 分题型十 线性回归分析例题 （2007 高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨标准煤）的几组对照数据xyx34562.54.（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，
45、用最小二乘法求出关于的线性回归方程 ；ybxa（3）已知该厂技术改造前 吨甲产品能耗为 吨标准煤；试根据（）求出的线1090性回归方程，预测生产 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？分析：本题中散点图好作，本题的关键是求 关于 的线性回归方程 ，它既yxybxa可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决解析：（1）散点图如下；012345670 1 2 3 4 5产 量能耗（2）方法一：设线性回归方程为 ，则ybxa22222(,)3.5)(43)(54)(64.5)418.fabbaba 时， 取得最小值793.542ba(,)fab，222(1.5)(0.)0.51.5)即 ， 时 取得最小值2.317bb0.
